《自动控制原理》第5章习题答案.pdf

1 1，串联校正装置的传递函数分别如下，试绘制它们的 Bode 图（幅频特性画渐近性，相频 特性画草图）,并说明它们是超前校正装置还是滞后校正装置。 (1) 110 1 10)( + + = s s sG 解： 110 1 10)( + + = j j jG 0时，10)0(=G，在低频段，dB2010lg20)(=L；时，1)(=jG，在 高频段，dB01lg20)(=L。转折频率1 . 0 1= ，1 2 =。串联校正装置是滞后校正装 置。 (2) 5 2 )( + + = s s sG 解： 5 2 )( + + = j j jG 0时，4 . 0)0(=G，在低频段，dB84 . 0lg20)(=L；时，1)(=jG， 在高频段，dB01lg20)(=L。转折频率2 1= ，5 2 =。串联校正装置是超前校正装 置。 (3) 01. 0 05. 0 )( + + = s s sG 解： 01. 0 05. 0 )( + + = j j jG 0时，5)0(=G，在低频段，dB145lg20)(=L；时，1)(=jG，在高 -20 ( )L ( ) 0dB 00 20 dB rad/s 0.11 度 -900 rad/s ( )L ( ) +20 0dB 00 dB -20 度 900 1 52 10 -8 rad/s rad/s 2 频段，dB01lg20)(=L。转折频率01. 0 1= ，05. 0 2 =。串联校正装置是滞后校正 装置。 (4) 12 . 0 1 )( + + = s s sG 解：0时，1)0(=G，在低频段，dB01lg20)(=L；时，5)(=jG，在 高频段，dB145lg20)(=L。转折频率1 1 =，5 2 =。串联校正装置是超前校正装 置。 2，控制系统的结构如图 T5.1 所示，试选择控制器Gc(s)， 使系统对阶跃响应输入的超调量 20，调整时间ts 0.5s 。 图 T5.1 解：校核原系统和绘制原系统根轨迹。 ) 11 . 0( 1 )( 0 + = ss sG 特征方程为，011 . 0)( 2 =+=sssD，即，01010 2 =+ss， 162. 310 n =，58. 1 2 10 n = ，原系统为过阻尼系统， ) 11 . 0( 1 +ss Gc(s) + - R(s)Y(s) ( )L ( ) +20 0dB 00 dB 20 14 度 900 15 rad/s rad/s -20 ( )L ( ) 0dB 00 20 dB rad/s 0.010.1 度 -900 rad/s 0.05 14 3 0%=，s8 . 0 162. 358. 1 44 s = = n t ， 原系统的开环极点为0 1= p，10 2 =p，作系统的根轨迹如图。原系统的两个极 点在负实轴上，解方程01010 2 =+ss，可得13. 1 1 =s，87. 8 2 =s。 计算期望主导极点位置。 超调量 20，调整时间ts 0.5s s5 . 0 4 = n ， 8= n 2 . 0% 2 1 = e， 45. 0=， 0 2 .63= 故，期望主导极点位置，8 .158 2, 1 js= 配置超前校正装置的零极点。 取超前校正装置的零点为11(这不是唯一选择，可在p= -10左侧试取)，则校正环节 )( c sG校正后的开环传递函数 0( ) Gs 为， c ps s ksG + + = 11 )( cc ， ) 11 . 0( 111 )( 0 + + + = ssps s ksG c c j 0 -10 1 p 2 p -8 63.20 j15.8 -j15.8 期望极点 期望极点 j 0 -5 -10 1 p 2 p 原系统 极点 原系统 极点 4 根据相角条件求校正后的超前校正装置的极点。 系统的根轨迹通过期望主导极点， 因此 根轨迹相角条件应等于1800。如图所示有等式， 0 21 180=+ cc 即， 0 1111 180)11()()10()0(=+spsss c 0000 1802 .798 .828 .116=+ c 得到超前校正装置极点pc的相角 c 为， )6 .59(4 .300 00 = c 3 .178 6 .59tan 8 .15 0 =+= c p，超前校正网络极点坐标，pc =17.3。 由幅值条件： 1 ) 11 . 0( 1 3 .17 11 8 .158 1 = + + + +=js c sss s k 得 kc = 32.2 因此，满足设计性能指标要求的串联超前校正装置的传递函数为， )3 .17( )11(2 .32 )( c + + = s s sG 3，控制系统的结构如图T5.2所示，试选择控制器Gc(s)， 使系统闭环主导极点具有阻尼系 数 2 2 =，自然振荡频率24= n 。 图 T5.2 )4( 16 +ss Gc(s) + - R(s)Y(s) j 0 -10 1 p 2 p -8 c p c z j15.8 -j15.8 -11 1 2 c c 期望极点 1 s 2 s 5 解：校核原系统。 )4( 16 )( 0 + = ss sG 0164)( 2 =+=sssD， 416 n =， 5 . 0 2 4 n = ， 0 605 . 0arccosarccos= 故，原系统主导极点位置，46. 32 2, 1 js= 计算期望主导极点位置。 系统期望闭环主导极点具有阻尼系数 2 2 =，自然振荡频率24= n ， 0 45 2 2 arccosarccos=，则一个具有期望极点的2阶系统特征方程为， 0)24(24 2 2 2)( 22 =+=sssD，即 0328 2 =+ ss 期望主导极点位置，44 2, 1 js= 一个具有期望极点的2阶系统开环传递函数为， )8( 32 )( 0 + = ss sG j 0-2-4 1 p 2 p j3.46 -j3.46 600 原系统极点 原系统极点 j 0 -8 -4 1 p 2 p j4 -j4 450 一个具有期 望极点的 2阶系统 1 s 2 s 24 6 配置超前校正装置的零极点。可以采用“对消法” 。 )()( )4( 16 )8( )4(2 )8( 32 )( 00 sGsG sss s ss sG c = + + + + = )8( )4(2 )( c + + = s s sG，很明显，这是一个超前校正装置。 4，控制系统的结构如图T5.3所示，Gc(s)为校正装置传递函数，用根轨迹法设计校正装置， 使校正后的系统满足如下要求，速度误差系数Kv 20，闭环主导极点4= n ，阻尼系数 保持不变。 图T5.3 解：校核原系统。 )2( 4 )( 0 + = ss sG 042)( 2 =+=sssD， 24 n =， 5 . 0 2 2 n = ， 0 605 . 0arccos= 原系统主导极点位置，73. 11 2, 1 js= ) 15 . 0( 2 )2( 4 )( 0 + = + = ssss sG，原系统开环放大倍数K=2，故kv2。 为满足系统的性能指标要求，必须有 kv20，需提高开环放大倍数10倍。 采用“对消法”配置超前校正装置，满足系统的动态性能。 首先计算期望主导极点位置，为满足4= n ，5 . 0=的要求， )2( 4 +ss Gc(s) + - R(s)Y(s) j 0-1-2 1 p 2 p j1.73 -j1.73 600 原系统极点 原系统极点 2 7 期望特征方程为0164)( 2 =+=sssD， 期望主导极点位置，46. 32 2, 1 js= 对应的2阶系统开环传递函数为， )4( 16 )( 0 + = ss sG )4( 16 )2( 4 )4( )2(4 )()()( 00 + = + + + = sssss s sGsGsG c 超前校正装置为， )4( )2(4 )( c + + = s s sG 配置串联滞后校正装置，满足系统的稳态误差要求。 期望主导极点的实轴坐标2，则串联滞后校正装置的零点坐标应该为210 0.2。为满足稳态精度要求，需提高开环放大倍数10倍。因为超前校正装置放大倍数为2， 滞后校正装置放大倍数为5就可满足要求，故校正网络的极点坐标选为0.04，故滞后校正 装置传递函数为， 04. 0 2 . 0 )( + + = s s sGc 最后，系统的校正装置为， ) 125( ) 15( ) 125. 0( ) 15 . 0(10 )04. 0( )2 . 0( )4( )2(4 )( + + + + = + + + + = s s s s s s s s sGc 5，设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试用根轨迹法设计串联滞后校正装置，使系 统的速度误差系数Kv = 5，阻尼系数0.5。 )2)(1( )( 0 + = sss k sG 解：首先满足系统的动态性能，校核系统的稳态精度。 原系统的开环极点为p1 = 0，p2 = 1，p3 = 2，可以计算出渐近线与实轴的 j 0-1-2 1 p 2 p j3.46 -j3.46 600 期望极点 期望极点 -4-3 4 n 8 交点和夹角为， 1 3 210 = =F 000 300,180,60=，原系统根轨迹如图所示。 阻尼系数0.5， 0 605 . 0arccos=，因此，期望主导极点到原点的连线交角为 600，连线与根轨迹的交点就是期望主导极点的位置。根据作图得到的交点，期望主导极点 的位置大约在0.33 j 0.58附近。 校核相角条件： 根据在图中主导极点位置的近似值0.33 j 0.58和开环极点的位置， 作由各开环极点到期望主导极点的向量， = 119.640 40.880 19.150 = 179.6701800 0.33 j 0.58位置满足相角条件，因此，它是根轨迹上的点，是期望主导极点位置。 这时系统的阻尼系数0.5，动态性能满足要求。 校核稳态精度：由根轨迹幅值条件，1 )2)(1( 58. 033. 0 = + +=js sss K ，得K= 1.045， 这时系统的开环传递函数为， ) 15 . 0)(1( 523. 0 )2)(1( 045. 1 )( 0 + = + = ssssss sG 因此，速度误差系数kv = 0.523，稳态误差不满足要求，开环放大倍数需提高10倍 配置滞后校正装置： 由于期望主导极点的实轴坐标0.33，则校正网络零点坐标应为0.3350.06。 为满足稳态精度要求，需提高开环放大倍数10倍，因此，校正网络的极点坐标选为0.006。 故滞后校正网络的传递函数为， 006. 0 06. 0 )( + + = s s sGc 校正后的系统开环传递函数为， )2)(1( 045. 1 006. 0 06. 0 )( 0 + + + = ssss s sG， 此时 23. 5 2 045. 1 6 60 =k j 0-1-2 1 p3 p j -j 期望极点 -3 2 p 600 0 -1 -2 期望极点 0.33 j0.58 119.640 40.880 19.150 9 6，设单位反馈控制系统的开环传递函数为 ) 1( )( 0 + = ss K sG，试设计串联超前校正装置， 满足在单位斜坡输入下ess 1/15，相位裕量 450 解：绘制系统Bode图。调整开环系统的增益K，满足稳态设计指标，即在单位斜坡输入 下ess 1/15，必须保证K 15。 设k = 15，系统的开环频率特性为 ) 1( 15 )( 0 + = jj jG。 在低频段，1时，20lg15=23.5dB，斜率为20dB/dec。 转折频率为，1=，转折频率后斜率增加20dB/dec。 计算相角裕量。如图所示，当1时，L(1) = 20lg15 = 23.5dB。这个值可以通过斜边 为40的一个直角三角形的直角边来表示，因此可以列出方程， 2 cc lg20lg4015lg20=， 2 c 15= 得到， 87. 315 c =。 相角裕量： 0000 5 .1487. 3arctan90180)(180=+= c 因此，相角裕量不满足设计要求，需要串联超前校正网络进行校正。 配置超前校正装置。 设超前校正装置传递函数为， 1 11 )( + + = Ts Ts ksG cc ，其中1。令= c k，超前校 正装置将保持低频段的增益不变，而对高频段增益提升倍，或lg20dB，校正网络的幅 频特性曲线如图所示。 根据设计要求，相角裕量 450，现在系统的相角裕量为14.50，所以校正装置应提供 的超前相角为： m 450 14.50 + 50 = 34.50， 其中50为附加相角。 1 0.1 20 40 -20 10 -20 -40 c ( )L dB rad/s 0dB 23.5 ( )L rad/s ( ) +20 1 T 1 T 20lg m m rad/s 0dB 00 dB 度 10 566. 05 .34sin 1 1 sin 0 = + = m ， 61. 3= 如果把超前校正装置的最大相移点设置在新的穿越频率点，则在这点的幅值提升为超前 校正装置最大提升的 2 1 ，即 dB58. 561. 3lg20 2 1 lg20 2 1 = = 87. 3 lg40)lg(lg4058. 5 c cc ， 34. 5= c 令34. 5= cm ， 098. 0 61. 334. 5 11 = = m T 354. 0=T 超前校正装置传递函数为， 2 .10 82. 2 61. 3 1098. 0 1354. 0 1 1 )( + + = + + = + + = s s s s Ts Ts sGc 校正后系统开环传递函数为， ) 1( 15 1098. 0 1354. 0 )( 0 + + + = sss s sG 校正后的系统Bode图如下 校算系统的相角裕量。 根据新的穿越频率34. 5= c ，计算系统的相角裕量， 000 1 .45)34. 5354. 0arctan()34. 5098. 0arctan()34. 51arctan(90180=+= 满足要求。 7，为满足稳态性能指标的要求，一个单位反馈伺服系统的开环传递函数为， ) 11 . 0( 200 )( 0 + = ss sG 试设计一个校正装置，使已校正系统的相位裕量 450，穿越频率c50rad/s。 解：绘制原系统Bode图，校核原系统性能。 ( )L 1 0.1 20 40 -20 10 -20 -40 dB -40 3.87 5.34 10.2 rad/s 0dB 23.5 2.82 -20 11 系统的开环频率特性为 ) 11 . 0( 200 )( 0 + = jj jG。 在低频段，1时，20lg200=46dB，斜率为20dB/dec。 转折频率为，10=，转折频率后斜率增加20dB/dec。 当1时，L(1)= 46dB，可以推算，10时，L(10)= 26dB。通过斜边为40 的直角三角形可以计算 c ，26 10 lg40 c = ，67.44 c = 原系统Bode图以40dB穿越0dB线，故相角欲量不会满足要求（可以不用再计算） 。 配置超前校正装置。 由于题意对穿越频率有要求，故采用作图法设计校正装置。首先，试在60 c =的位置 作20dB/dec幅频特性穿越0dB线，交原系统Bode图于 1 (如下图所示)。 计算 1 （也可以通过作图法得到 1 的值） 。通过斜边为40直角三角形和斜边为20 直角三角形计算 1 的表达式，得到方程， )lg(lg20)lg(lg40 1c1 = c ，即，) 60 lg(20) 67.44 lg(40 11 = ) 60 lg(20) 67.44 lg(20 1 2 1 =， 1 2 1 60 ) 67.44 ( =， 26.33 1 = 1 20 40 -20 10 -20 -40 c ( )L dB rad/s 0dB 60 100 46 26 1 20 40 -20 10 -20 -40 ( )L dB rad/s 0dB 60 100 46 c c 1 -40 -20 2 60 12 设超前校正装置传递函数为， 1 1 1 1 1 1 )( 2 1 2 1 + + = + + = s s sT sT sGc 已求得26.33 1= ，即03. 0 1= T，用试探方法设130 2 =(可以有多种选择，不是唯 一答案)，即0077. 0 2 =T。该超前校正装置传递函数为， 10077. 0 103. 0 )( + + = s s sGc。这个校正 装置不改变系统的稳态指标，也不影响开环放大倍数K。 校正后系统开环传递函数为， ) 11 . 0( 200 10077. 0 103. 0 )( 0 + + + = sss s sG 根据新的穿越频率60= c ，计算系统的相角裕量 000 6 .45)6003. 0arctan()600077. 0arctan()601 . 0arctan(90180=+= 满足要求。 8，单位反馈控制系统的开环传递函数表达式如下，若要求单位斜坡输入r(t) = t时，稳态 误差ess 0.06，相角裕量 450，试设计串联滞后校正装置。 ) 101. 0)(1( )( 0 + = sss K sG 解：先满足动态性能，并绘制系统的Bode图，校算稳态系统性能。 转折频率1 1 =，转折频率后斜率增加20dB/dec，为40dB/dec；转折频率 100 01. 0 1 2 =，转折频率后斜率增加20dB/dec，为60dB/dec。 为先满足动态性能， 使系统有足够的相角裕量， 450，必须使Bode图以20dB/dec 穿越0dB线。设穿越频率8 . 0 c =，系统相角裕量为， 000 88.50) 8 . 001. 0arctan() 8 . 01arctan(90180= 1 20 40 -20 10 -20 -40 ( )L dB rad/s 0dB -60 1000.1 -40 -60 -80 0.8 13 故设穿越频率8 . 0 c =是合理的，如果第一次设定不合理，还可以再调整。 在8 . 0 c =时， 幅频特性为零 （对应lg1） ， 故有，1) 8 . 0 lg(20lg20= KK c ， 8 . 0=K。 如果满足稳态误差ess 0.06，则要求K=1/0.06=16.67。可见8 . 0=K不满足稳态 误差指标。 配置串联滞后校正装置。 设串联滞后校正装置传递函数为， 1 1 )( + + = Ts Ts ksG cc ，其中1，令 1 = c k。 为满足稳态误差指标，要求84.208 . 0/67.16= c k， 048. 084.20/1=， 根据设计滞后校正装置原则， T 1 值为 c 的1/51/10， 故取08. 0 10 1 = c T ， 5 .12=T， 4 .260 048. 0 5 .12 = T T 00384. 0 08. 0 14 .260 15 .12 84.20)( + + = + + = s s s s sGc 校正后系统开环传递函数为， ) 101. 0)(1( 8 . 0 14 .260 15 .12 84.20)( 0 + + + = ssss s sG 校正后的系统相角裕量为， 000 44.45) 8 . 05 .12arctan() 8 . 04 .260arctan() 8 . 001. 0arctan() 8 . 0arctan(90180=+= 满足要求。 9，单位反馈控制系统的开环传递函数表达式如下，若要求系统的性能指标为，速度误差系 数Kv 32，相角裕量 450，试设计串联滞后校