排列组合、概率、随机变量及其分布列.doc

排列组合、概率、随机变量及其分布列 (2012江苏，22)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望E()审题视点 (1)点P的坐标满足的条件ab3，可知1ba3n3，从而确定点P的个数(2)由题意知ab是3的倍数，记ab3k，由1ba3kn3k，再对n分类讨论解(1)点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及ab3k的点P的个数，只要讨论fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k，设n13mr，其中mN*，r0,1,2，则km，所以Bnfn(k)(n3k)mn，将m代入上式，化简得Bn，所以Bn【应对策略】(1)准确分类与分步是解决排列组合问题的基础，选准方法是关键，备考中要强化常用方法的训练，反复理解体会解题中的数学思想与方法，但不要做太复杂的题目(2)离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范的表述解题的过程这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误.必备知识1两种计数原理分类计数原理和分步计数原理2排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(mn，m，nN*)3组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：C(mn，m，nN*)(3)组合数性质：CC；CCC.4概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1pi0(i1,2,3，n)；2p1p2p3pn1；(2)特殊的概率分布列：01分布(两点分布)符号表示：X01分布；超几何分布：1符号表示：XH(n，M，N)；2概率分布列：XH(r；n，M，N)P(Xr)；二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1符号表示：XB(n，p)；2概率分布列：P(Xk)Cpk(1p)nk.注意：P(X0)P(X1)P(X2)P(Xr)P(Xn)1.必备方法1解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题，按照元素的性质分类，按照事件发生的过程分步；(2)分清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算，在综合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类；(3)要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想方法；(4)排列、组合问题的答案较大时，不易直接验证，因此在检查结果是否正确时，应该着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过一题多解验证结论2概率、随机变量及其分布(1)求随机变量的概率分布的基础是求随机变量取各个可能值的概率，其中要注意随机变量取各个可能值的概率满足的性质对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要熟练掌握(2)随机变量的均值(期望)：E(X)xipi；命题角度一与计数原理有关的问题【例1】 (2011江苏，23)设整数n4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b1,2,3，n，ab.(1)记An为满足ab3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(ab)是整数的点P的个数，求Bn. 审题视点 (1)点P的坐标满足的条件ab3，可知1ba3n3，从而确定点P的个数(2)由题意知ab是3的倍数，记ab3k，由1ba3kn3k，再对n分类讨论解(1)点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及ab3k的点P的个数，只要讨论fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k，设n13mr，其中mN*，r0,1,2，则km，所以Bnfn(k)(n3k)mn，将m代入上式，化简得Bn，所以Bn 此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算【突破训练1】 (2012江苏，23)设集合Pn1,2，n，nN*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：APn；若xA，则2xA；若xPnA，则2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)当n4时，符合条件的集合A为：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶数xPn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是xm2k，其中m为奇数，kN*.由条件知，若mA，则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)命题角度二概率、相互独立事件和独立重复实验命题要点 (1)等可能事件的概率(2)互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率【例2】 (2012南通模拟)某品牌设计了编号依次为1,2,3，n(n4，且nN*)的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j(0i，jn，且i，jN)种款式用来拍摄广告(1)若ij2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2mn2)号中选择，乙在(m1)到n号中选择记Pst(1sm，m1tn)为款式(编号)s和t同时被选中的概率，求所有的Pst的和；(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率 审题视点 首先求出两款的所有等可能基本事件的种数，再确定款式s和t(1sm，m1tn)同时被选中包含的基本事件的种数，以及至少有一个款式为甲和乙共同认可的所有可能种数，从而求相应的概率解(1)甲从1到m(m为给定的正整数，且2mn2)号中任选两款，乙从(m1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为CC，记“款式s和t(1sm，m1tn)同时被选中”为事件A，则事件A包含的基本事件的种数为CCCC，所以P(A)Pst，则所有的Pst的和为：CC4；(2)甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：CCCC2n，同理得，乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n，据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2n2n4n，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件B，则事件B的对应事件为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为：C(CCCC)C(CCCC)C(CC)C(C)C2nC2n1C2C20(12)n3n，所以P(B)1P()1n. 对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率【突破训练2】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击求乙恰好射击5次后被中止射击的概率解(1)甲至少一次未击中目标的概率P1是P1P4(1)P4(2)P4(3)P4(4)1P4(0)140.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2C22，乙射击4次恰击中3次的概率为P3C3，由乘法公式得，所求概率为PP2P3.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P32C23.命题角度三离散型随机变量分布列及其数学期望命题要点 (1)离散型随机变量分布列；(2)求数学期望【例3】 (2012南师附中模拟)甲、乙、丙三个 同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5 ,0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6,0.75.(1) 求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望E() 审题视点 (1)由题意可得，甲、乙、丙三个同学笔试合格这三个事件是相互独立的，再结合互斥事件的概率可得到结果(2)先得到的取值为0,1,2,3，再确定各概率值，求期望解(1)甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试”由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到P(E)0.60.50.60.40.50.60.40.50.40.38.(2)分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，则P(A)P(B)P(C)0.3.由题意知变量可能的取值是0,1,2,3，结合变量对应的事件写出分布列，P(0)0.730.343，P(1)3(10.3)20.30.441，P(2)30.320.70.189，P(3)0.330.027.E()10.44120.18930.0270.9. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算【突破训练3】 在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H、I、J、K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担(1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望E()解(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B，那么P(B)，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P()1P(B).(2)随机变量可能取的值为1,2.事件“2”是指有两人同时承担H任务，则P(2)，P(1)1P(2).所以，的分布列是12P所以E()12.4概率问题中必须突破的两个关键点一、分拆事件时一定要做到“不重不漏”【例1】 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为.求其中甲 、乙二名学生选做同一道题的概率解设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ”，且事件A，B相互独立，P(AB )P(A)P(B)P()P().老师叮咛：甲、乙二名学生选做同一道题是指同时选第21题或22题，因此设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB .二、搞清随机变量每个取值对应的随机事件并准确计算【例2】 某校要举行一次演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立设该选手在比赛中比赛的次数为，求的分布列和数学期望解(1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)，P(B)，P(C).可能取值为1,2,3.P(1)P()1，P(2)P(A)P(A)P()，P(3)P(AB)P(A)P(B).的分布列为：123P的数学期望E()123.老师叮咛：搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件包含的各种情况，对概率类型的准确判定与转化是解题的基础和关键，准确计算是解题的根本，因此在备考中要多下功夫，养成思维严密、转换灵活、计算无误的好习惯.5. 训 练 1一个房间有4扇同样的窗子 ，其中只有一扇窗子是打开的有一只燕子自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又 一次地向着窗户飞去，试图飞出房间燕子飞向各扇窗子是等可能的(1)假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；(2)假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第次试飞时飞出了房间，求试飞次数的分布列及其数学期望2(2012徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分的数学期望E.3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E.4(2012无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(0).(1)求文娱队的队员人数；(2)写出的概率分布列并计算E()5.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；获奖的概率(2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)6(2012南师附中信息卷)为拉动经济增长，某市决定新建一批基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率(2)记X为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望参考答案1解(1)由题意可知：燕子每次试飞出了房间的概率均为.所以燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率P.(2)由题意：P(1)P(2)P(3)P(4)1即试飞次数的分布列如下：1234P所以试飞次数的数学期望为E()1234.2解(1)“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C.则P(A)，P(B)P(C).因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为P4(3)C3.(2)两次投掷得分的得分可取值为0,1,2,3,4则：P(0)P(C)P(C)；P(1)CP(B)P(C)2；P(2)CP(A)P(C)P(B)P(B)；P(3)CP(A)P(B)；P(4)P(A)P(A).E()01234.3解(1)设“至少有一个系统不发生故