高考一轮复习集合间的关系与运算.doc

年 级高三学科数学内容标题集合间的关系与运算编稿老师胡居化一、学习目标：1. 了解集合的概念、空集、全集的含义.2. 理解元素与集合“属于”的关系，集合与集合“包含”或“相等”的关系.以及集合的子、交、并、补集的概念.3. 掌握集合的四种表示方法（列举法、描述法、区间法、Venn图法）及集合的子、交、并、补集的运算.4. 体会数形结合、分类讨论的数学思想在解决集合有关问题中的应用.二、重点、难点：重点：掌握集合的概念及其运算难点：集合知识的应用.三、考点分析：根据考纲的要求及命题的方向：集合这部分内容考查的是：一：对基本知识的理解，基础题较多，题型大都是以选择、填空题为主.二：集合基础知识的简单应用：如在大题中间接考查集合知识或在集合方面定义新运算等都是新的命题背景，也是高考命题的热点. （知识网络结构）常用的结论：若集合A中含有n个元素，则集合A的子集个数是个，真子集个数是个，非空真子集个数是个. 知识点一：集合的基础知识（集合的表示法、集合之间的关系）例1：（基础题）把下面的说法或表示方法正确的命题的序号填在题后的横线上（1）已知集合S中的三个元素是的三个内角，则三角形一定是非等腰三角形（2）集合A（x，y）|（3）若集合A，集合B，则（4）设P表示所在平面上的点.且集合S，则P是的外心（5）已知U是全集，M、N是U的两个子集，若，则（6）任何一个集合至少有两个子集（7）集合P的真子集个数是4个.上述命题中正确命题的序号是.【思路分析】本题考查集合的表示法和集合之间的关系等知识，（1）考查合元素的特性互异性.（2）集合的表示法：集合A，表示含义不同，A是点集，B，C都是数集.（3）考查用区间表示集合、子集的含义.（4）考查描述法表示集合的含义及三角形外心的概念.（5）考查利用Venn图表示集合的方法及其简单的应用.（6）考查子集的概念，空集是任何集合的子集.（7）考查一个集合的子集的个数问题.【解题过程】（1）根据集合元素的特性互异性知：A，B，C任意两个角都不相等，故命题正确.（2）三个集合表示的含义不同，A，的x的取值集合即函数定义域，集合C表示的是函数y的取值集合，即函数的值域.故命题错误.（3）由区间表示的含义知：集合A中的元素0，根据子集定义知：，故命题正确.（4）由S知P点到三角形ABC的三个顶点的距离相等.故命题正确（5）根据已知集合U，M，N的关系，画出Venn图（如图）：知命题正确.（6）当A时，集合A的子集只有一个，就是其本身.故命题错误.（7）由于集合P1，1的子集个数是个，真子集个数是个.故命题错误.正确命题的序号是：（1）（3）（4）（5）【解题后的思考】解决这类概念性问题的关键是理解集合表示方法的含义，特别是用描述法表示的集合竖线左边的元素是什么要分清楚，对集合关系的判断可以借助数轴、Venn图等工具判断.例2：（中等题）（1）已知集合A，求a的取值范围.（2）已知集合M对任意实数x恒成立，判断集合M与N的关系.【思路分析】本题考查两个集合关系的判断及两个集合关系的应用.对（1）根据借助数轴判断，对（2）首先要认识集合N的含义，它表示的是m的取值集合，然后根据来确定m的取值范围.【解题过程】（1）化简集合A，由集合结合数轴得：（2）化简集合N：当m0时对任意的实数x恒成立.当m时由对任意的实数x恒成立解得：1，故集合N借助数轴知：集合M，N的关系是【解题后的思考】这类问题是集合中常见的经典题型，主要考查借助数轴判断两个集合的关系或根据两个集合的关系借助数轴求参数范围的问题，体现了数形结合的思想的应用.在（1）中易错点是a能否取到2，需要验证.不妨取a2则，符合.例3：（创新题）已知集合A（1）对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P的距离最小值”定义点P到直线M的距离与原有的点线距离的概念是等价的，试以类似的方式给出一个点集A与点集B的“距离”的定义.（2）依照你给出的定义求点集A与点集B的距离.【思路分析】根据题意知：本题是集合新定义问题，解决本题的关键是理解点线距离，定义的实质是：“点与点距离的最小值”，在此基础上正确给出两个点集距离的定义，由此才能解决第二问.在第二问中：集合A中的点构成一个圆：圆心为C（2，2），半径为1，即（，集合B中的点集构成双曲线.所以要求点集A与点集B的距离实质是求圆C上一点与双曲线上一点的距离的最小值.【解题过程】（1）点集A与点集B距离的定义：在点集A，B上分别取一点，所取两点之间的距离若有最小值，则此最小值为点集A与点集B的距离.（2）设P（x，y）是双曲线xy10上任意一点，则当且仅当时，.最小，此时|PC|的最小值是，即点集A与点集B的距离的最小值是1.【解题后的思考】在集合问题中除了考查基本概念和基本运算外，还会考查一些有关集合新定义的问题，这也是高考命题的方向，这类问题考查了学生的抽象概括能力.知识点二：集合的运算例4：（基础题）解答下列各题（1）已知集合Ax|3x7，集合Bx|1x5，求；（2）已知集合满足，求ab的值；（3）已知集合A，问是否存在a的值使同时成立？【思路分析】本题考查集合的交、并、补集的基本运算.对（1）题借助数轴容易求出 或利用性质：解题.对（2）题同样借助数轴由求a，b的值.（3）题：先化简集合B、C，再根据同时成立的两个条件求a的值.【解题过程】（1）由数轴得：x|1x7，故（2）由数轴观察得：a1，b3，即ab4（3）对于集合B：由，即B2，3，C4，2由把x3代入方程求得a0或a3验证：当a0时，A3，3，当a3时，A3，0都满足已知条件.故所求a的值是0，3.【解题后的思考】对于集合的交、并、补集的运算要能熟练的利用数轴或利用Venn图解决.使抽象的问题形象化.这类问题大多是填空题或选择题或大题中的一个步骤而已.但对以集合为载体的大题（3）题）要掌握解决问题的切入点.如：本题的切入点就是对条件“”的理解. 例5：（中等题）1. 已知集合A（1）若集合A是空集，求a的取值范围.（2）若集合A中只含有一个元素，求a的值.（3）若集合A中至多含有一个元素，求a的取值范围.2. 已知集合M，集合N（x，y）|yxa，若，求a的取值范围.【思路分析】根据题意知：题1：考查集合A中的元素的个数与方程的根的个数关系，从而转化为判定方程解的个数问题，这是本题的切入点.题2：在理解含义的前提下转化为直线与圆的位置关系的问题.【解题过程】1. 集合A是方程的解集.（1）集合A为空集等价于：的解集为空集，即，故当时，集合A为空集.（2）集合A只含有一个元素包含两种情形：（i）是一次方程此时a0，（ii） 有等根故当a0或a时，集合A只含有一个元素.（3）集合A中至多含有一个元素包含两种情形：（i）A为空集，（ii）A中只含有一个元素.综合（1）（2）知：所求a的取值范围是2. 由已知：得：集合非空.而集合M中的点构成圆C：，集合N中的点构成直线L：yxa,故集合非空等价于直线L与圆C有公共点，即：，故所求a的取值范围是【解题后的思考】像这类以集合包装的题型不仅考查集合的概念和集合的运算，更重要的是考查利用数形结合、分类讨论、方程的数学思想解决问题，如本题也可利用方程的数学思想解决集合非空等价于方程组有解的问题.例6：（创新题）：1. 非空集合G关于运算满足：（i）对任意的a，b都有ab，（ii）存在e，使得对一切a都有：，此时关于运算的集合为“融洽集”.现给出下列集合运算：（1）G非负整数. 为整数的加法.（2）G偶数 . 为整数的乘法.（3）G平面向量. 为平面向量的加法.（4）G虚数. 为复数的乘法.其中G关于运算为融洽集的有哪些？并说明理由.2. 设集合S，在集合S上定义运算：，其中k是被4整除的余数.（，满足关系式：（）的集合的个数是（ ）A. 4B. 3 C. 2 D. 1【思路分析】按照题意，这两题都是新定义集合的创新试题.1. 按照新集合“融洽集”的定义逐一判断.2. 关键是理解：在集合S上定义运算法则.，故等，然后逐一验证.【解题过程】1. （1）由于任意的两个非负整数之和还是非负整数满足（i），同时存在e0满足（ii），故为融洽集.（2）任意的两个偶数之和仍是偶数满足（i），但不存在偶数e， 使成立.故不是融洽集（3）由于任意的两个向量的和仍是向量，满足（i），存在满足条件（ii），故是融洽集.（4）由于任意两个虚数的和不一定是虚数，不满足（i），故不是融洽集.2. 当时，00被4整除余数是0，故不满足题意.当时，11被4整除余数是2，此时满足当时，22被4整除余数为0，此时不满足题意当时，33被4整除余数为2，此时满足故本题选C.【解题后的思考】像这类创新型的集合问题是新课标高考命题的热点，解题的关键是对已知中的自定义集合“运算”或自定义“集合”中的定义的理解.（1）在知识点一中出现的题型大都是选择题或填空题，掌握集合的基础知识是关键.同时，要能利用数轴、Venn图等数学工具解决问题.（2）在集合的交、并、补集的基本运算中，基本上都以填空题或选择题出现，根据考纲的要求，一般计算量不会太大.主要考查基础与能力，掌握数轴或Venn图的数学工具的应用会给解题带来很大的方便，在以集合为载体的大题中要注重数学思想方法的应用，集合的创新问题一般难度不太大，但解题的关键是理解新定义、应用新定义.同时规范的解题步骤也是得分的重要环节.（答题时间：60分钟，满分60分）一、选择题（每题5分 计20分）1. 下列命题或表达式正确的个数是（ ）个（1）.（2）0.（3）若集合Ax|，则集合有2个子集.（4），（5）M直线，N圆，则（6）.A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 集合M（x，y）|xy2 N（x，y）|xy4，则（ ）A. x3，y1 B.（3，1） C. 3，1 D. （3，1）*3. 设UR，A（ ）A.B. C. D. *4. 集合Mx|，则M，N的关系是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，计15分）*5. 集合M，集合N则的子集的个数是_.6. 设集合A，若A非空，则a的取值范围是_.*7. 从自然数120这20个数中，任取2个相加，得到的和作为集合M中的元素，则M的非空子集的个数是_.三、计算题：（25分）*8. 设集合A，求a的取值范围.（10分）*9. 已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，4，5，8，又知集合C是这样的一个集合：若C中的各个元素都加上2，则变为A的一个子集，若C中的各个元素都减去2，则变为B的一个子集，求集合C的个数.（5分）*10. 已知集合A同时满足下面的条件：（i），求p，q的值.（10分）一、选择题1. A 解析：（1）（5）是正确的.2. D3. B4. C 解析：由，由，故MN.二、填空题5. 4 解析：由，中有两个元素，的子集有4个.6.（1，3） 解析：由已知：.7. 解析：由已知集合M中的最小数是123，最大数