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高等数学高等数学 B（下） 同步练习册习题解答（下） 同步练习册习题解答 注意：红色表示勘误注意：红色表示勘误 高等数学 B（下） 练习册 目目 录录 1. 二元函数的概念二元函数的概念 2. 二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数 3. 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值 4. 二重积分二重积分 5. 常微分方程常微分方程 高等数学 B（下） 练习册 1. 二元函数的概念二元函数的概念 一、选择题一、选择题 1. 函数 22 ( , )ln(1)f x yxy定义域为（ C ） （A） （B） 22 0xy1 22 01xy （C） （D） 22 1xy 22 1xy 2. 函数 22 1 ( , ) ln(1) f x y xy 定义域为（ D ） （A） （B） 22 1xy 22 1xy （C） （D） 22 1xy 2222 12xyxy且 3. 函数 11 ( , )f x y xyx y 定义域为（ C ） （A） （B）0xy0xy （C） （D）0xyxy且000xyxy且 4. 函数 22 1 ( , ) 25 f x y xy 定义域为（ B ） （A） （B） 22 25xy 22 25xy （C） （D） 22 25xy 2222 2526xyxy且 5. ,则的定义域为（ C ） （A） （B） ( , ), )|01,01Dx yxzf x yy设的定义域为 ( , )|01,01Dx yxy( , )|Dx y 32 (,)zf xy 11,0x1y （C） （D）( , )|01, 11Dx yxy ( , )| 11,01Dx yxy 1. 6. 下列函数为同一函数的是（ D ） （A） 222 ( , )( , )()f x yx yg x yxy与 （B） 22 1 ( , )( , )1 1 x y f x yg x yxy xy 与 （C）( , )ln()( , )lnlnf x yxyg x yxy与 （D） 2 ( , )ln()( , )2ln |f x yxyg x yxy与 二、填空题二、填空题 高等数学 B（下） 练习册 7. 2222 ( , ),(,1); xyxxy f x yf xyyx 则 y 8. 22222 ( , )tan,(,)(tan). xx f x yxyxyf kx kykxyxy yy 则 9. 22 (,),( , );f xy xyxyf x yxy则 10. 222 (,),( , )2 ;f xy xyxyf x yxy则 11. 332 (,),( , )(3 );f xy xyxyf x yy yx则 12. 2 22 (1) (,),( , ) 1 . yxy f xyxyf x y xy 则 高等数学 B（下） 练习册 2. 二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数二元函数的偏导数与全微分、二阶偏导数 一、填空题一、填空题 1. ( , )ln(),(1,0)1 ,(1,0)1 ; xy y f x yxff x 函数则 2. ( , )(1)sin,(1,1)e ; xy x y f x yeyf x 则 3. 3 cos(1)sin,(1,)1 ; 2 y x zxyxz y 则 4. 2 (0,1) ( , ),2e; x y f f x ye y 则 5. 2222 cos(),2 sin(); z zxyyxy y 则 6. 2xyz , 则 x z2ln2 xy y; 7. 2 355 xy 2 2 ,62; z zx yx yy x 则 8. / ( , )sin ,()cos,sin; xxxx xyyy f x yxeyfexeyfxey则 9. 2 1 lnsin,cot,cot; yzyyz z y xxxxyxx 则 10. 函数 2 24 2 cos(),cos() z zx yxx y y 则; 2 11. 22 22 22 ln,0. zz zxy xy 则 *12. 22 ( , )( , ) (,),22. f x yf x y f xy xyxyy xy 已知则 二、解答题 13. （2） 求下列函数的全微分： 1）sin(23 ).zxxy 22. zxy （3） ）（2） 22 ln().zxy 解： （1 )2 cos(23yxxsin(23) 3 cos(23 ). dzxy dx xxy dy 22 xdxydy zd xy （ 3） 22 22 . xdxydy dz xy 高等数学 B（下） 练习册 22 ln.zxy （5）arctan. x z y （4） 解： （4） 22 . xdxydy dz xy （5） 22 . ydxxdy dz xy 4. 1,fgh设 、 、具有连续的偏导数、 具有连续导数， 22 (1)(,),; xy zf xyxyzz求 、 (2)(25 ,),. xy xy zfxy ezz求 、 解： . v 解： 2 2 xuv yu zxff zyff , 2 5. xy xuv xy yu zfyef zfxefv , 1 (3)()(2 ),. zz zg xyyh xy xxy 求、 2 (4)()(),. zz zxyyxy xy x ，求、 解： 2 ()() (2 ), ()(2 )2(2 ) zg xyyg xy . yh xy xxx z g xyh xyyh xy y 解： 2 , . xxy yxxyx zz y yy xy z y y x = 3. (1) 求下列由方程确定的函数的偏导数或全微分： ( , ),. z zz xzyezz x y xy 设方程确定函数求 解： 1 ,. zz zzz xexyxe (2)( , )arctan0,. x zz x yxzdz y 已知函数由方程确定 求 解： 22 22 1 y z xy dzdxdy xxy (3)设 22 ( , )ln,. z zz x yxzdz y 函数由方程确定 求 解： 222 22 . 21(21)(21) xzzxyzdxzdy dzdxdy zyzyz *4. 设( , )zz x y函数由方程(,) zz F xy yx 0所确定，其中具有连续的偏导数. ( , )F u v 高等数学 B（下） 练习册 试证明：. zz xyzx xy y 证明：设, zz uxvy yx ，则(,)( , zz F xyF u v yx ), 22 11 , xuxvxuvyuyvyuvzuzvzuv zz FF uF vFFFF uF vFFFF uF vFF xy yx 所以 2 2 , 1111 1111 ()() . 111111 uv uv y x zz uvuv uvuvuv vu uvuvuv z z FF FF F Fzzy x xFyF FFFF yxyx z z FyFzFFxyFF FxF zzyyxyx x xyz xy FFFFFF yxyxyx xy 高等数学 B（下） 练习册 3. 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值 一、选择题一、选择题 1. 函数的驻点（ C ） 22 5610zxyxy6 （A）( 3 （B）( 3 （C）(3,1), 1), 1) （D）(3 ,1) 2. 函数是（ D ） 22, (0zxy则原点,0) （A）非驻点 （B）驻点但不是极值点 （C）驻点且是极大值点 （D）驻点且是极小值点 3. 设二元函数则必有（ B ） 00 ( , )(,),f x yxy在点有极小值 且两个一阶偏导数都存在, （A） （B） 0000 (,)0,(,)0, xy fxyfxy 0000 (,)0,(,)0, xy fxyfxy （C） （D） 0000 (,)0,(,)0, xy fxyfxy 0000 (,)0,(,)0, xy fxyfxy 4. 设函数( , )f x y在 00 (,)xy点的偏导数存在，则( , )f x y在 00 (,)xy点（ D ） （A）连续 （B）可微 （C）偏导数连续 （D）以上结论都不对 5. 设函数( , )f x y在 00 (,)xy点处可导（指偏导数 /,/ xy ff存在）与可微的关系是（ B ） （A）可导必可微 （B）可微必可导 （C）两者等价 （D）以上结论都不对 二、解答题二、解答题 6. 求 33 ( , )927.f x yxyxy函数的极值 解：驻点 12 . (0,0),(3,3)PP 对 1 2 ,0,9,0.810,(0,0)( , )P ABCBACff x y 故不是的极值 对 2 . 2 ,18,9,18.2430,(3,3)0( , )P ABCBACff x y 故是的极小值 7. 求之值并判断 22 ( , )22(1, 1)f x yxaxxyby若函数在处取得极值，, a b(1, 1)f是极 大值还是极小值. 解：由极值存在的必要条件，有 (1,1)0,(1,1)0.ff xy 又 2 ( ,)4,( ,)2,fx yxayfx yxyb xy 所以 (1,1)410,(1,1)20.faf xy b 故 22 5,2,( , )2522.abf x yxxxyy 从而 高等数学 B（下） 练习册 对驻点 (1,1) 2 ,4,2,2.40,(1, 1)2( , )ABCBACff x y 故是的极小值. 8. 某工厂用铁板做成一个体积为2 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺 寸时，才能使用料最省. 3 m 2 2 22 , , ,2()2(), 2 2()0, 333 ( 2, 2).2 2 2()0, x y x y zzSxyxzyzxy 2 xyy Sy x Sx y 解：设长、宽、高分别为则表面积 得唯一驻点故当长、宽、高均为时，用料最少. z 高等数学 B（下） 练习册 4. 二重积分二重积分 一、填空题一、填空题 1. 设21,2 D Dyxyxxdxdy 由直线、及所围成 则1 ; 2. 设 222 :, 0,42 D DRxRyxdxdyRR 则 3. ; 3 D:2,1,(4 )0 ; D xyxy dxdy 设-2-1则 2 16 2,2 3 D Dyxxxdxdy 由直线、及 轴所围成 则 4. ; 5. 2 02, 02,(1) x y D Dxyedxdye 为正方形区域则 ; 6. 2222244 ,( 4 D Daxybx dxdyba ) . 是圆环形区域 二、选择题二、选择题 7. 若（ C ） （A） 0 （B） 2222 1 :1,100,| D D xyDxyxyxy dxdy ：、则 1 2 D xyd （C） 1 4 D xyd （D） 1 8 D xyd 8. （ A ） 若Ixyxyy中 2 12 ln(),ln(),:35, 01, DD dxdy IdxdyDx 其则 （A） 12 II （B） 12 II （C） 12 II （D） 12 2II 9. 若 123 dddIxIIx 23 , DDD x，其 ，中,01,02yyDxx，则（ B ） 11233122 (B) (C) 3132 )(A) (DIIIIIIIIIIII 10. 若（ A ） 23 12 (),(),1, DD Ixydxdy Ixy dxdyDxyxy 其中 由、 轴和 轴所围 则 （A） 12 II （B） 12 II （C） 12 II （D） 12 2II 11. 00,( ,Dxf x 若、则在计算二重积分:1) D xyyy d定限应为等于（ C ） ） （B） （ B ） （A 1 00 ( , ) y dxf x y dy 11 00 ( , ) x dyf x y dx （C） （D）y 11 00 ( , ) x dxf x y dy 11 00 ( , ) yx dxf x y d 12. Dyf 若所围成,在计算二重积分 2 y=1( , ) D xx y d是由与时定限为 高等数学 B（下） 练习册 （A） （B）) 1（ B ） r （B） r 11 0 ( , ) x dxf x y dy 2 11 0 2( , x dxf x y dy （C） （D） 2 1 11 ( , ) x dxf x y dy 2 11 1 ( , ) x dxf x y dy 3. 设,() D Dxyd 则在化为为 22222 xyR是圆域极坐标计算时应 （A） 2 22 00 cos R drrd 2 2 00 R drrd （C） （D） 2 2 00 R dRrd r r 2 2 00 R dr d *14. (0)( , ) D x Rf x y d 若，则在化 22 2DxyR：为极坐标计算时应等于（ C ） rdr （B） （A） 22cos 00 ( cos , sin ) R df rr 2cos 2 00 ( cos , sin )rrdr R df r 2cos 2 0 2 ( cos , sin ) R df rr （C）rdr rd 15. （ ） B） 1 （D）r 2cos 00 ( cos , sin ) R df rr 8 B ） 8 0 ( , ) x dxf x y dy 改换积分次序为 （A （ 8 00 ( , ) y dyf x y dx 8 00 ( , ) y dyf x y dx （C） （D） 88 0 ( , ) y dyf x y dx 88 00 ( , )dyf x y dx 6. 4 11 ( , )x y dy二次等于（ A ） x dxf 积分 ） （B）（A 2 24 1 ( , ) y dyf x y dx 24 1 ( , ) y dyf x y dx （C） 4 11 ( , ) x dyf x y dx 24 1 ( , ) x dyf x y dx （D） 17. , )x y dy二等于（ B ） 11 00 ( x dxf 次积分 （A） （B） 8. 改变下列二次积分的积分次序 11 00 ( , )dyf x y dx 11 00 ( , ) y dyf x y dx （C）x （D） 11 00 ( , ) x dyf x y d 11 00 ( , ) x dyf x y dx 三、解答题三、解答题 1 （1） 10 ( , ). lnxe Idxf x y dy （2） 2 1 0 ( , ). x x dxf x y dyI *（3） 2 221 0010 ( , )( , ). yy 2 22 12 ( , x x x dxf x yI dyf x y dxdyf x y dx ).dy *（4）I 1 0 ( , ). y y Idyf x y dx 1 0 ( , ). y e e dyf x y dx I解： （1） （2） （ ） 2 12 0 ( , ). x x Idxf x y dy 2 111 02 ( , ). y y Idyf x y dx 4（ ） 3 高等数学 B（下） 练习册 19. 计算下列二重积分： （1）( 2 3) D ,xydxdy 2, 12xy0D. 所其中 由确定 222 2 0 -3d(9)16.dxxyyxdx 式() 0-1 （2） 解：原 2 D x yd ，其中1.Dyxxx其中 是由直线、及 轴所围成的区域 4 12 2 000 1 d. 21 x x dxx y ydx 0 式 （3） 解：原 D xyd ，其中 2 .Dyxyx其中 是由抛物线及直线所围成的区域 2 24 12 00 1 d. 22 x x xx dxxy yxdx 4 式 （4） 解：原 2 2 , D y d x 21Dxyxxy其中 是由直线、及双曲线所围成的区域 . 2 22 1 25 11 11 d() 36 x x y dxyxdx xx 解：原式 27 . 4 （5） 22 () D xyd ，.226Dyxyxyy其中 是由直线、和所围成的区域 626 222 22 8 ()d(2)48. 3 y y dyxyxyydy 式 *（6）. 解：原 11 2 0 sin x dxy dy 11 22 000 1 sinsin(1cos1). 2 y dyy dxyy dy 式 下列二重积分 （1） 解：原 20. 计算： 22 22 1 ,1 D dDxy xy 其中 由确定 . 21 00 1 2 .drdr r 解：原式 （2）. 2222 (),4 D xydDxy 其中 由1确定 22 2 01 15 . 2 drrdr 解：原式 高等数学 B（下） 练习册 （3） 2222 cos(),2. D xydDxy 其中 :1 22 2 01 cos(sin2sin1).drrdr 解：原式 2222 4,4 D xy dDxy 其中 由1（4）.定 确 22 2 01 42drrdr 3 . 解：原式 2222 ln(),2. D xydDxy 其中 :1 （5） 22 2 01 ln(2ln2 1).drrdr 解：原式 2222 ln(1), D xy dDxy 其中 由=1及坐标轴所围成的在第一 象限的闭区域. （6） 1 2 2 00 ln(1)(2ln2 1). 4 drrdr 解：原式 请自行完成下面的练习（8） （7）. 2222 (),2 D xydDxyax 其中 由确定 2 2 cos 2 22 0 2 2 (2 cos ) . 2 a a dr rdrda 式 . 略 19. 已知 解：原 （8） 2222 (),2 D xydDxyay 其中 由确定 222 :(0),D xyaaa求 的值使 22 . 2 xy D ed 22222 00 (1), 2 a xyra D edderdre 21 ,l 2 a ea 解：n2. 高等数学 B（下） 练习册 5. 微分方程微分方程 一、选择题：一、选择题： 1. （ D ） 34 () -0xyyx yy y微分方程的阶数为 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 2. 下列属变量可分离的微分方程的是（ C ） （A） （B）cos()0xxy dxydysin()dyxy dx （C） x y dy e dx （D） /2 yyy 3. 下列微分方程中不是 线性微分方程是（ D ） （A） x yxye （B）n 2siyyyx （C） 3x yxye （D） 2 2 0 x d ydy xe dxdx 4. 下列微分方程中属于一阶线性微分方程是（ D ） （A） sin cos x e 2 ()sin0x yyxyyx y （B） （C） 2 x yyxe （D） 22 xx e yxyex 32 ()2yx dxxdyxydxx dy是5. 方程（ C ） ）齐次方程 三类方程 6. （A） 变量可分离方程 （B （B） （C）一阶线性方程 （D）不属于以上 22 xyxy是（ C ） 方程y （B）齐次方程 类方程 * （A）变量可分离方程 （C）一阶线性方程 （D）不属于以上三 7. 下列微分方程中属于一阶齐次方程的是（ B ） （A）1xyy （B）()()0xy dxxy dy （C） 2 xy y x （D）tan dyy dxx y 方程 C xy ） （B） 8. x微分的通解是（ ） （A yx 2 1 2 yxC （C） 2 2yxD）yCC （ 2 x ye 微分方程的通解是（ D ） 9. 高等数学 B（下） 练习册 2 x yeC （B） 2 x yeC（A） （C） 2 x yCe 2 2 x ye C （D） 2 1y 微=的通解是（ B ） (1) y xx x 分方程 ） 10. 1 (arctan)xC x arctan xC（A ）（B （C）arctan C x x 1 arctan xC （D） x 2 2 cos y y11. x 微分方程的通解是（ A ） （A） 1 tan yC x （B） 11 cos C yx （C） 1 sectanyyC x （D） 1 ln |cos|yC x 二、填空题二、填空题 12. 2 3xyx3(1,0)1且切线斜. 经过点率为的曲线方程为 2 .20 x yyyce微分方程的通解为 13. (1.)22ydxxdyyyx微分方程满足的通解为 14. 微分 22 11 lnln0|lnln 2 xe yxdxxydyyxy e 方程满足初始条件的特解是. 15. (.1) 2 xx x dycee 16. xxyey dxxx 微分方程的通解为 17. 微分方程 2 2 (1)0ln |ln |. 2 x xyxyxyC的通解为 18. 求下列微分方程的通解或特解： （1）sin coscos sinxydxxydy. （2） 22 (1)(1)0ydxxdy sinsin coscos sinsinxy dxdy积分得， coscos scos coscos ln |cos| ln |cos|ln coscos xy dxdy xy xy xdy xy xyC xCy 分离变量得， 解： 22 22 0 11 0 11 arctanarctan. xy dxdy dxdy xy xyC dxdy 解：分离变量得， 积分得， cod 高等数学 B（下） 练习册 （3） （4） 22 (1)(1)0xydxxydy / (1) . (0)1 xx eyye y 2 2 , 1 , 1 1 ln(1), 2 22 22 22 22 11 0 11 ln( 0 )ln(1)ln, )(1). xdxydy xy xdxxdy dxdy xy C xyC 1 (1 xy 解：分离变量得， 得， 即 积分 1 01l2 2 y （ ） 1 n2ln , 2 11 ln(1)ln2. 22 x x x x x x e dxydy e e dxydy e eCy CC ey 分离变量得， 积分得， （5）0. （6） 解： ()() x yxx yy ee dxeedy 24 dy yx dx (1), yx edy(1) (1)(1) (1)(1) (1)ln(1)ln, (1)(1). xy xy xy xy xy xy xy eedxe ee dxdy ee ee dxdy ee eeC eeC 解：原方程可化为 分离变量得， 积分得， 即 ) （7） ( )( ) 22 22 222 ( )2, ( )4 , ( ) (4) (4) (2). p x dxp x dx dxdx xx xxx p xq xx yeCq x edx eCxedx eCxe dx eCxee 解： ln 2 1 2 . (1)0 dyx xy dxx y 22 22 ( )( ) 222 2 2 2 22 32 22 212 , ( ), ( ), ( ) 1 () 11 () 11 (). 3232 p x dxp x dx dxdx xx dyxx yp xq x dxxxxx yeCq x edx x eCedx x x Cx dx 1 x xxCx C xx 解： （8） x 222 (1)2(1)xyxyx （9）求. 2 2212 x yxyxexy 满足时的特解 高等数学 B（下） 练习册 22 2 2 2 2 ( )( ) 22 2 11 22 2 2 2 1, 1 2 ( ), ( )1, 1 ( ) (1) 1 (1)(1) 1 (1)(). p x dxp x dx xx dxdx xx x yyx x x p xq xx x yeCq x edx eCxe)dx xCxdx x xCx 解： 2 2 222 2 2 ( )( ) 22 2 1 2 ( )2 , ( )2, ( ) (2) (2) (). 122(1)2 (21). x p x dxp x dx xdxxdx x xxx x x p xx q xxe yeCq x edx eCxeedx eCxee dx eCx xyeCCe yeex 1, 解： 由时 （10）求 sin0 y yxxy x 适合时的特解. *（11） 2 ()xyyy. ( )( ) 11 1 ( ), ( )sin , ( ) (sin) 1 (sin) 1 (sincos ), 1 00(0) 1 (sincos ). p x dxp x dx dxdx xx p xq xx x yeCq x edx eCxedx Cxxdx x Cxxx x xyCC yxxx x , 解： 时 2 1 ,