信号与系统课后答案.pdf

第二章第二章第二章第二章 课后题答案课后题答案课后题答案课后题答案 2 2 2 2- - - -1.1.1.1. 图题 2-1 所示电路，求响应 u2(t)对激励 f(t)的转移算子 H(p)及微分方程。 解 其对应的算子电路模型如图题 2.1（b）所示，故对节点，可列出算子形式的 KCL 方程为 = + = + 0)( 1 11 )( 1 )()( 1 )( 1 3 1 21 21 tup p tu p tftu p tu p 即 () =+ = + 0)(1)( )()()(1 3 1 2 2 1 21 tupptu tpftutup 联解得 )()()( 44 3 )( 2 2 tfpHtf pp tu= + = 故得转移算子为 44 3 )( )( ) 2 2 + = pptf tu pH（ u2(t)对 f(t)的微分方程为 ()）（）（tftupp344 2 2 =+ 即 ）（tftutu dt d tu dt d 3)(4)(4)( 222 2 2 =+ 2 2 2 2- - - -2 2 2 2 图题 2-2 所示电路，求响应 i(t)对激励 f(t)的转移算子 H(p)及微分方程。 解 其对应的算子电路模型如图 2.2（b）所示。故得 ）（ ）（ tf pp p p p p tf ti 3011 1010 2 2 2 2 1 . 01 )( 2 + + = + + = 故得转移算子为 3011 1010 )( )( )( 2 + + = pp p tf ti pH i(t)对 f(t)的微分方程为 )()1010()()3011( 2 tfptipp+=+ 即 )(10)(10)(30)(11)( 2 2 tftf dt d titi dt d ti dt d +=+ 2 2 2 2- - - -3 3 3 3 图题 2-3 所示电路，已知 uC(0 -)=1 V, i(0-)=2 A。求 t0 时的零输入响应 i(t)和 u C(t)。 解 其对应的算子电路模型如图题 2.3（b）所示。故对节点 N 可列写出算子形式的 KCL 方程为 0)( 2 31 2 = +tu p p C 又有 uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为 = = =+ + + 1)0()0( 2)0()0( 0)()23( 2 cc uu ii tipp 电路的特征方程为 023 2 =+pp 故得特征根（即电路的自然频率）为 p1=-1，p2=-2。故得零输入响应的通解式为 tttptp eAeAeAeAti 2 2121 21 )( +=+= 又 tt eAeAti 2 21 2)( = 故有 2)0( 21 =+= + AAi (1) 21 2)0(AAi= + 又因有 )()(tiLtuc= 故 )0()0( + =iLuc 即 1)2( 21 =AAL 即 12 21 =AA (2) 式（1）与式（2）联解得 A1=5,A2=-3。故得零输入响应为 035)( 2 = tAeeti tt 又得 065351 )( )( 22 += tVeeee dt d dt tdi Ltu tttt c 2 2 2 2- - - -4 4 4 4 图题 2-4 所示电路，t0 时 的零输入响应 uC(t)和 i(t)；（2） 为使电路在临界阻尼状态下放电，并保持 L 和 C 的值不变，求 R 的值。 解 （1）t0 时 S 闭合，故有 ViLuc6)0()0(= + 0)0()0(= + ii t0 时的算子电路模型如图题 2.4(b)所示。故得 t0 电路的微分方程为 =+=+=) 4 1 )( 4 1 5 . 2()() 4 1 5 . 2()( cc puptiptu)( 16 1 )( 4 5 . 2 2 tuptpu cc 即 0)(1 4 2.5 16 1 2 = +tupp c 即 = = =+ + + 0)0()0( 6)0()0( 0)()1610 ( 2 ii uu tupp cc c 其特征方程为 p 2+10p+16=0，故得特征根（即电路的自然频率）为 p 1=-2,p2=-8。故得零输入响应 uc(t)的通 解形式为 tt c eAeAtu 8 2 2 1 )( += 又有 tt c eAeAtu 8 2 2 1 82)( = 故 )82()( 8 2 2 1 tt eAeACtuC = 即 = )82( 4 1 )( 8 2 2 1 tt eAeAti tt eAeA 8 2 2 1 2 2 1 即 tt eAeAti 8 2 2 1 2 2 1 )( += 故有 =+= =+= + + 02 2 1 )0( 6)0( 21 21 AAi AAuc 联解得 A1-=8,A2=-2。故得 028)( 82 = tVeetu tt c 又得 044)( 82 = tAee dt du Cti ttc 2 2 2 2- - - -5 5 5 5 图题 2-5 所示电路，（1） 求激励 f(t)=(t) A 时的单位冲激响应 uC(t)和 i(t)；（2）求激励 f(t)=U(t) A 时对应于 i(t)的单位阶跃响应 g(t)。 解 （1）该电路的微分方程为 )()()()( 2 2 tftiti dt d R L ti dt d LC=+ 代入数据并写成算子形式为 )(4)(4)()45( 2 ttftipp=+ 故得 = + =)( 45 4 )( 2 t pp ti )( 4 1 3 4 )( 1 1 3 4 )( 4 3 4 1 3 4 t p t p t pp + + = + + + 故得 AtUeeti tt )( 3 4 3 4 )( 4 = 进一步又可求得 uc(t)为 = += tt c ee dt tdi Ltu 4 3 16 3 4 25. 0 )( )( VtUee tt )( 3 4 3 1 4 + （2）因有 dtU t =)()( ，故根据线性电路的积分性有 dUeeditg tt )( 3 4 3 4 )()( 4 = = AtUee tt )( 3 1 3 4 1 4 + 2 2 2 2- - - -6 6 6 6 图题 2-6 所示电路，以 uC(t)为响应，求电路的单位冲激响应 h(t)和单位阶跃响应 g(t)。 解 电路的微分方程为 )(223 2 2 tfuuc dt d uc dt d c =+ 写成算子形式为 )(2)()23( 2 tftupp c =+ 当 Vttf)()(= 时，有 )()(thtuc= 。故得单位冲击响应为 ()() = + = + =)( 21 2 )( 23 2 )( 2 t pp t pp th = + = + )( 2 2 )( 1 2 t p t p VtUeeee tttt )()(222 22 = 当 f(t)=U(t) V 时，有 uc(t)=g(t)。故得 = dUeedhtg tt )()(2)()( 2 VtUeedee t )() 12()(2 2 0 2 += 2-7 求下列卷积积分 （1） tU(t)-U(t-2)*(1-t); (2) (1-3t)(t)*e -3tU(t) 解 原式= =) 1()2()(ttUtUt) 3() 1() 1(tUtUt 原式= = )()(3)()( 33 tUetttUet tt = )()()(3)( 33 tUettttUe tt )()(3)()(3 33 ttUettUe tt =+ 2 2 2 2- - - -8 8 8 8 已知信号 f1(t)和 f2(t)的波形如图题 2-8(a), (b)所示。求 y(t)=f1(t)*f2(t)，并画出 y(t)的波形 解 (a) ) 1(1)( 1 +=tUtf ； ) 1()( )1( 2 += + tUetf t 故 =)()()( 211 tftfty=+ + ) 1() 1(1 )1( tUetu t + =+ dUetUdUe) 1() 1() 1( )1()1( =+ + + 1 1 )1( 1 )1( t dede =+ 0,2 ,0, 1 )()1 (1 te t tUe t t y1(t)的波形如图.2.8(c)所示 (b) ) 1()(),(sin)( 21 =tUtfttUtf , 故 =) 1()(sin)()()( 212 tUttUtftfty = dtUU) 1()(sin ) 1() 1cos(1) 1(sin 1 0 = tUttUd t y2(t)的波形如图.2.8(d)所示 2 2 2 2- - - -9 9 9 9 图题 2-9(a), (b)所示信号，求 y(t)=f1(t)*f2(t)，并画出 y(t)的波形。 解 利用卷积积分的微分积分性质求解最为简便。 t dftf)()( 21 和 的波形分别如图 2.9 （c）,(d)所 示。故 = t dftftftfty)()()()()( 221 y(t)的波形如图题 2.9(e)所示. 2 2 2 2- - - -10101010 已知信号 f1(t)与 f2(t)的波形如图题 2-10(a), (b)所示，试求 y(t)=f1(t)*f2(t)，并画出 y(t)的波形 解 (a). =+=) 1() 1()()()()( 1211 tttftftfty) 1() 1( 11 +tftf y1(t)的波形如图题 2.10(c)所示 (b). =)()()( 212 tftfty=+) 3()2() 1()( 1 ttttf ) 3()2() 1( 111 +tftftf y2(t)的波形如图题 2.10(d)所示 2 2 2 2- - - -11111111 试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励 f(t)产生的响应为 y(t)，则激励 )(tf dt d 产生 的响应为 )(ty dt d （微分性质），激励 t df)( 产生的响应为 t dy)( （积分性质）。 解解解解 （1）设系统的单位冲激响应为 h(t)，则有 )()()(thtfty= 对上式等号两端求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质，故有 )()()(tf dt d thty dt d = （证毕） （2） )()()(thtfty= 对上式等号两端求一次积分，并应用卷积积分的积分性质，故有 = tt dfthdy)()()( （证毕） 2 2 2 2- - - -12.12.12.12. 已知系统的单位冲激响应 h(t)=e -tU(t)，激励 f(t)=U(t) （1）. 求系统的零状态响应 y(t)。 （2）.如图题 2-12(a), (b)所示系统， )()( 2 1 )(,)()( 2 1 )( 21 thththththth=+= 求响应 y1(t)和 y2(t) （3）. 说明图题 2-12(a), (b)哪个是因果系统，哪个是非因果系统。 解 （1） )()()()()(tUtUetfthty t = )()1 ()(tUety t = (2) =)()()()( 211 ththtfty = +)()( 2 1 )()( 2 1 )(ththththtU = 0, 1 0, )()()()( t te tUetUthtU t t =+=)()()()( 212 ththtfty = +)()( 2 1 )()( 2 1 )(ththththtU )()1 ()()(tUethtU t = （3）因 f(t)=U(t)为因果激励，但 y1(t)为非因果信号，y2(t)为因果信号，故图题 2.12(a)为非因果系统， 图题 2.12(b)为因果系统。 2 2 2 2- - - -13. 13. 13. 13. 已知激励 )()( 5 tUetf t = 产生的响应为 )(sin)(ttUty= ，试求该系统的单位冲激响应 h(t)。 解 因有 y(t)=f(t)*h(t)， 即 )(*)()(sin 5 thtUettU t = 对上式等号两端同时求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质有 =+= )(*)()(5)(cos 5 thttUettU t =+ )()(*)(5 5 ththtUe t )()(sin5thttU+ 故得系统的单位冲激响应为 )()cossin5()(tUttth+= 2 2 2 2- - - -14.14.14.14. 已知系统的微分方程为 )()(2)(3)(tftytty=+ 。 （1）. 求系统的单位冲激响应 h(t)； （2）. 若激励 )()(tUetf t = ，求系统的零状态响应 y(t)。 解 （1）其算子形式的微分方程为 ( )()(23 2 tftypp=+ 故得 )( 23 1 )( 2 tf pp ty + = 当 )()(ttf= 时，则有 )()(thty= 。故上式变为 = + + + = + =)() 2 1 1 1 ()( )2)(1( 1 )(t pp t pp th )()()( 2 1 )( 1 1 2 tUeet p t p tt = + + （2）零状态响应为 = )()()()()()( 2 tUetUeetfthty ttt )()( 21 tUteee ttt + 2 2 2 2- - - -15.15.15.15. 图题 2-15 所示系统，其中 h1(t)=U(t)(积分器)，h2(t)=(t-1)（单位延时器），h3(t)=-(t)（倒相器）， 激励 f(t)=e -tU(t)。 （1）. 求系统的单位冲激响应 h(t)；（2）. 求系统的零状态响应 y(t)。 解 （1）当 )()(ttf= 时， )()(thty= ， 故 =+=)()()()( 321 thththth ) 1()()() 1()(=+ttUtttU （2） = ) 1()()()()()(ttUtUethtfty t = ) 1()()()(ttUetUtUe tt ) 1()()1 ( )1( tUetUe tt 2 2 2 2- - - -16.16.16.16. 已知系统的微分方程为 )(3)(3)()(2)( 2 2 tftf dt d tf dt d tyty dt d +=+ 求系统的单位冲激响应 h(t)和单位阶跃响应 g(t)。 解 （1）系统算子形式的微分方程为 )() 33()()2( 2 tfpptyp+=+ 故 )( 2 33 )( 2 tf p pp ty + + = 当 )()(ttf= 时， )()(thty= 故得单位冲激响应为 = + += + + =)() 2 1 1()( 2 33 )( 2 t p pt p pp th )()()( 2 tUett t + （2）系统的阶跃响应为 )()() 2 1 1 ()()( 2 ttUedhtg t t += 2 2 2 2- - - -17.17.17.17. 图题 2-17 所示系统，h1(t)=h2(t)=U(t)，激励 f(t)=U(t)-U(t-6)。求系统的单位冲激响应 h(t)和零状 态响应 y(t)，并画出它们的波形。 解 （1）.求单位冲激响应 h(t)。由图题 2.17(a)得 )()()()()( 12 tyththtytf= 即 )()()()()(tytUtUtytf= 即 )()()()()()(tytUtUtytUtf= 对上式等号两端求一阶导数有 )()()()()()(tytUttyttf= 即 )()()()(tytUtytf= 再求一阶导数有 )()()()(tyttytf = 故得系统的微分方程 )()()(tftyty=+ 写成算子形式为 )()() 1( 2 tpftyp=+ 故得 )( 1 )( 2 tf p p ty + = 当 )()(ttf= 时，有 y(t)=h(t)。故得单位冲激响应为 )(cos)(ttUth= h(t)的波形如图题 2.17(b)所示 （2）.系统的零状态响应为 =)(cos)6()()()()(ttUtUtUthtfty =)(cos)6()(cos)(ttUtUttUtU =)(cos)6()(cos)(ttUtUttUtU = tt tUtUtdd 0 6 0 )6()(sincoscos y(t)的波形如图题 2.17（c）所示。 2 2 2 2- - - -18.18.18.18. 图 题 2-18(a) 所 示 系 统 ， 已 知 )( 2 1 )( 4 tUeth t A = ， 子 系 统 B 和 C 的 单 位 阶跃 响 应分 别 为 )(2)(),()1 ()( 3 tUetgtUetg t c t B = 。 （1） 求整个系统的单位阶跃响应 g(t)； （2） 激励 f(t)的波形如图题 2-18(b)所示，求大系统的零状态响应 y(t)。 解 （1）系统 B 的单位冲激响应为 )()()1 ()()(tUetUe dt d tg dt d th tt BB = 设系统 C 的单位冲激响应为 hC(t)。故大系统的单位冲激响应为 )()()()(thththth BAc += 故大系统的单位阶跃响应为 =+= )()()()()(ththtgdhtg BAc t = + )()( 2 1 )(2 43 tUetUetUe ttt =+ )()(2)()( 343 tetUetUetUe tttt )()( 4 tUee tt （查卷积积分表） （2） 激励 f(t)的函数表达式为 )4(2)4()2(2)()(+=ttUtUtUtf 大系统的单位冲激响应为 = )()()()()()( 44 tUetUe dt d tUee dt d t