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上次课:, 本次课：, 行列式的性质., n 阶行列式的定义：,第2 次课, 行列式按行按列展开.,-行排定义,-列排定义,本次课2的教学要求,1、理解行列式的性质， 并能熟练用于计算行列式.,2、理解行列式按行(列)展开定理， 并能熟练应用.,性质1,行列式 称为行列式 的转置行列式.,设,第三节 行列式的性质,一、行列式的性质,证明,按定义,性质1,性质2 互换行列式的两行 ,行列式变号.,证明,（列）,要证:,则有,故,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，,证明,互换相同的两行，有,则此行列式为零.,性质3,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,证明,比如,要计算,再如,要计算,性质 行列式中如果有两行（列）对应元素成比例,证明,则此行列式为零,性质5 (1):,性质5 (2):,性质 (1):,性质 (2):,例,计算行列式的基本方法:,二、行列式性质应用举例,上三角化.,计算行列式的主要手段:,解,例,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3,证明,证明,例4,解:,注意: 行列式中行与列具有同等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,计算行列式常用方法： (1) 利用定义; (2) 利用性质.,行列式的6个性质,三、小结,例如,第四节 行列式按行（列）展开,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,对于一般情形,得,对于一般情形,设,得,得,定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行(列)展开,例1,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证, 关于代数余子式的重要性质:,证,用数学归纳法,例2,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,=,=,n-1阶范德蒙德行列式,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,对行列式按第一行展开，得：,递推法, 行列式按行(列)展开是把高阶行列式
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