2018_2019学年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介讲义（含解析）新人教A版.docx

四 柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.(2)空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为. 2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，02.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为.柱坐标与直角坐标的互相转化例1(1)设点A的直角坐标为(1，5)，求它的柱坐标(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标思路点拨直接利用变换公式求解解(1)由变换公式即212()24，2.tan ，又x0，y0.，点A的柱坐标为.(2)由变换公式得x4cos 2，y4sin2，z8.点P的直角坐标为(2,2，8)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(，z)，代入变换公式求，也可利用2x2y2，求.利用tan 求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标解： 1.x0，y0，点M的柱坐标为.2将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标(1)；(2)；(3).解：设点的直角坐标为(x，y，z)(1)(，z)，(，1,1)为所求(2)(，z)，(3，3，2)为所求(3)(，z)(1，0)，(1,0,0)为所求.球坐标与直角坐标的互相转化例2(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2)，求它的球坐标思路点拨直接套用坐标变换公式求解解(1)由坐标变换公式得，xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sinsin2，zrcos 4cos2，故其直角坐标为(2,2，2)(2)由坐标变换公式得，r4.由rcos z2，得cos ，.又tan 1，则(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos 来求要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置3将下列各点的球坐标分别化为直角坐标(1)；(2).解：设点的直角坐标为(x，y，z)(1)(r，)，为所求(2)(r，)，为所求4求下列各点的球坐标(1)M(1，2)；(2)N(1,1，)解：(1)由变换公式得，r2.由zrcos ，得cos ，又tan ，x0，y0，它的球坐标为.(2)由变换公式得，r2.由zrcos ，得cos ，.又tan 1，x0，y0，它的球坐标为.一、选择题1在球坐标系中，方程r2表示空间的()A球B球面C圆 D直线解析：选Br2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面2设点M的直角坐标为(1，3)，则它的柱坐标是()A. B.C. D.解析：选C2，tan ，x0，y0，又z3，点M的柱坐标为.3若点M的球坐标为，则它的直角坐标为()A(6,2，4) B(6,2，4)C(6，2，4) D(6,2，4)解析：选A由x8sincos 6，y8sin sin 2，z8cos 4，得点M的直角坐标为(6,2，4)4若点M的直角坐标为(，1，2)，则它的球坐标为()A. B.C. D.解析：选A设M的球坐标为(r，)，r0,0，00，y0，得，点M的球坐标为.故选A.二、填空题5点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为_解析：xcos 4cos 2，ysin 4sin2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点的距离为5.答案：56点M(3，3,3)的柱坐标为_解析：3，tan 1，x0，y0，y0，.r2.由rcos z(0)，得cos ，.所以点M的柱坐标为，球坐标为.9已知点M的柱坐标为，点N的球坐标为，求线段MN的长度解：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由变换公式得，xcos cos 1，ysin sin1，z3，点M的直角坐标为(1,1,3)，设点N的直角坐标为(a，b，c)，则asin cos 200，bsin sin 21，ccos 2，点N的直角坐标为(0，)|MN|.10.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴求点C1的直角坐标，柱坐标以及球坐标解：点C1的直角坐标为(