信号与系统答案西北工业大学段哲民第五章.pdf

第五章第五章 习习 题题 5.1 求下列各时间函数 ( )tf 的像函数 ( )sF 。 (1) ( )()( )tUetf at = 1 (2) ( )() ( )tUttf+= sin (3) ( )() ( )tUatetf at = 1 (4) ( )()( )tUe a tf at =1 1 (5) ( )( )tUttf 2 = (6) ( )() ( )( )ttUttf32+= (7) ( )( )ttUttfcos= (8) ( )()( )tUatetf at 1+= 答案答案 (1) )( 11 )( + = + = ssss sF (2) + + = 2 cossin )( s s sF (3) 2 )( )( + = s s sF (4) )( 1 )( 1 )( + = + = ssss sF (5) 2 2 )( s sF= (6) 2 2 2 123 3 21 )( s ss ss sF + =+= (7) 22 22222 111 ( )cos() 222 1111 2()2()() j tj tj tj t F sL ttLt eeL teL te s sjsjs =+=+= += + (8) 2 22 ( )1(1) ()() t F sL etLeLt s ssss =+=+=+= + 5.2 求下列各像函数 ( )sF 的原函数 ( )tf 。 (1) ( ) ()() ()()42 31 + + = sss ss sF (2) ( ) ()()1265 162 2 2 + + = sss s sF (3) ( ) 23 992 2 2 + + = ss ss sF (4) ( ) ()sss s sF 23 2 3 + = 答案 答案 (1) 42 )( 321 + + + += s K s K s K sF 8 3 )4)(2( )3)(1( 0 1 = + + = =s s sss ss K 4 1 )2( )4)(2( )3)(1( 2 2 =+ + + = =s s sss ss K 8 3 )4( )4)(2( )3)(1( 4 3 =+ + + = =s s sss ss K 4 8 3 2 4 1 8 3 )( + + + += sss sF )() 8 3 4 1 8 3 ()( 42* tUeetf tt += (2) 12 45 152 3 9 34 2 5 12 1232 )( 321 + + + + + = + + + + + = ssss K s K s K sF )() 45 152 9 34 5 12 ()( 1232 tUeeetf ttt += (3) 2 1 1 2 2 )2)(1( 53 2)( + + + += + + += ssss s sF )()2()(2)( 2 tUeettf tt += (4) 2 4 1 1 1 )2)(1( 23 1 23 )( 2 2 + + += + + = + = ssss s ss s sF )()4()()( 2 tUeettf tt += 5.3 求下列各像函数 ( )sF 的原函数 ( )tf 。 (1) ( ) 86 66 2 23 + + = ss sss sF (2) ( ) ()2 2 1 1 + = ss sF 答案 答案 (1) 4 4 2 2 )( + + + += ss ssF )()42()()( 42 tUeettf tt += (2) ssssss K s K s K s K s K sF 31 1 3 )2( 2 ) 1( 1 1) 1() 1( )( 223 22 2 2113 2 12 3 11 + + + + + + =+ + + + + + = )()3()()3 2 1 ()()332 2 1 ()( 22 tUttUetttUteteettf tttt +=+= 5.4 求下列各像函数 ( )sF 的原函数 ( )tf 。 (1) ( ) () ()41 2 2 1 + + = s e sF s (2) ( ) () s es sF = 1 1 (3) ( ) 2 1 = s e sF s 答案 答案 (1) 因 22 )1( 22 2) 1( 2 2 1 2) 1( 2 )( + + + = s e s sF s 又因有 4 2 )(2sin 2 + s ttU 故由时移性有 s e s tUt + 4 2 ) 1() 1(2sin 2 又由复频移性有 )1( 2 4) 1( 2 ) 1() 1(2sin + st e s tUte 故 ) 1() 1(2sin 2 1 )(2sin)(+=tUtettUetf tt (2) s es sF = 1 11 )( 故 = = = 00 )()()()( nk KtUKttUtf , NK (3) s ee sF ss = 1 2 1 )( 因有 )1 ( 1 ) 1()( s e s tUtU 故 )2()2() 1() 1(2)() 1()() 1()()(+=tUttUtttUtUtUtUtUtf 5.5 用留数法求像函数( ) () ()32 16174 2 2 + + = ss ss sF的原函数 ( )tf 。 答案 答案 令 )(sF 的分母 0) 3()2( 2 =+ss ，得到一个单极点 3 1 =s 和一个二重极点 2 2 =s 。下面求各 极点上的留数。 t s st s st ee s ss essFs 3 3 2 2 31 )2( 16174 ) 3)(Re = = = + + =+= = + = =2 2 )2)( )!12( 1 Re s st essF dt d s = + + = 2 2 ) 3 16174 ( s st e s ss ds d = + + + + + = 2 2 2 2 3 16174 96 35244 s stst e s ss te ss ss ttt ettee 222 )23()2(3 =+ 故 )()23()( 23 tUetetf tt += 5.6 求下列各像函数 ( )sF 的原函数 ( )tf 的初值 ( ) + 0f 与终值 ( )f 。 (1) (1) ( ) 1 12 23 2 + + = sss ss sF (2) (2) ( ) 1 2 3 + = ss s sF (3) (3) ( ) sss s sF 23 12 23 + + = (4) (4) ( ) ()4 1 2 2 + = ss e sF s 答案 答案 初值定理应用的条件是， )(sF 必须是真分式；终值定理应用的条件式： （1） )(sF 的极点必 须在s平面的左半开平面；（2）在 0=s 处， )(sF 只能有一阶极点。也就是 说，终值定理只 有在 )(tf 有终值的情况下才能应用。例如，当 )(tf 维周期函数时就，终值定 理就不能适用了。 (1) ) 1() 1( ) 1( ) 1)(1( ) 1( 1 12 )( 2 2 2 2 23 2 + + = + = + + = ss s ss s sss ss sF 由于 )(sF 在s的右半开平面上有二阶极点 1=s ，故 )(tf 的终值不存在。 1lim ) 1() 1( ) 1( lim)0( 3 3 2 2 = + + = + s s ss s sf ss (2) 0 1 lim)( 2 3 0 = + = ss s sf s 又 1 1 1)( 2 + += ss ssF 故 0 1 1 lim)0( 2 = + = + ss sf s (3) 2 1 23 12 lim)( 33 0 = + + = sss s sf s 0 23 12 lim)0( 23 = + + = + sss s sf s (4) 0 )4( 1 lim)0( 2 2 = + = + ss e sf s s 因 )(sF 在 j 轴上有一对共轭极点，故 )(sF 对应的 ( )f t 不存在终值。 5.7 已知系统的微分方程为 ( )( )( )( )( )tftftytyty323 +=+ 激励 ( )( )tUetf t3 = 系统的初始状态为 ( )10= y ， ( )20 = y 。 试求系统全响应 ( )ty 的初始值 () + 0y 和 () + 0 y 。 答案 答案 系统全响应的初始值 (0 )y + 是等于 (0 )y 加上零状态响应 ( ) f yt 的初始值 ( ) f yt+ ，即 )0()0()0( + += f yyy )0()0()0( + += f yyy 在零状态条件下对原微分方程等号两边同时求拉普拉斯变换，得 )(3)()(2)(3)( 2 sFssFsYssYsYs fff +=+ 令 3 1 )( + = s sF ，代入上式有 1 3 1 3 3 1 )()23( 2 = + + + =+ ss ssYss f 故 23 1 )( 2 + = ss sYf 故得零状态响应 )(tyf 的初始值为 0 23 1 lim)0( 2 = + = + ss sy s f 因 2 1 ( )( ) 32 ff ytsYss ss = = + l 故得 1 23 1 lim)0( 2 = + = + ss ssy s f 故得全响应得初始值为 101)0()0()0(=+=+= + f yyy 312)0()0()0(=+=+= + f yyy 5.8 图题 5-8(a)所示电路，已知激励 ( )tf 的波形如图题 5-8(b)所示。求响 应 ( )tu ，并画出 ( )tu 的波形。 )(tf + - 1 N 1 + - 1F)(tu (a) 3 -2 0 Vtf/ )( t (b) 图题 5-8 答案 答案 图题 5-8（a）所示电路的开关等效电路，如图题 5-8（c）所示。 0t 时 S 在 2，故可作 出 0t 时的 s 域 电路模型，如图题 5-8（d）所示。故可列写出节点 N 的 KCL 方程为 s s s ss sUs 3 1 1 1 3 )() 1 1 1 1 ( + = +=+ 故 2 2 5 2 3 )2( 3 )( + += + += = ssss s sU 故得 )() 2 5 2 3 ()( 2 tUetu t = ( )u t 得波形入图题 5-8（e）所示。 。 )(tf + - 1 N 1 + - 1F)(tu (a) 3 -2 0 Vtf/ )( t (b) + - 1 N 1 + - 1F 2V + - 3V )(tu 1S 2 (c) s 3 + - 1 N 1 + - )(tU (d) s 1 s 1 + - 0 t (e) 1.5 -1 ( )u t/V 图题 5-8 5.9 图题 5-9 所示零状态电路，激励 ( )( )VtUtf= ，求电路的单位阶跃响应 ( )tu 。 )(tf + - )(tuF 2 1 H 2 1 图题 5-9 答案 答案 图题 5-9（a）电路的 s 域电路模型，如图 5-9（b）所示。故得 4 11 2 12 2 12 )( 2 + = + = ss s s s s sU 故得 )(2sin)(ttUtu= )(tf + - )(tu (a) F 2 1 H 2 1 s 1 + - )(sU (b) s 2 s 2 1 图题 5-9 5.10 图题 5-10 所示电路，已知 ( )Ai10= ， ( )Vu10= ， ( )( )VttUusin0= 。 求全响应 ( )tu 。 + - 1 )(tf + - N H 3 2 i F 2 1 1 u 图题 5-10 答案答案 图题 5-10 （a） 电路的 s 域电路模型， 如图题 5-10 （b） 所示， 其中 1 1 )( 2 + = s sF 。 故可列写节点 N 的 KCL 方程为 + - (a) 1 )(tf + - N H 3 2 i F 2 1 1 u + - (b) 1 ( )F s + - N s 3 2 s 2 1 s 1 3 2 + - )(sU 图题 5-10 ss sU s s1 2 1 1 1 )() 2 3 21 1 1 1 ( 2 + + =+ 故 1 5 2 1 5 1 2 8 . 2 1 2 ) 1)(3)(1( 232 ) 1)(34( 232 )( 222 23 22 23 + + + + + + + = + + = + + = ss s sssss sss sss sss sU 故得 )()43.63cos(447. 08 . 22)()sin 5 2 cos 5 1 8 . 22()( 22 tUteetUtteetu tttto +=+= （V） 5.11 图题 5-11(a)所示电路，已知激励 ( )tf 的波形如图题 5-11(b)所示， ( )()( )VtUetUtf t +=22 。今于 0=t 时刻闭合S，求 0t 时的响应 ( )tu 。 + - (a) 1 )(tf + - H1 F1 1 1 )(ti )(tu S t=0 t (b) 2 )(2tUe t 0 图题 5-11 答案 答案 0t 时 S 闭合，故可作出 0t 时 s 域电路模型， 如图 5-1（c）所示，其中 1 2 )( + = s sF 。对节点，列写 KCL 方程为 +=+ + =+ s sU s ss ss sUs s 1 1)() 1 1 1 1 1 ()( 1 1 1 1 2 )( 1 1 )() 1 1 1 1 1 ( 联解得 22 ) 1( 1 1 1 ) 1( 2 )( + + + = + + = sss s sU 故得 )()1 ()()()(tUettUteetu ttt +=+= + - (a) 1 )(tf + - H1 F1 1 1 )(ti )(tu S t=0 t (b) 2 )(2tUe t 0 + - (c) 1 )(sF + - s 1 1 )(sU )( 1 s )( 2 s s 1 s 1 + - + - 1 图题 5-11 5.12 图题 5-12 所示零状态电路， ( )( )( )VtUtftf= 21。求响应 ( )tu 。 1 )( 1t f + - H1 F1 1 1 + - )( 2 tf +- )(tu 图题 5-12 答案 答案 图题 5-12（a）电路的 s 域电路模型，如图题 5-12（b）所示。故可列写出 节点的 KCL 方程为 s ss s 1 )(1)() 1 11 ( 21 =+ 1)()11 ()( 21 =+sss 联解得 1 1 )( 1 + = s s ， 1 1 )( 2 + = s s 故 0)()()( 21 =sssU 故得 ( )0u t= (a) 1 )( 1 tf + - H1 F1 1 1 + - )( 2 tf +- )(tu (b) 1 + - 1 1 + - +- ( )U s s 1 s 1 s 1 s 1( ) s 2( ) s 图题 5-12 5.13 图题 5-13 所示零状态电路，求电压 ( )tu 。已知 ( )( )VtUetf t =10 。 )(tf + - u H1 + - +- 1 2u4 4 + - 1 u 图题 5-13 答案 答案 图题 5-13（a）电路的 s 域电路模，如图题 5-13（b）所示，其中 1 10 )( + = s sF 。 故可列写 出回路的 KVL 方程为 1 10 )(4)()44( 21 + =+ s sIsI )(2)()4()(4 121 sUsIssI=+ 又 )()( 4)( 211 sIsIsU= 以上三式联立得 )6)(1( 15 )( 2 + = ss sI 又 6 18 1 13 )6)(1( 15 )()( 2 + + + = + = ssss s ssIsU 故得 )()183()( 6 tUeetu tt += （V） )(tf + - u (a) H1 + - +- 1 2u4 4 + - 1 u )(sF + - (b) s + - +- 4 4 + - )( 1 sU )(sU I1(s) I2(s) 1 2( )U s 图题 5-13 5.14 图题 5-14 所示零状态电路， ( )( )VtUtf= ，求 ( )tu2 。 + - + - 1 u2 4H1H 2H f(t) i1i2 1 图题 5-14 答案 答案 图题 5-14（a）的电路的 s 域电路模型，如图 5-14（b）所示。故可列出回 路的 KVL 方程为 s ssIsIs 1 )(2)()1 ( 21 =+ 0)() 14()( 21 =+sIsssI 联解得 2 . 0 1 4 . 0)( 2 + = s sI 故 2 . 0 4 . 0 )(1)( 22 + = s sIsU 故得 )(4 . 0)( 2 . 0 2 tUetu t = （V） + - + - 1 u2 4H1H 2H f(t) i1i2 1 (a) s 1 F(s) I1(s) s 4s 2s I2(s) U2(s) + - + - 1 1 (b) 图题 5-14 5.15 图题 5-15 所示电路 0t 时的 ( )ti1 和 ( )ti2 。 + - 20V 4H 4H4H t=0 S 4 4 8 i1 i2 图题 5-15 答案 答案 0t 时 S 打开， 其对应的 s s 域电路模型如图题 5-15 （c） 所示。故有 1 5 44 20 )( + = + = ss sI 故 1 2 5 )( 2 1 )()( 21 + = s sIsIsI 故得 )( 2 5 )()( 21 tUetiti t = （A） + - 20V 4H 4H4H t=0 S (a) 4 4 8 i1 i2 + - 20V t=0 S (b) (4-4)H(4-4)H 4H i1 i2 i 4 4 8 + - I1(s) I(s) I2(s) 20V (c) 4 4 4s 8 图题 5-15 5.16 图题 5-16 所示电路， 0t 时S打开，电路已工作于稳态。今于 0=t 时 刻闭合S，求 0t 时关于 ( )tu 的零输入响应、零状态响应、全响应。 - + 12Vf(t) 1H S t=0 + - u + - uc 1F 3 2 1 i 图题 5-16 图题 5-16 答案 答案 0t 时 S 闭合，其 s 域电路模型如图题 5-16（b）所示。故对节点 N 课列写 出 KCL 方程为 )0( 3 )()0( )() 1 3 1 ( + + + =+ + C u s sFi sUs s 故 22 )2( )( )2( )0() 3()0( )( + + + + = s sF s usi sU C 故得令输入响应与零状态响应的像函数为 2 6 )2( 8 )2( 206 )2( )0()3()0( )( 222 + + + = + + = + + = sss s s usi sU C X 2 3 )2( 63 )2( 12 )2( 12 )2( )( )( 2222 + + + += + = + = + = ssssss s s sF sU f 故得零输入响应和零状态响应分别为 )()68()( 2 tUettu t X += （V） )() 36(3)( 2 tUettu t f += （V） 故得全响应为 )() 32(3)()()( 2 tUettututu t fX +=+= （V） - + 12Vf(t) 1H S t=0 + - u + - uc 1F 3 2 1 (a) i - + + - +- 3 F(s) I(s) s i(0-) N s 1+ - U(s) 1 (b) s uC)0( 图题 5-16 5.17 图题 5-17 所示电路， ( )( )VtUtf= ， ( )Vuc10= ，( ) Ai20= ， 求响应 ( )tu 。 + - f(t) +- 1F 0.5 1H + - u i uc 图题 5-17 答案 答案 图题 5-17（a）电路的 s