校园停车问题的线性规划模型.doc

数学建模竞赛论文（指导老师：周永正）题目：校园停车问题的线性规划模型组号：第六组 姓名:金坤鹏 姓名:刘坚 姓名:杨敏校园停车问题摘要：关于佐治亚理工学院的校园停车混乱问题，我们首先建立可变系数线性规划模型来解决该问题，在解决该问题的过程中，我们结合学校学生、教师、职工的实际情况，并且考虑到校外居民的利益，通过假设多组不同车位的价格，来改变模型中变量的系数，最终通过各模型求出每一组不同车位的价格所对应的利润，通过利润的分析和并将现求解后模型中学生、教工的最大停车费用与之前校方规定的价格产生的学生、教工的最大停车费用作对比,结合有利于学院长期发展的目标和车位合理分配的要求，最终确定了一组最佳的车位分配及对应的停车价格为：零散无限制车位3328个，短期按天收费车位5000个，钥匙卡车位800个，预定车位700个，临时来访车位100个，残疾人车位60个，且停车许可证的注册费为100美元，零散无限制车位价格为有停车许可证即可，短期按天收费车位的价格分为两种情况，一为办了停车许可证的，需每天额外交0.4美元。二为没有办停车许可证的，需每天交1.5美元。钥匙卡车位的价格为每年额外交220美元。预定车位的价格为每年额外交200美元。而临时来访车位，残疾人车位为免费提供。这种的价格和车位的分配尽可能的降低了各类人员的不满意度，并使得停车与交通经费有一定的盈余，从而最终解决了校园停车混乱的局面，且使学生、教工及校外居民都感到满意。关键词：线性规划 满意度 可变系数 一 问题的提出佐治亚理工学院位于市内，目前学校拥有各类人员的总数为16000人，分别为住校生4000人，走读生8000人，教师1600人，职工2400人。学院内仅有9988个停车位，但学院的师生职工拥有车数为14048，显然供不应求。因此为了限制停车数量和维持正常的经费开支，实行停车许可证和年度收费政策。另外，这9988个停车位包括最近新建的两个停车平台（即学生中心停车平台）的1500个停车位，平均每个停车位的建设费用高达4000美元。为了逐步付清这项工程的贷款，该停车平台单独设了较高的收费，除了原有的每年每车100美元的费用，另加收使用费每天1.5美元。但这项引起了各方面，特别是学生的极大不满，致使有些学生宁愿把车停在1英里以外，然后步行，或者乘校车，也不愿意付这1.5美元。结果是全校停车位不足，而学生中心停车平台却远远美元停满，致使学校的停车和交通经费预算短缺100000美元以上，而且导致校外乱停车，使校园北部居民抱怨很大。归纳起来主要有如下一些数据：（1）住校生4000走读生8000教师1600职工2400总计拥有车的人数308072801552213614048不收费情况下，校园停车数219562611505190112162在该中收费制度下，校园停车数9245460141217929588（2）类型数量（个）收费（每个车为全年收费100美元）零散无限制车位7100只要有停车许可证短期按天收费车位1328若有停车许可证，每天加收1.5美元若没有停车许可证，每天加收3美元钥匙卡车位800每年加收50美元预定车位600每年加收100美元临时来访车位100免费使用残疾人车位60免费使用合计9988（3）全年停车与运输资金预算包括：年度停车许可注册费约115万美元；钥匙卡车场额外收费约4万元；特留车位额外收费约6万美元；学生中心停车平台收取的每日停车费全年收入约16万美元。（4）全年校车收费35万美元，但校车运输费用也是大约35万美元。校车是由学生会通过并付钱的校园运输服务来运作的。（5）全年停车与运输总花费包括：全年停车场资本费用96.6万美元（其中包括地表费用和对贷款的偿还）；全年停车运作费用72.5万美元（包括停车办公室的管理，制度的执行）。（6）个人年收入中间值：住校生5000美元，走读生10000美元，教师52000美元，职工27000美元。教职工相比学生有较高的收入，学生对停车收费师生同价意见较大。如何在考虑以上方面的基础上，运用数学模型的方法重新制定校园停车政策，尽量使教工，学生，校方及校外居民都满意，并使停车与交通经费有一定的盈余，有利于长期发展。二 问题的分析（1）首先我们通过计算得知不收费的情况下有12162辆车将停于校园内，而学校方面只有9988个停车位，供不应求。所以为了限制停车数量和维持正常的经费开支，实行停车许可证和年度收费政策。（2）在目前这种收费制度下校内停车数为9588，而学院拥有的停车位为9988. 是什么导致预算资金短缺及停车混乱的原因？，因为这9988个停车位包括最近新建的两个停车平台（即学生中心停车平台）的1500个停车位，我们假设学院每年正常上课的时间为210天，上面我们已知学生中心停车平台收取的每日停车费全年收入约16万美元，因此有=510,我们可以看出对于学生中心停车平台的车位，我们只利用了510.将近有1000个空位，其实我们实际利用的车位为只有8998.所以使得问题变得尖锐起来。（3）由师生及职工的年收入我们得知，以上的收费标准是极不公平的，像钥匙卡车位，预定车位它们的年费用才为150,200元.相比之下学生中心平台的收费，像我们之前的假设学院每年正常上课的时间为210天，通过计算有100+1.5*210=415元，相比师生及职工的年收入，难免会使学生感到不满意。对于不同的车位，以及不同收入的群体我们应该给出不同的价格，并且给出的价格必须合理。因此我们假定学生中心停车平台的1500个停车位应该设定为钥匙卡车位和预定车位两类。（4）停车许可证的办理问题，考虑到在目前这种停车收费制度下，有9588个车位有车停放，我们认为这9588个人对停车的需求是刚性的。按情理说他们都会办理停车许可证，所以我们假设办理了停车许可证的人数为9588人，则没有办理停车许可证的人数为9988-9588-100-60=240.（5）考虑到学院的长期发展，停车与交通经费应该有一定的盈余，我们应该选取合适的价格，进行合理的车位分配。使教工，学生，校方及校外居民都尽量满意。但价格不能太高，毕竟学校的停车场不是以盈利为目的。综上解决问题的关键就是选取合适的价格，进行合理的车位分配。我们通过建立线性规划模型来解决这个问题。三 模型假设（1） 教工和学生均不停在临时来访车位和残疾人车位，学生中心停车平台的车位只能由师职人员来停。 （2） 不考虑各停车场的地区差异，即不考虑各类人员因到停车场步行距离的差 异而产生不满意的情况；（3） 假设全年上课时间为210天，车主每天来停车人数不会有较大的变动；（4） 学校拥有汽车的人数不会有大的变动。（5） 考虑到各类人员的收入情况，假设学生中心停车平台的1500个车位分为钥匙卡车位和预定车位两类。且新增的240个车位假设全部给住校生来停。四 符号说明 表示第i类车分配给第j类人员的数目； 表示对于短期收费车位，若有停车许可证的情况下，每天加收的金额；表示对于短期收费车位，若没有停车许可证的情况下，每天加收的金额； 表示第i类车位的数目 i=1,2,3,4; 表示第j类人员的数目 j=1,2,3,4；x表示每辆车办理停车许可证时所需的费用；m 表示单位钥匙卡车位每年所加的金额；n 表示单位预定车位每年所加的金额；g 表示全年各种固定资本和运作费及校车的运输费；f 表示全年各种固定收费之和，包括许可注册费，各种额外加收费用，校车费用；F 表示目标函数，停车与交通经费的盈余，即利润。五 模型的建立我们建立线性规划模型来解决校园停车问题MAX根据实际情况并结合各类人员的收入情况给出各类停车车位的价格，即给出 m n x的价格。由于要考虑学校停车场得长远发展，给定F值为停车的利润，从而得出相应的各个车位的价格。六 模型的求解MAX首先我们通过LINGO软件求出各车位分配如下：从的矩阵我们可以看出。住校生有1164个车位，走读生有5460个车位，教师1412个车位，职工1792个车位。如下图所示，结合该校学生师职工的人数比例来看，这样的分配是符合实际的，而且是比较合理的。另一方面，我们从各车位类型总数的角度来看，零散无限制车位共有3828个，短期按天收费车位共有5000个，钥匙卡车位共有800个，预定车位共有700个。如下图所示钥匙卡车位，预定车位共1500个，这二个车位是高收费车位,正好分配到师职工来停放，结合各类人员的收入考虑，这样的分配尽可能的降低了各类人员的不满意度，达到了车位合理分配的效果。其次我们根据实际情况并结合各类人员的收入情况假设出各类停车车位的价格，如下所示：方案（1）：=0.5，=1.5， m =150 ，n =200， x=100。所以求得：F=f-g=123200类型数量（个）条件（每个车位全年收费100美元）零散无限制车位3328只要有停车许可证短期按天收费车位5000若有停车许可证，每天加收0.5美元若没有停车许可证，每天加收1.5美元钥匙卡车位800每年加收200美元预定车位700每年加收150美元临时来访车位100免费残疾人车位60免费合计9988方案（2）：=0.3，=1.3， m =150 ，n =200， x=100。所以求得：类型数量（个）条件（每个车位全年收费100美元）零散无限制车位3328只要有停车许可证短期按天收费车位5000若有停车许可证，每天加收0.3美元若没有停车许可证，每天加收1.3美元钥匙卡车位800每年加收150美元预定车位700每年加收200美元临时来访车位100免费残疾人车位60免费合计9988F=f-g=-86800 不符合实际舍去。方案（3）：=0.4，=1.4， m =220 ，n =200， x=100。所以求得：类型数量（个）条件（每个车位全年收费100美元）零散无限制车位3328只要有停车许可证短期按天收费车位5000若有停车许可证，每天加收0.4美元若没有停车许可证，每天加收1.4美元钥匙卡车位800每年加收220美元预定车位700每年加收200美元临时来访车位100免费残疾人车位60免费合计9988F=f-g=72200结果的分析与检验：方案二中利润的值为负，不利于学院长期发展的利益进而舍去。方案一与方案三比较，对于住校生而言，方案三在一年中花费的最大停车费用为100+210*0.4=184,方案一在一年中花费的最大停车费用为100+210*0.5=205.再者方案三中教师在一年中花费的最小停车费用为300.，由这些数据可知，学生的最大停车费用较教工的最小停车费用由较大的差距，从而尽可能的降低了学生的不满意度，而且方案三的利润值比较符合实际。所以我们最终选取方案三作为我们的定价策略。七 模型的评价与推广模型的优点： 在该模型中，我们根据题意，充分考虑到了各车位的利用率，学校收益问题及停车学生、教工等的实际情况，并大胆的假设，综合全面的将各个因素放入模型，建立了目标规划模型，然后通过软件求出了最佳解，得出解之后，我们再次根据实际情况，对最优的规划模型进行适当的修正，使得最终方案符合各方利益，且符合实际情况，并具有一定的可行性。 模型的缺点: 首先就是模型的假设过于理想化，并不能保证车位每天都会停满，学生、教工拥有车辆会随着时间的改变而产生一定的波动，在这里我们也没有将其纳入模型的求解，在最后的收入盈余时，因缺少相关的数据而做了一定的简化假设处理。另外我们不能精确的求出停车价格的最优解，只能通过变动系数大概的求出各个车位的价格模型的推广： 在社会资源紧缺的今天，合理利用每一份资源都显得尤其重要，构建节约型社会需要从生活的每一个方面进行，合理利用车位，发挥每个车位的最大使用价值，创造恰当的社会财富，且使得能够长期的发展，是这个模型的最终目标。该模型的建立很好的解决了该校停车混乱的问题，同时结合当前情况，本模型也可推广到其它各个学校，公司企业，或者是居民小区，这对构建和谐的社会环境有着重大意义，其次本模型采用可变系数的方法，在试用到解决其它场所的停车问题时，该模型只需改变适当的变量加上不断进行调整，就能达到理想的效果。参考文献：1马亮，颜桃为. 大学校园停车规划与管理研究D. 南京：南京交通工程学院，2007.2叶其孝. 大学生数学建模竞赛辅导教材M. 湖南教育出版社，2003.3万重飞，许景飞. 校园停车政策的数学模型J. 工程数学学报，2003.4孙晓群，党林立. 数学建模简明教程M. 西安电子科技大学出版社，2009。附录：max=9588*x+r1*(5000-240)*210+r2*240*210+(x31+x32+x33+x34)*m+(x41+x42+x43+x44)*n-1671000;x11+x21+x3