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1 第 2 章习题答案 第 2 章习题答案 2-1 在直径为 1mm 的铜导线中， 若有50f =Hz 的电流 1 安培通过。 假如电流在横截面上是均 匀分布的， 试求导线中位移电流密度振幅， 以及传导电流密度振幅与位移电流密度振幅的比值 （已知铜的1 r =，1 r =， 7 5.8 10=S/m） 。 解：解： I s = z Je I s = z J Ee I tst = Dz E Je 设 () 00 sinsin 100IItIt= 11 00 2 cos6.09 10 II t sa = DzD JeJA/m2 0 sin I t s = z Je 16 2.09 10 = D J J 即铜导线中位移电流远小于传导电流，且两者相位相差 o 90。 2-2 证明无源自由空间中仅随时间改变的场，如sint= m BB，不满足 Maxwell 方程。若将t 换成 y t c ，其中 00 1 c =，则它可以满足 Maxwell 方程。 证：证： 将题中所给的B代入 Maxwell 第一方程，计及0=J，可得 0 sin0t t = = = m BD H 积分得：= 0 DD为一常矢量，故 0 0 = = D E。但由 Maxwell 第二方程可得 cos0t t = = m B EB 这样的场不满足 Maxwell 方程。对于sint= m EE也有同样的结果。 若将B中的t换成 y t c ，则 2 ()sinsin m y tBtky c = mz BBe 上式中 m B= mz Be是为计算方便定为z方向，k c =。代入 Maxwell 第一方程， 得 () () 0 0 0 sin cos m m B tky k Btky t = = = z x He e E 积分得 () () 00 00 sin sin m m k Btky B tky = = x x Ee e 将E和B分别代入 Maxwell 第二方程两边，得 () 00 sin m B tky y = z Ee () () 00 cos cos m m kB tky Btky = = z z e e ()cos m Btky t = = z B eE 可见E和B满足 Maxwell 第一、二方程，易证它们亦满足 Maxwell 第三、四方程。 注： 本题的结果说明， 满足 Maxwell 方程的时变电磁场必然是诸如 y t c 之类的时空 变量的某种函数。这是因为时变电场和时变磁场不可分割地同时存在并互相激发。但在场 源频率不高时，却可像静态场那样，由电流求B而忽略 t D 的作用，或由电压（电荷）求 E而不计 t B 的贡献。例如，密绕在长螺线管上的线圈中通以低频正弦电流，螺管中 sin m BnIt=；平板电容器加低频正弦电压，其中sin m U Et d =。这些解都不满足 Maxwell 方程，但在低频时又足够精确。 2-3 证明在时变电磁场中的导体内部，假如时间为零时分布有电荷密度为 0 的初始电荷，则 其随时间的变化规律是( ) () 0e t t =。若电荷密度减小到初始值的1 e时所经过的时间称 3 为驰豫时间。试计算铜（ 7 5.8 10=，1 r =）和石墨（0.121=，5 r =）的驰豫时间。 证：证： 利用 Maxwell 方程： t = =+ iD D HJ 对上面第二个方程两边取散度，可得 左边()0 =Hi 右边() d dttt += +=+ iii D JED () 0 d d e t t = = 当 0 1 e =时，得驰豫时间 s t = 铜的驰豫时间 12 19 7 8.854 10 1.52 10 5.8 10 s t = 秒 石墨的驰豫时间 12 10 5 8.854 10 3.68 10 0.12 s t =秒 2-42-4 如题 2-4 图所示，两个无限大的平面理想导电壁（z0 和 zd）之间的空气中，已知电 场强度为 () 0sin cos yx z EEtk x d = 式中 E0和 kx为常数。试求： （1）磁场强度 H； （2）两导体表面上的电流密度 Js。 解：解： （1） 0 1 t = H E ()() 0 00 00 1 coscossinsin yy xz x xxzx EE zx EE kzz tk ztk z ddd = + = ee ee 对时间积分得 题 2-4 图 o 4 ()() 00 00 cossinsincos x xxzx Ek Ezz tk xtk x ddd =+Hee （2）z=0 处导体表面上的电流密度为 0 0 0 sin() szzxy E tk x d = =JeHe （A/m） z=d 处导体表面上的电流密度为 0 0 sin() szz dxy E tk x d = =JeHe （A/m） 2-5 在由理想导电壁() 限定的区域0xa内存在一个如下的电磁场 () () () 0 0 0 sinsin sinsin cossin y x z ax EHkzt a ax HH kkzt a x HHkzt a = = = 这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度值如何？ 解：解： （1） 0 0 00,0,cos() 0,0,cos() yxz yxz xEHHHkzt xaEHHHkzt = = ， ， 即满足理想导体表面电场切向分量为零、磁场法向分量为零的边界条件。 （2） 00 0 0,cos() ,cos() sxy sx ay xHkzt xaHkzt = = = = JnHe JnHe 2-6 如题 2-6 图所示，同轴电缆的内导体半径 a=1mm，外导体内半径 b=4mm，内外导体间为 空气介质，且电场强度为 () 8 100 cos 100.5V/mtz =Ee （1）求磁场强度 H 的表达式； （2）求内导体表面的电流密度； （3）计算 0z1m 中的位移电流。 解：解： （1） 0 1 t = H E 题 2-6 图 5 () 0 8 0 1 50 sin 100.5 E z tz = = e e 对时间积分得 ()() 88 8 0 500.398 cos 100.5cos 100.5 10 tztz =HeeA/m （2）内导体表面的电流密度 () 8 398cos 100.5 sz tz=JnHeA/m （3）位移电流密度 () 10 8 00 10 sin 100.5 D tz t = E Je 所以 0z1 中的位移电流 () () 10 1 8 0 0 8 d 10 sin 100.52 d 0.55sin 100.5(A) DD S I tzz tz = = = JS 2-7 有下列方程 （1） 2 2 2 t = A AJ （2） t = iA （3） t = iJ （4） 2 2 2 0 t = H H 式中，A、J、H都是有一定意义的物理量，并且都随时间作简谐变化，试写出 它们相应的复矢量方程。 解：解：简谐变化的量都可以写成 ()( ) j ,e t t = ii F rF r 6 () ( )() j , jej, t t t t = i ii F r F rF r () ( )() 2 2j2 , e, t t t t = = i ii F r F rF r 复矢量方程如下 （1） 22 += AAJ iii （2）j= ii iA （3）j = ii iJ （4） 22 0 +=HH i ? 2-8 证明均匀线性各向同性无源介质空间中，时谐电磁场的 Maxwell 方程组的四个方程不是独 立的，即两个散度方程可以由两个旋度方程导出。 解：解：因为j=HD ? 两边取散度得 ()j =HD ? 因为左边0，所以0=D ? 即得第 4 方程。 又因为j= EB ? 两边取散度得 ()j = EB ? 因为左边0，所以0=B ? 即得第 3 方程 2-9 已知正弦电磁场的电场瞬时值为()() 12 ,z tz t=+EEE，其中 ()() ()() 8 1 8 2 ,0.03sin 10 ,0.04cos 10 /3 x x z ttkz z ttkz = = Ee Ee 试求： （1）电场的复矢量； （2）磁场的复矢量和瞬时值。 解：解： （1）为书写方便起见，令 8 10 =。于是，() 1 , z tE对应的复数形式为 ()() () () () 1 j jj j 1 ,0.03sin Re0.03je Re0.03je 0.03je x t kz x kzt x kz x z ttkz e = = = = ? Ee e e Ee 7 ()() () () 2 j/3jj j/3j 2 j ,0.04cos/3 Re 0.04eee 0.04ee 0.02j0.0346 e x kzt x kz x kz x z ttkz = = = = ? Ee e Ee e 于是有 () j 12 0.020.0646 e kz x j =+= ? EEEe （2） 0 j= ? EH () 0 0 j 0 1 j 1 j 0.020.0646 e x y kz y E z k j = = = ? ? HE e e () 4j 0.507j1.6410 e kz y k =e 磁场对应的瞬时表达式为 () ()() j 44 Ree 5.07 10cos1.64 10sin t y ktkzkzt = =+ ? HH e 2-10 已知谐变电场中任一点的矢位，在球坐标系中是 jj 00 cos esin e krkr AA rr = i r Aee 式中， 0 A是常数。证明与之相应的电场强度和磁场强度是 ()() jj 00 22 cossin22j1j eje krkr AA rkrrkr krkr =+ i r Eee j 0sin 1 je kr A k rr =+ i He 证：证： j 0 2 sin sin11 je sin 0 kr r rr A k rrrr Ar A =+ i i ii r eee A He 2 sin 1 sin 00sin rr rr rH = i i i r eee H E j j 8 ()() jj 00 22 cossin22j1j eje krkr AA rkrrkr krkr =+ r ee 2-11 导出存在电荷和电流密度J的无耗媒质中的E和H的波动方程 2 2 2 2 2 2 1 t tt = =+ H HJ EJ E 解解：限定形式的麦克斯韦方程组为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 03 4 t t =+ = = = E HJ H E H E 对方程（1）求旋度，并将方程（2）代入式中，经整理、化简后得 2 2 2 t = H HJ 接着对方程（2）求旋度，得 ()() () 2 t tt = = + EH E EEJ 将方程（2） 、 （4）代入上式，经整理、化简后得 2 2 2 2 2 2 1 tt tt = =+ JE E EJ E 2-12 为了在线性、均匀、各向同性的无源导电区内存在电磁场，证明电场必须满足下列方程 2 2 2 0 tt = EE E 证明：证明：对麦克斯韦第二方程求旋度，得 ()() () 2 t tt = = + EH E EEE 将麦克斯韦第四方程代入式中，经整理得 2 2 2 0 tt = EE E 2-13 为了在线性、均匀、各向同性的无源导电区内存在电磁场，证明磁场必须满足下列方程 9 2 2 2 0 tt = HH H 证明：证明：对麦克斯韦第一方程求旋度，可得 () t = +HEE 利用矢量恒等式及麦克斯韦第三方程，可得 ()() 22 = = HHHHi 再利用麦克斯韦第二方程，可得 2 2 2 0 tt = HH H 2-14 证明无耗无源的时变参量（( )t=，1 r =）媒质中磁场强度满足的偏微分方程是 ( ) ( ) 2 2 00 2 t t ttt = HH H 证：证：由 Maxwell 方程： t = D H 两边取旋度得 左边()() 22 = = HHHHi 右边() ttt = + E EE 00 tttt =+ HH 左、右相等，移项可得 ( ) ( ) 2 2 00 2 t t ttt = HH H 2-15 设电场强度和磁场强度分别为() 0cose t=+EE和() 0cosm t=+HH，证明其 平均坡印廷矢量为 () 00 1 cos 2 avem =SEH 证明：证明：瞬时坡印廷矢量的定义式为=SEH，于是由题给条件可得 ()() ()() 00 00 coscos 1 cos 2cos 2 em emem tt t =+ =+ SEHEH EH 平均坡印廷矢量为 ()() () 00 00 00 111 dcos 2cosd 2 1 cos 2 TT avemem em ttt TT =+ = SSEH EH 得证。 10 2-16 已知一电磁场的复数形式为 () () 0 0 0 0 sin cos x y jEkz Ekz = = Ee He 式中，2/kc=，c是真空中的光速，是波长。求： （1）0, 8 4 z =各点处的坡印廷矢量的瞬时值； （2）上述各点处的平均坡印廷矢量。 解：解： （1）电场强度和磁场强度对应的瞬时表达式分别为 ()()()()() ()()() j 00 j 00 00 00 ,Re jsinesincos/2 ,Recosecoscos t xx t yy tEkzEkzt tEkzEkzt =+ = E ree H ree 当0z=，我们有 ()()() ()() 0 00 00 00 ,sin0 cos/20 ,cos0 coscos x yy tEkt tEktEt =+= = E re H ree 当/8z=，我们有 ()()()() ()() 00 00 00 00 2 ,sin/8 cos/2cos/2 2 2 ,cos/8 coscos 2 xx yy tEktEt tEktEt =+=+ = E ree H ree 当/4z=，我们有 ()()()() ()() 00 0 0 0 ,sin/4 cos/2cos/2 ,cos/4 cos0 xx y tEktEt tEkt =+=+ = E ree H re 于是可以求出相应位置坡印廷矢量的瞬时值，即 () ()() () 2 000 00 00 0,0; 22 /8,cos/2cossin2 224 /4,0 xyz t E tEtEtt t = =+= = S Seee S 由于在0,/4z=位置，电场强度和磁场强度分别为 0，故在这两个位置，平均坡印廷矢量 为 0； 在/8z=位置，由() * 1 Re 2 av =SEH ? ，我们可求出平均坡印廷矢量，即 ()()() * 0 00 0 11 ReRe jsincos0 22 avxy EkzEkz = SEHee ? 2-17 已知自由空间的电磁场为 11 () () 1000cosV/m 2.65cosA/m x y tz tz = = Ee He 式中， 00 0.42/rad m =，求： （1）电磁波的频率； （2）坡印廷矢量的瞬时值； （3）平均坡印廷矢量。 解：解： （1）下面先求时变电磁场的工作频率。 已知： 00 =，而 00 1/c =（c 为光速） ，于是有 00 7 2 / /22.0 10 Hz fc fc = = （2）坡印廷矢量的瞬时值为 ()()() 32 2.65 10 cos1325 1 cos 22 zz tztz=+SEHee （3）平均坡印廷矢量为 ()()() 2 00 11 d1325 1 cos 22d1325W/m TT avzz ttzt TT =+= SSee 2-18 在自由空间，如果已知谐变电磁场中的矢量( )A r ? ,证明其电场强度与( )A r ? 的关系是 ( ) () 2 00 j k + = AA E r ? ? 其中 22 00 k 。 证明：证明：电场与位函数的关系式是 j= EA ? 利用洛仑兹条件 00 j = A ? 在电场表达式中消除动态标位，可得 ( ) () 2 00 j k + = AA E r ? ? 2-19 在均匀无源的空间区域内，试根据 Maxwell 方程0=D i i引进矢位 m A i 和标位 m i ，假 如矢位 m A i 满足洛仑兹条件 00 j m = m A ii i，证明矢位 m A i 也满足亥姆霍茨