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大学物理练习册解答 第一章第一章 质点的运动规律质点的运动规律 1、电子受到磁力后，在半径为R的圆形轨道上，以速率v从O点开始作顺时针方向的匀速 率圆周运动，当它经过 R330cosR2OPOP 0 = 圆周时，求： y P O x 30 60 （1）电子的位移； （2）电子经过的路程等于多少； （3）在这段时间内的平均速度； （4）在该点的瞬时速度。 解： （1）R330cosR2OPOP 0 = 方向与x轴成60 （2） R 3 4 R2 3 2 S= 图 1-1 （3） v3 R4 v R2 3 2 t = = Q = = = 4 v33 v3 R4 R3 t OP v 方向与 x 轴成 60 （4）速度 v，方向与 x 轴成-30 2、已知质点的位矢随时间的函数形式为()jtsinitcosRr rr r +=，式中 R，为常量求： （1）质点的轨迹； （2）速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。 解:（1）tcosRx= tsinRy= 运动轨迹： 222 Ryx=+ （2）j tcosRi tsinR dt rd v rr r r += rj tsinRi tcosR dt vd a 222 r rr r r = 由上式可知加速度总是指向圆心。 1 大学物理练习册解答 3、某质点的运动方程为jbtibt2r 2r r r += （b为常数） ，求： （1）轨道方程； （2）质点的速度和加速度的矢量表示式； （3）质点的切向加速度和法向加速度的大小。 解： （1）由得轨迹方程 2 btybt2x= b4 x y 2 = （2）jbt2ib2jbtibt2 dt d dt rd v 2 vvvv r v +=+= jb2jbt2ib2 dt d dt vd a vvv r v =+= （3）() 222 y 2 x )bt2(b2vvv+=+= 2 22 t t1 bt2 )bt2()b2( dt d a + = += 2 2 2 22 t 2 n t1 b2 ) t1 bt2 ()b2(aaa + = + += 4、路灯距地面高度为 H，行人身高为h，若人以 匀速度v0背离路灯行走， 问人头影的移动速度为 多大？ H v0 h x L 解：设人的位移为x，人影的位移为L 由几何关系 H L h xL = 得 x hH H L = 0 v hH H dt dx hH H dt dL v = = 2 大学物理练习册解答 5、 质点沿半径为0.1m的圆周运动， 其角位移用下式表示=2+4t 3 式中为弧度(rad), t 的单位为s, 求： （1）t=2s时，质点所在位置的切向加速度和法向加速度的大小； （2）当为何值时，其加速度和半径成45 0角。 解： （1）t24 dt d t12 dt d t42 23 = = =+= Q 2 2t 222 n sm4 .230)t12(RRa= = 2 2tt sm8 . 4Rt24Ra= = （2）当与半径成角时，a与也成 45a r 0 45 r n a 0。所以 tn aa rr = 即 Rt24Rt144 4 = rad 3 2 2 6 1 42t42 3 6 1 t 3 =+=+= = 6、手球运动员以初速度v0 与水平方向成的角度抛出一球，当球运动到M点处，它的速 度与水平方向成角，若忽略空气阻力，求： （1）球在M点处速度的大小； （2）球在M点处的切向加速度和法向加速度的大小 ； （3）抛物线在该点处的曲率半径。 解： （1）=cosvcosv0 0 v cos cos v = （2）=singat r n cosgan = r （3） = 2 n v a = 3 22 0 n 2 cosg cosv a v v0 g v M 图 1-6 3 大学物理练习册解答 7、设河面宽1Km，河水由北向南流动，流速为2m/s。有一船相对于河水以1.5m/s的速率 从西岸驶向东岸，问： (1)如果船头与正北方向成角，船到达对岸要花多少时间？ 0 15= (2)如果船到达对岸的时间为最短，船头与河岸应成多大的角度？到达对岸时船在下游 何处？ （3）如果船相对于岸走过的路程为最短，船头与河岸应成多大的角度？ 解： （1）) s (2576 15sin5 . 1 1000 sin v t 0 = = = l （2）因为 = sin v t l ，当 l 一定时， 2 =时间最短 (km)33. 1 v v vtS l = 北 v船水 l L v船地 （3） 2 2 2222 sin v cos vv SLlll +=+= 所以 L最小，需( ) = sin v cos vv f为最小 由 ( ) 0 d df = 得：0cosv v= 75. 0 v v cos= 0 41.41= 8、火车静止时，车窗上雨痕向前倾斜0角，火车以某一速度匀速前进时，火车车窗上 雨痕向后倾斜1 角。火车加快以另一速度匀速前进时，车窗上雨痕向后倾斜2 角，求 火车加快前后的速度之比。 解：）（ 雨车雨地雨地车雨车地 VVVVV rvrrr +=+= 0 VV= 雨地 r 10 V 雨车 r 矢量合成图得： 1100 cosVcosV0= 雨车 1 vV r r = 车地 图 1-8 1000011001 tgcosVsinVsinVsinVV+=+= 雨车 同理 200002 tgcosVsinVV+= 所以 20000 10000 2 1 tgcosVsinV tgcosVsinV V V + + = 4 大学物理练习册解答 9、一升降机以加速度1.22m/s 2 上升，当上升速度为2.44m/s 时，有一螺帽自升降机的 顶板上落下，升降机顶板与升降机的底面相距2.74m ，问： （1）螺帽相对于升降机作什么运动？其加速度为多少？螺帽相对于地面作什么运动?其 加速度为多少？ （2）螺帽从升降机顶板落到升降机底面需多少时间？ （3）螺帽相对于升降机外固定柱子下降多少距离？ 解： （1）螺帽相对升降机作向下的匀加速直线运动 升地地地升地升 aaaaa mmm rrrrr =+= 2 m sm02.11aga= 升 螺帽对地作竖直上抛运动 gam rv = 地 （2）取升降机参照系，向下正 2 t )ag( 2 1 h+= s71. 0 22. 18 . 9 74. 22 ag h2 t= + = + = （3）m74. 0)71. 0(8 . 9 2 1 71. 044. 2gt 2 1 tvs 22 0 = 螺地 10、光滑的水平面上放着三个相互接触的物体，它们的质量分别为 m1=1kg, m2=2kg, m3 =4kg。若用 F=98N 的水平力作用在 m1上，求： （1）m1 、m2、m3之间的相互作用力； （2）若此力F水平向左作用在m3上，情况又如何？ 解： （1）由受力图列牛顿运动方程 = = = ) 3(amF )2(amFF ) 1 (amFF 133 1232 112 2 321 1 sm14 421 98 mmm F a= + = + = 方向向右 F2 F F3 F2 F3 m1 m2 m3 F2 F3 F2 F F3 m1 m2 m3 F m1 m2 m3 )N(8414198amFF 112 = )N(56144amF 133 = (2) = = = )6(amF )5(amFF )4(amFF 212 2223 233 2 321 2 sm14 421 98 mmm F a= + = + = 方向向左 N4214498amFF 233 = )N(14141am F 212 = 5 大学物理练习册解答 11、将质量为10Kg的小球挂在倾角的光滑 斜面上（如图所示） 。 0 30= （1）当斜面以加速度g 3 1 a =沿图示的方向运动时， 求绳中的张力及小球对斜面的正压力； （2） 当斜面的加速度至少为多大时， 小球对斜面的 正压力为零？ 解： （1）masinNcosT= N T mg mgcosNsinT=+ 当g 3 1 a =时，N=68.4（N） T=77.3（N） (2) 若N=0，则有 macosT= mgsinT= ) s/m(17g3gctg a= 12、桌上有一质量为M的板，板上放一质量为m的物体，如图所示。设物体与板，板与桌 面之间的动摩擦系数为k，静摩擦系数为s， （1）今以水平力F拉板，使两者一起以 加速度a运动，试计算板与桌面间的相互作用力； （2）要将板从物体下面抽出，至少需 用多大的力？ 解：(1) 板和桌面间的相互作用力N和f2 m F M g)Mm(MgNN mgN 1 1 +=+= = Q g)mM(Nf kk2 += （2）设抽出板所需的力为 F，且抽出时 mM aa m1 maf:m= M21 MaffF:M= 即 () Mm fFm f 2 1 + m1 ） 。 解：m1对地加速度为 地AA11 aaa rrr += 01 aaa+= m2对地加速度为 地AA22 aaa rrr += 02 aaa= ) 1 ()aa (mamgmTm 011111 += )2()aa (mamTgmm 022222 = 由（1）+（2）得 图 1-14 21 02112 mm a )mm(g)mm( a + = 12 21 0 12 2 01 mm g)mm( a mm m2 aaa + + =+= 同理 g mm mm a mm m2 aaa 21 21 0 21 1 02 + + + = 7 大学物理练习册解答 15、质量为m的快艇正以速率v0行驶，当发动机关闭后，受到的摩擦阻力的大小与速度 大小的平方成正比，而方向与速度方向相反，即f=-kv 2（k为常数） ，当发动机关闭后， 求： （1）快艇速率与时间的变化规律； （2）快艇路程与时间变化规律； （3）定性地描绘x、v、a对t的函数曲线。 解： （1）由牛顿第二定律得 dt dv mkv2= = t 0 v 0 v 2 dt m k v dv tv m k 1 v v 0 0 + = （2） tv m k 1 v dt dx v 0 0 + = + = t 0 0 0x 0 dt tv m k 1 v dx ) tv m k 1ln( k m x 0 += 16、在光滑水平桌面上平放一固定的圆环，其半径为R，物体与环内侧的摩擦系数为， 当 t0=0，物体的速率为v0，求： v0 R x v t t a t （1）t时刻物体的速率； （2）在时间t内物体经过的路程。 解： （1） R v mF 2 n = R mv F dt dv mF 2 nt = R v dt dv 2 = = t 0 v 0 v 2 dt R v dv R tv 1 v tvR Rv v 0 0 0 0 + = + = （2） R tv 1 v dt ds v 0 0 + = + = t 0 0 0 s 0 dt R tv 1 v ds ) R tv 1ln( R s 0 + = 8 大学物理练习册解答 a a 17、用两根长为a的绳子连住一质量为m的小球，两绳的 另一端分别固定在相距为a的棒的两点上，今使小球在水 平面内作匀速圆周运动，如图所示。当转速为时，下面 一根绳子刚刚伸直，求转速为2时，上下绳子的拉力各 为多大？ 解 由几何条件知,且当角速度为时，T 0 30= 2=0 = = = sina g mgsinT )cosa (mcosT 2 1 2 1 T1 a T2 mg )2(mgsinTsinT ) 1 (cosa)2(mcosTcosT 21 2 21 += =+ mg5T1= mg3mg2TT 1