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等差数列的判断方法徐福贵(吉林省东辽县职业高中)我们虽然知道什么是等差数列,但对于等差数列的判断还没有很好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方法,对于等差数列又有了更深的认识。定理1 已知数列的通项,若的差是一个与n 无关的常数,则数列为等差数列(证明略)推论1 若数列的通项为常数,则为等差数列,且公差为0。(证明略)。推论2数列的通项是关于项数n的一次函数,则数列是等差数列,且公差为一次项的系数(证明略)定理2 若的通项既不是常数,也不是关于项数n的一次函数,则数列不是等差数列(证明略)定理3 已知数列的前n项和为0 ,则数列为等差数列 证明 数列的前n项和为0,此数列为0,0, 0,-, 0,-, 数列为等差数列。定理4 已知数列的前n项和,若是关于项数n的一次函数,且常数项为0,则数列是等差数列,且公差为0。证明:是关于项数n的一次函数,且常数项为0,设An(A为常数,且A0)当n2时,=AnA(n1)=A,=0(n2)又=A, , 数列是等差数列,且公差为0。定理5 已知数列的前n项和,若是关于项数n的二次函数,且常数项为0,则数列是等差数列,且公差为二次项系数的2倍。证明:是关于项数n的二次函数,且常数项为0,设。当n2时,+Bn(n)(n)n+B( n2)为等差数列,公差为A。又+,=+=+。数列是等差数列,且公差为二次项系数的2倍。定理若数列的前n项和,且既不是关于项数n的一次函数,也不是关于项数n的二次函数,则数列不是等差数列(证明略)例已知数列满足下列条件,判断数列是否为等差数列?若是等差数列,请指出公差是多少?()n+1 (2) = (3) =n(4) =+n (5) =解:()是等差数列,公差为。 (2)不是等差数列。 ()是等差数列,公差为。 (4)是等差数列,公差为2。 (5)不是等差数列。例2 在等差数列、中, 分别为的等差数列、的前n项和,求解:分别为等差数列、的前n项和,且 可以令的首项为9A,公差为14A, 的首项为4A,公差为2A,=由此可见,掌握了等差数列的判断方法,就能根据已知条件判断某个数列是不是等差数列,若是等
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