中国石油大学华东大学物理课后习题答案.pdf

7-1 第一章习题解答第一章习题解答 1-3 一粒子按规律593 23 tttx沿 x 轴运动，试分别求出该粒子沿 x 轴正向运动；沿 x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔 解 由运动方程593 23 tttx可得 质点的速度 133963 d d 2 tttt t x v （1） 粒子的加速度 16 d d t t v a （2） 由式（1）可看出 当3st时，0v，粒子沿 x 轴正向运动； 当3st 时，0v，粒子沿 x 轴负向运动 由式（2）可看出 当1st 时，0a，粒子的加速度沿 x 轴正方向； 当1st 时，0a，粒子的加速度沿 x 轴负方向 因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当s3t或 1s0 t间隔内粒子加速运动，在3s1st间隔内里粒子减速运动 1-4 一质点的运动学方程为 2 tx ， 2 1 ty （S1） 试求： （1）质点的轨迹方程;（2） 在2ts 时，质点的速度和加速度 解 （1） 由质点的运动方程 2 tx （1） 2 1 ty （2） 消去参数 t，可得质点的轨迹方程 2 1xy （2） 由（1） 、 （2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t t x v2 d d x 12 d d y t t y v 所以 jijiv122 yx ttvv （3） 2 d d 2 2 x t x a 2 d d 2 2 y t y a 所以 jia22 （4） 把2st代入式（3） 、 （4） ，可得该时刻质点的速度和加速度 jiv24 jia22 1-5 质点的运动学方程为tAxsin，tBycos，其中 A、B、为正常数，质点的轨 道为一椭圆试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心 证明 由质点的运动方程 tAxsin （1） tBycos （2） 对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度 tA t x asin d d 2 2 2 x tB t y ac o s d d 2 2 2 y 7-2 所以加速度矢量为 rjia 22 cossintBtA 可得加速度矢量恒指向原点椭圆中心 1-6 质点的运动学方程为jir 2 22tt （SI） ， 试求： （1） 质点的轨道方程； （2） 2st 时质点的速度和加速度 解 （1） 由质点的运动方程，可得 tx2 2 2ty 消去参数 t，可得轨道方程 2 4 1 2xy （2） 由速度、加速度定义式，有 jirvtt22d/d jra2d/d 22 t 将2st 代入上两式，得 jiv42 ja2 1-7 已知质点的运动学方程为trxcos，trysin，ctz ， 其中 r、 c 均为常量 试 求： （1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式 解 （1） 质点的运动方程 trxc o s （1） trysin （2） ctz （3） 由（1） 、 （2）消去参数 t 得 222 ryx 此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圆，即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆 由式（2）可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动 综上可知，质点绕 z 轴作螺旋线运动 （2） 由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间 t 求导数可得质点的速度 tr t x vsin d d x tr t y vcos d d y c t z v d d z 所以 kjikjivctrtrvvvcossin zyx 由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度 tr t x axcos d d 2 2 2 tr t y ays i n d d 2 2 2 0 z a 7-3 所以 jikjiatrtraaasincos 22 zyx （3） 由式（1） 、 （2） 、 （3）得运动方程的矢量式 kjikjircttrtrzyxsincos 1-8 质点沿 x 轴运动，已知 2 28tv，当8ts 时，质点在原点左边 52m 处（向右为 x 轴正向） 试求： （1）质点的加速度和运动学方程； （2）初速度和初位置； （3）分析质点的 运动性质 解 （1） 质点的加速度 ttva4/dd 又 txv/dd 所以 tvxdd 对上式两边积分，并考虑到初始条件得 ttx tttvx 8 2 852 d28dd 所以 3 .457 3 2 8 3 ttx 因而质点的运动学方程为 3 3 2 83 .457ttx （2） 将0t代入速度表达式和运动学方程，得 m/s8028 2 0 v m3 .4570 3 2 083 .457 3 0 x （3） 质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为 8m/s，初位置为3 .457m. 1-9 一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为xa62物体在0x处的速度为 sm10，求物体的速度与位置的关系 解 根据链式法则 x v v t x x v t v a d d d d d d d d xxxavvd62dd 对上式两边积分并考虑到初始条件，得 xv xxvv 010 d62d 故物体的速度与位置的关系为 10046 2 xxv sm 1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bvga，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数设0t时物体的初速度为零 （1）试求物体的 速度随时间变化的关系式； （2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? 解 （1） 由 t v a d d 得 t Bvg v d d 两边分别积分，得 tv t Bvg v 00 d d 7-4 所以，物体的速率随时间变化的关系为： Bt e B g v 1 （2） 当0a时 有 0Bvga（或以t代入） 由此得收尾速率 B g v 1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速kya，k 为常数，y 是离开平衡 位置的坐标值设 0 y处物体的速度为 0 v，试求速度 v 与 y 的函数关系 解 根据链式法则 y v v t y y v t v a d d d d d d d d yavvdd 对上式两边积分 y y y yv ykyyavv 000 ddd v 即 2 0 22 0 2 2 1 2 1 yykvv 故速度 v 与 y 的函数关系为 22 0 2 0 2 yykvv 1-12 一艘正以速率 0 v匀速行驶的舰艇， 在发动机关闭之后匀减速行驶 其加速度的大小与 速度的平方成正比，即 2 kva， k 为正常数试求舰艇在关闭发动机后行驶了 x 距离时 速度的大小 解 根据链式法则 x v v t x x v t v a d d d d d d d d v a v xdd 对上式两边积分 v v v v x kv v v a v x 00 d dd 0 化简得 0 ln 1 v v k x 所以 kx evv 0 l-13 一粒子沿抛物线轨道 2 xy 运动，且知sm3 x v试求粒子在m 3 2 x处的速度和加 速度 解 由粒子的轨道方程 2 xy 7-5 对时间 t 求导数 xy 2 d d 2 d d xv t x x t y v （1） 再对时间 t 求导数，并考虑到 x v是恒量 2 x y 2 d d v t v a （2） 把m 3 2 x代入式（1）得 sm43 3 2 2 y v 所以，粒子在m 3 2 x处的速度为 sm543 222 x 2 x vvv 与 x 轴正方向之间的夹角 853 3 4 arctanarctan 0 x y v v 由式（2）得粒子在m 3 2 x处的加速度为 22 sm1832a 加速度方向沿 y 轴的正方向 1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为 0 v，轨迹 为一抛物线 （如图所示） 试分别求抛物线顶点A及下落点B 处的曲率半径 解 物体在A点的速度设为 A v，法向加速度为 nA a，曲率 半径为 A ，由题图显然有 cos 0A vv （1） nA a=g （2） An A 2 A a v （3） 联立上述三式得 g v 22 0 A cos 物体在 B 点的速度设为 B v，法向加速度为 nB a，曲率半径为 B ，由题图显然有 0B vv （4） cos nB ga （5） 7-6 nB B 2 B a v （6） 联立上述三式得 cos 2 0 B g v 1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点 A 处，速度的大小为 v，其方向与水平 线的夹角为 0 30，求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径 解 设 A 点处物体的切向加速度为 t a，法向加速度为 n a，曲 率半径为，则 nt aag 由图知 gga5 . 030sin 0 t 2/330cos 0 n gga 又 n 2 a v 所以 g v g v a v 3 32 2/3 22 n 2 1-16 在一个转动的齿轮上， 一个齿尖P沿半径为R的圆周运动， 其路程随时间的变化规律 为 2 0 2 1 bttvs，其中 0 v和b都是正常量求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小 解 设时刻t齿尖P的速率为v，切向加速度 t a，法向加速度 n a，则 R btv R v a b t v a btv t s v 2 0 2 n t 0 )( d d d d 所以，t时刻齿尖P的加速度为 2 4 022 n 2 t )( R btv baaa 1-17 火车在曲率半径 R400m 的圆弧轨道上行驶 已知火车的切向加速度2 . 0 t a 2 sm， 求火车的瞬时速率为sm10时的法向加速度和加速度 解 火车的法向加速度 2 22 n sm25. 0 400 10 R v a 方向指向曲率中心 火车的总加速度 2222 t 2 n sm32. 02 . 025. 0aaa 7-7 设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为，则 025134.51 2 . 0 25. 0 arctanarctan 00 t n a a 1-18 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置 3 42t （1）在2st时，它的法 向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值 为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等? 解 质点的角速度 2 12 d d t t 质点的线速度 22 2 . 11210. 0ttRv 质点的法向加速度 n a，切向加速度 t a为 4 2 22 n 4 .1410. 012ttRa （1） t t v a4 . 2 d d t （2） （1）把2st代入（1）式和（2）式，得此时 2 t 224 n m/s8 . 424 . 2 m/s103 . 224 .14 a a （2）质点的总加速度 1364 . 2 62 t 2 n ttaaa 由 aa 2 1 t 得 1364 . 25 . 04 . 2 6 ttt 解得 0.66st 所以 rad15. 342 3 t （3）当 tn aa 即tt4 . 24 .14 4 时 有 0.55st 1-19 河宽为 d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成 正比地增大，到中流处为 0 v某人以相对水流不变的速率 v 垂直水流方向驶船渡河，求船 在达到中流之前的轨迹方程 解 取图示坐标系 kyv x 已知 2 d y 时， 0x vv 代入上式得 d v k 0 2 7-8 所以 y d v v 0 x 2 （1） 又 vv y 积分得 vty （2） 代入（1）式得 vt d v v 0 x 2 积分得 20 vt d v x （3） 由（2） 、 （3）消去 t 得 20 y vd v x 第二章习题解答第二章习题解答 2-3 质量为 m 的子弹以速率 0 v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度 成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化 关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 解 设任意时刻子弹的速度为 v，子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知，子弹所受的阻 力 f= - kv (1) 由牛顿第二定律 t v mmaf d d 即 t v mkv d d 所以 t m k v v d d 对等式两边积分 tv v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v 0 ln 因此 t m k evv 0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v mmaf d d d d d d d d 即 x v mvkv d d 所以 vx m k dd 7-9 对上式两边积分 0 0 0d d v s vx m k 得到 0 vs m k 即 k mv s 0 2-4 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻 力为 fkv(k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率 v 与时间的关 系为 m kt e k Fmg v1 证明 任意时刻 t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正方向， 开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v mmafFmg d d 即 t v mmakvFmg d d 整理得 m t kvFmg vdd 对上式两边积分 tv m t kvFmg v 00 dd 得 m kt Fmg kvFmg ln 即 m kt e k Fmg v1 2-5 跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的 平方成正比，即 2 kvF 。求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率 T v 。 解 设运动员在任一时刻的速率为 v，极限速率为 T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员 及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kvmg mg F f y 0 7-10 即 k mg v T 有牛顿第二定律 t v mkvmg d d 2 整理得 m t kvmg vdd 2 对上式两边积分 mgk m t kvmg v tv 2 1dd 00 2 得 m t vkmg vkmg ln 整理得 T 2 2 2 2 1 1 1 1 v e e k mg e e v kgm t kgm t kgm t kgm t 2-6 两个质量都是 m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都 没有其它星球。已知轨道半径为 R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周 期。 解 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的 圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所 以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同 (1)每个星球所受的合力 2 2 2 21 42R m G R mm GFF (2) 设运动周期为 T R v mF 2 1 v R T 2 联立上述三式得 Gm R RT4 所以，每个星球的运行周期 Gm R RTTT4 21 2-7 一种围绕地球运行的空间站设计成一个环状密封圆筒(像一个充气的自行车胎)， 环中心 的半径是 1.8km。如果想在环内产生大小等于 g 的人造重力加速度，则环应绕它的轴以多大 的速度旋转？这人造重力方向如何？ 解 由于人造重力即人在环内的惯性离心力，所以有 mgrm 2 7-11 srad r g /104 . 7 108 . 1 8 . 9 2 3 此人造重力的方向为沿着环的转动半径向外。 2-8 一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突 然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离 s 时对桌 面的瞬时作用力。 解 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的 s 段对桌面的压力 1 N ，另一部分是 正在下落的 xd 段对桌面的冲力 2 N ，桌面对 xd 段的作用力为 2 N 。显然 sgN 1 t时刻，下落桌面部分长 s。设再经过td ，有 xd 落在桌面上。取下落的 xd 段链条为研究对 象，它在 t d 时间之内速度由 gsv2 变为零，根据动量定理 ptNdd 2 (1) xvpd0d (2) tvxdd (3) 由(2)、(3)式得 sgN2 2 sgNN2 22 故链条对桌面的作用力为 sgNNN3 21 第三章习题解答第三章习题解答 3-3 略 3-4 质量为 m=0.002kg 的弹丸，其出口速率为 300 sm ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合 力 9800400xF 。开抢时，子弹在 x=0 处，试求枪筒的长度。 解 设枪筒长度为 L，由动能定理知 2 0 2 2 1 2 1 mvmvA 其中 LL dx x FdxA 00 ) 9 8000 400( 7-12 9 4000 400 2 L L 而 0 0 v ， 所以有： 2 2 300002. 05 . 0 9 4000 400 L L 化简可得： m45. 0 081360400 2 L LL 即枪筒长度为 0.45m。 3-5 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为 m 的滑块以初速度 0 v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为 ，试证明：当滑块从屏障的另一 端滑出时，摩擦力所作的功为 1 2 1 22 0 emvW 证明 物体受力：屏障对它的压力 N，方向指向圆心，摩擦力 f 方向 与运动方向相反，大小为 Nf (1) 另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t maf (2) 习题 3-4 图 法向 R v mN 2 (3) 联立上述三式解得 R v a 2 t 又 s v v t s s v t v a d d d d d d d d t 所以 R v s v v 2 d d 即 s Rv v d d 两边积分，且利用初始条件 s=0 时， 0 vv 得 0 lnlnvs R v 即 s R evv 0 7-13 由动能定理 2 0 2 2 1 2 1 mvmvW ，当滑块从另一端滑出即 Rs 时，摩擦力所做的功为 1 2 1 2 1 2 1 22 0 2 0 2 2 0 emvmvemvW R R 3-6 一质量为 1 m 与另一质量为 2 m 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由 1 x 增 加到 dxx 1 时所需要作的功。 解 万有引力 0 2 21 rF r mm G 两质点间的距离由 x 增加到 dxx 1 时，万有引力所作的功为 11 21 2 21 11 dd 1 1 1 1xdx mGm r mm GA dx x dx x rrF 故外力所作的功 dxx d mGm dxx mGmAA dx x 11 21 11 21 11 d 1 1 rF 此题也可用功能原理求： 外p EEA 3-7 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为 3 rkf ，k 为常数。若取无穷 远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为 r 时的势能。 解由势能的定义知 r 处的势能 p E 为: rrr r r k rfEddd 3 p rf 22 22 1 r k r k r 3-8 设地球的质量为 M，万有引力恒量为 0 G ，一质量为 m 的宇宙飞船返回地球时，可认 为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心 1 R 下降到 2 R 处时所 增加的动能。 解 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一 过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即： 21 21 0 1 0 2 0pk )( )( RR RRMm G R Mm G R Mm GEE 7-14 3-9 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成 612 p x b x a xE ，式中 a、b 为常 数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x 为何值时 0 p xE ?x 为何值时 xEp 为极小值?(2)试确定两原子间的作用 力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿 x 轴运动，试述 可能发生的运动情况。 解 (1) 当 xEp =0 时，有： 0 612 x b x a 即 b a x 6 或 0 1 6 x 习题 2-32 图 故 0)( p1 6 1 ）（时，或xEx b a x p E (x)为极小值时，有 0 d )(d p x xE 即 0612 713 x b x a 所以 2 6 1 2 1x b a x或 (2)设两原子之间作用力为 xf ，则 )(grad)( p xExf 在一维情况下，有 713 p 612 d )(d )( x b x a x xE xf (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当 x0， 它们互相排斥，另一原子将远离；当 xx2 时 f(x)0，质点作初速度为 零的加速运动，t=T/2 时，a=0，速度达到最大；在 t=T/2 到 t=T 时间内，a0，故质 7-23 点作减速运动，t=T 时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运 动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。 4-19 如图所示，将质量为 m 的球，以速率 1 v 射入最初静止于光滑平面上的质量为 M 的弹 簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触 中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中? 解 设地球和弹簧枪的共同速度为 2 v ，将球体和弹 簧枪看作一个系统， 因为水平方向所受合外力为零， 所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速 度方向相同，故有 21 vMmmv (1) 习题 3-14 把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒， 所以贮存于弹簧中的能量 2 2 2 1 2 1 2 1 vMmmvW (2) 联立以上两式得 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 v Mm m MmmvW 2 1 2 2 1 2 1 2 1 v Mm m mv Mm mMv Mm m mv 2 1 2 1 2 12 1 4-20 角动量为 L， 质量为 m 的人造地球卫星， 在半径为 r 的圆形轨道上运行， 试求其动能、 势能和总能量。 解 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以 vr ，由 vrLm 知， rmvL rm L v 所以卫星的动能 mr L rm L mmvE 2 2 2 2 k 2 1 2 1 2 1 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得： 2 2 n r GMm r v mF 所以 r GMm mvE 22 1 2 k 7-24 又 r GMm E p 所以 2 2 kp 2 mr L EE 所以 2 2 pk 2mr L EEE 4-21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定， 另一端系一质量为 m 的滑块。弹簧原长为 0 L ，倔强系数为 k。当 t0 时，弹簧长度为 0 L 。滑块得一水平速度 0 v ，方向与弹簧轴线 垂直。 t 时刻弹簧长度为 L。 求 t 时刻滑块的速度 v 的大小和方向(用 角表示)。 解因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机 械能守恒，即 2 0 22 0 )( 2 1 2 1 2 1 LLkmvmv (1) 小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 vrLm 恒量 故 sin 00 LmvmvL (2) 由(1)式得 2 0 2 0 )(LL m k vv 代入(2)式得 2 0 2 0 00 )( arcsin LL m k vL vL 4-22 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为 1 个原子 质量单位(记作 1u)，石墨原子质量为 12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞 前后中子速率的比值，(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为 0 E 。 解 设中子质量为 1 m ， 碰撞前后速度分别为 21,v v ； 石墨原子质量为 2 m ， 碰撞后速度为 2 v 。 碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中，有： 7-25 221111 vmvmvm 此碰撞可看作完全弹性碰撞，所以有： 2 22 2 11 2 11 2 1 2 1 2 1 vmvmvm 化简上两式，得： 211 12vvv 2 2 2 1 2 1 12vvv 可解出 111 85. 0 13 11 vvv 碰撞过程中中子损失的能量： 2 1 2 11 2 11 2 11 169 121 2 1 2 1 2 1 2 1 vmvmvmvmE 00 2 11 28. 0 169 48 169 48 2 1 EEvm 第五章习题解答第五章习题解答 5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为 a、b中心 O 取为原点，坐标系如 图所示设薄板的质量为 M，求证薄板对 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴的转动惯量分别为 2 Ox 12 1 MbJ 2 Oy 12 1 MaJ 22 Oz 12 1 baMJ 解 根据转动惯量的定义 mrJd 2 对 ox J 取图示微元，有 m mbJ 2 ox d 12 1 2 12 1 mb 同理可得 2 oy 12 1 maJ 对于 mymxmyxmrJddd)(d 22222 oz 22 oxoy 12 1 12 1 mbmaJJ 5-2-2 一个半圆形薄板的质量为 m、半径为 R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是 多大? 解 建立坐标系，取图示面积元 dddrrs ，根据转动惯量 的定义有 00 2 222 ox dd 2 sind R rr R m rmyJ 2 00 23 2 4 1 ddsin 2 mRrr R m R d dm dr r R O x y 7-26 5-2-3 一半圆形细棒，半径为 R，质量为 m，如图 所示求细棒对轴 A A 的转动惯量 解 建 立 图 示 的 坐 标系 ， 取 图 示 ld 线 元 ， dddRlm ， 根据转动惯量的定义式有 0 222 AA dsindRRmxJ 2 0 2 2 2 1 dsinmR mR 5-2-4 试求质量为 m、半径为 R 的空心球壳对直径轴的转 动惯量 解 建立如图所示的坐标系，取一 d 的球带， d2drRs 它对 y 轴的转动惯量 d2 4 dd 2 22 rR R m rmrI 又 cosRr 所以 dcos 2 d 3 2 mR I 2 2 2 3 2 3 2 dcos 2 dmR mR II 此即空心球壳对直径轴的转动惯量 5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿 孔 A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上设齿轮的半径为 5cm，边缘上的齿孔数为 500 个，齿轮的转速使反射光恰好通过与 A 相邻的齿孔 B （1）若测得这时齿轮的角速度为 600 sr ，齿轮到反射镜的距离为 500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速 度和加速度是多大? 解 （1） 齿轮由 A 转到 B 孔所需要的时间 5 103 1 2600 5002 t 所以光速 sm103 103 1 50022 8 5 T L c d dl x r y x 7-27 （2） 齿轮边缘上一点的线速度 sm1088. 11052600 22 Rv 齿轮边缘上一点的加速度 25222 sm1010. 71052600 Ra 5-3 一飞轮从静止开始加速，在 6s 内其角速度均匀地增加到 200 minrad ，然后以这个速 度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小又过了 5s 后，飞轮停止转动若 该飞轮总共转了 100 转，求共运转了多少时间? 解 分三个阶段进行分析 10 加速阶段由题意知 111 t 和 11 2 1 2 得 22 11 1 2 1 1 t 20 匀速旋转阶段 212 t 30 制动阶段 331 t 33 2 1 2 22 31 3 2 1 3 t 由题意知 2100 321 联立得到 2100 22 31 21 11 t t t 所以 s183 60200 5 602 200 6 602 200 1002 2 t 因此转动的总时间 s19418356 321 tttt 5-4 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为 1 m 和 2 m 的物体，且 1 m 2 m 设定滑轮是质量为 M，半径为 r 的圆盘， 绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动试求物体 的加速度和绳的张力 解 物体 21,m m 及滑轮 M 受力如图所示 2 T gm2 2 m 1 m 1 T gm1 N gM 2 T 1 T M 7-28 对 1 m 取向下为正方向： amTgm 111 （1） 对 2 m 取向上为正方向： amgmT 222 （2） 对M取顺时针方向为正方向： JrTrT 21 （3） 又 2/ 2 MrJ （4） ra （5） 11 TT （6） 22 TT （7） 联立（1）-（7）式，解得 2/ )( 21 21 Mmm gmm a gm Mmm Mm T 1 21 2 1 2/ 2/2 gm Mmm Mm T 2 21 1 2 2/ 2/2 5-5 提示:第一步,角动量守恒;第二步,角动量定理 5-6 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以 min900r 的转速转动，一工件以 200 N 的正压力 作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s内停止转动求砂轮与工件间的摩擦系数（砂轮轴的 摩擦可忽略不计， 砂轮绕轴的转动惯量为 2 2 1 mR ， 其中， m 和 R 分别为砂轮的质量和半径） 解 根据角动量定理， 12 JJMt NRM 2 2 1 mRJ 0 2 7-29 联立上述四式得到 5 . 0 8 .112002 60 2 900 2 1 50 2 0 Nt mR 5-7 一 飞 船 以 角 速 度 srad20. 0 绕 其 对 称 轴 自 由 旋 转 ， 飞 船 的 转 动 惯 量 2 mkg2000J 若宇航员想停止这种转动，启动了两个控 制火箭它们装在距转轴 1.5mr 的位置若控制火箭以 sm 50=v 的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率 skg2ddtm 试问这两个切向火箭需要开动多长时间? 解 把飞船和喷出的气体当作研究系统在喷气过程中， t d 时间内喷出的气体为 md ，在整 个过程中，喷出的气体的总角动量为 mrvmrvL m 0 g d 当飞船停止转动时，它的角动量为零 由系统角动量守恒得 Jmrv 所以 rv J m 所求的时间为 s67. 2 505 . 12 2 . 02000 rv Jm t 5-8 擦地板机圆盘的直径为 D，以匀角速度旋转，对地板的压力为 F，并假定地板所受 的压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为 ，试求开动擦地板机所需的功率（提示： 先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩， 而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力 矩的功率） 解 在圆盘上取一细圆环，半径 r，宽度为 dr，则其面积为 rrsd2d 此面积元受到的摩擦力为 rr D F fd2 2 d 2 所以此面元所受的摩擦力矩为 frMdd 其方向与方向相反 其大小 rr D F rr D F rfrfrMd 8 d2 4 dsindd 2 22 又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为 7-30 FDrr D F MM D 3 1 d 8 d 2 0 2 2 所以所需要的功率 FDMN 3 1 5-9 如图所示，A、B 两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连 结轮 A 的转动惯量 2 1 mkg10J ，开始时轮 B 静止， 轮 A 以 minr600 1 n 的转速转动， 然后使 A 与B 连结， 轮 B 得以加速，而轮 A 减速，直至两轮的转速都等于 minr200n 为止求： （1）轮 B 的转动惯量； （2）在 啮合过程中损失的机械能是多少? 解 （1）以飞轮 A，B 为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩 擦， 前者对轴的力矩为零， 后者对轴的力矩为系统的内力矩， 整个系统对转轴的角动量守恒， 按角动量守恒定律，有 BABBAA JJJJ 而 rad/s202mkg10 1A 2 1A nJJ srad 3 20 20 B n 所以 2 1 A B mkg2010 3 20 3 20 20 JJ 在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为 22 2 BA 2 AA JJJ E J1031. 13/2020105 . 020105 . 0 4 22 第六章习题解答第六章习题解答 6-2-2 在惯性系 S 中的同一地点发生 A、B 两个事件，B 晚于 A 4s，在另一惯性系中 S中 观测到 B 晚于 A 5s，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)在 S系这两个事件发生的 地点间的距离是多少? 解 (1) 由题意知，固有时 s4 0 ，根据时间膨胀公式， 2 0 )/(1cu 有： 5/4/)/(1 0 2 cu 7-31 由此得 , 5 3 c u 即 cu 5 3 (2) 应用 Lorentz 变换式，得： 2 )/(1cu utx x 所以 c c cu tu cu tux x3 5 4 4 5 3 )/(1)/(1 22 因而 S 系中这两个事件发生地点间相距 3c 。 6-2-3 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静 止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少? 解 飞船静止长度 0 l 为其固有长度， 地球上测得其长度为运动长度， 由长度收缩公式， 有： 2 )(1 02 0 l c v ll 解得： 2 3 c v 即： ccv866. 0 2 3 6-2-6 一颗核弹含有 20kg 的钚，爆炸后的生成物的静止质量比原来的静止质量小 4 10 分之 一，求爆炸中释放的能量。 解 由质能关系，得： 2 mcE 284 )103(1020 J1080. 1 14 6-2-7 远方一颗星体以 0.80c 的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按 5 昼夜的周期 变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期。 解 所求的为固有周期 0 T ： 380. 015)/(1 22 0 cvTT 昼夜 6-3 宇宙射线与大气相互作用时能产生介子衰变， 此衰变在大气上层放出粒子， 已知 粒子的速率为 v0.998c， 在实验室测得静止粒子的平均寿命为 s102 . 2 6 ， 试问在 8000m 高空产生的粒子能否飞到地面? 解 地面上观测到的子平均寿命与固有寿命之间的关系 7-32 2 0 1 c v tt 子运行距离 m1042998. 01102 . 2998. 01 26 2 0 c c v tvvtl 子能飞到地面。 6-4 在 S 系中观测到两个事件同时发生在 x 轴上，其间距离为 1m，在 S 系中观测这两个 事件之间的距离是 2m。求在 S 中测得的这两个事件发生的时间间隔。 解 在 S 系中两事件时间间隔 , 0t 由 Lorentz 变换 2 2 2 )/(1)/(1cu x c u t t cu utx x 得： 2 2 2 2 22 )/(1)/(1 )/(1)/(1 cu x c u cu x c u t t cu x cu tux x 将 m1m,2xx 代入上两式，得 s1077. 5,