江苏高考数学二模冲刺密含答案.pdf

1 南京清江花苑严老师 2014 届江苏高考数学二模冲刺密卷届江苏高考数学二模冲刺密卷 01 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共14小题，每小题小题，每小题5 分，共计分，共计70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1 设集合 2 1Ax xxR，20Bxx，则AB= 2 若 1i 1i i m n （mnR，i 为虚数单位） ，则mn的值为 3 已知双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的一条渐近线方程为20xy，则 a 的值为 4 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有 80 名，50 名现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了 24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数 为 5 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5（直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物）的数据（单位： 3 /g m）分别 为 115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 6 函数 22 2sin3cos4yxx的最小正周期为 7 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取 2 瓶中至少有一瓶 是果汁类饮料的概率为 8 已知实数x，y满足约束条件3 3 3xy y x ， ， ， 则 22 5zxy 的最大值为 9 若曲线 1 C： 432 36yxaxx与曲线 2 C：exy 在1x 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为 10给出下列命题：则其中所有真命题的序号为 （1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 11已知, 6 6 ，等比数列 n a中， 1 1a ， 3 4 3 tan 3 9 a ，若数列 n a的前 2014 项的和为 0，则 的值为 12已知函数 f(x) 2 0 1 ,0 2 (1) , x x xx ， ， 若( ( 2)( )f ff k，则实数 k 的取值范围为 13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若tan7tanAB， 22 3 ab c ，则c 14在平面直角坐标系xOy中，已知圆 O： 22 16xy，点(1,2)P，M，N 为圆 O 上不同的两点，且满足 2 南京清江花苑严老师 0PM PN若PQPMPN，则PQ的最小值为 二、解答题：二、解答题： 15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c设向量( , )ma c，(cos ,cos )nCA （1）若mn，3ca，求角 A； （2）若3 sinm nbB， 4 cos 5 A，求cosC的值 16如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC，E，F 分别是 1 AB， 1 AC的 中点 （1）求证：EF平面 ABC； （2）求证：平面AEF平面 11 AAB B； （3）若 1 222AAABBCa，求三棱锥FABC 的体积 17 设等差数列 n a的公差为 d，前 n 项和为 n S，已知 35 Sa， 5 25S （1） 求数列 n a的通项公式； （2） 若p，q为互不相等的正整数， 且等差数列 n b满足 p a bp， q a bq， 求数列 n b的前 n 项和 n T F B C E A 1 A 1 B 1 C 3 南京清江花苑严老师 A B M O P Q l x y 18椭圆 E: 22 22 1(0) xy ab ab 的右准线为直线 l，动直线ykxm(00)km，交椭圆于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M，射线 OM 分别交椭圆及直线 l 于 P，Q 两点，如图若 A，B 两点分别是椭圆 E 的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为 1 e （其中e为椭圆的离心率） ，且5OQOM （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）如果 OP 是 OM，OQ 的等比中项，那么 m k 是否为常数？ 若是，求出该常数；若不是，请说明理由 19几名毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品已知该店每月生产的产品当月都能销售 完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本， 第二部分是其它固定支出20000元假设该产品的月销售量( )t x（件）与销售价格x（元/件） （x N） 之 间 满 足 如 下 关系 ： 当3460x时 ， 2 ( )(5)10050t xa x ； 当6070x时 ， ( )1007600t xx 设该店月利润为M（元） ，月利润=月销售总额月总成本 （1）求M关于销售价格x的函数关系式； （2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格 4 南京清江花苑严老师 20已知函数( )ln a f xxx x ，aR （1）当0a 时，求函数( )f x的极大值； （2）求函数( )f x的单调区间； （3）当1a 时，设函数( )(1)1 1 a g xf xx x ，若实数b满足： ba且( ) 1 b gg a b ，( )2 2 ab g bg ，求证：45b 21. 已知直线:0l axy在矩阵A 01 12 对应的变换作用下得到直线 l ，若直线 l 过点（1,1） ，求实 数 a 的值 22在极坐标系中，已知点(2 3,) 6 P，直线: cos()2 2 4 l，求点 P 到直线 l 的距离 5 南京清江花苑严老师 23 (本小题满分 10 分) 如图，三棱锥 PABC 中，已知平面 PAB平面 ABC，ACBC，AC=BC=2a，点 O，D 分别是 AB， PB 的中点，POAB，连结 CD （1）若2PAa，求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦 值的大小； （2）若二面角 APBC 的余弦值的大小为 5 5 ，求 PA 24 （本小题满分 10 分） 设集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集，满足：A 不是 B 的子集，且 B 也不是 A 的子集 （1）若 M= 1234 ,a a a a，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； （2）若 M= 123 , n a a aa，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数 参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 10,1 21 3 1 4 15 531.6（写成158 5 也对） 6 7 7 10 6 南京清江花苑严老师 8 1 2 9 1 3e 10 （1） （2） 11 9 12 1 2 (log 9,4) 134 143 35 二、二、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15解： （1）mn，coscosaAcC由正弦定理，得sincossincosAACC 化简，得sin2sin2AC 2 分 ,(0, )A C，22AC或22AC， 从而AC（舍）或 2 AC 2 B 4 分 在 RtABC 中， 3 tan 3 a A c ， 6 A 6 分 （2）3 cosm nbB，coscos3 sinaCcAbB 由正弦定理，得 2 sincossincos3sinACCAB，从而 2 sin()3sinACB ABC，sin()sinA CB 从而 1 sin 3 B 8 分 4 cos0 5 A，(0, )A，(0,) 2 A， 3 sin 5 A 10 分 sinsinAB，ab，从而AB，B 为锐角， 2 2 cos 3 B 12 分 coscos()coscossinsinCABABAB = 42 23138 2 535315 14 分 16证明： （1）连结 1 AC 直三棱柱 111 ABCABC中， 11 AACC是矩形， 点 F 在 1 AC上，且为 1 AC的中点 在 1 ABC中，E，F 分别是 1 AB， 1 AC的中点， EFBC 2 分 又BC 平面 ABC， EF平面 ABC，所以 EF平面 ABC 4 分 （2）直三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面 ABC， 1 BB BC EFBC，ABBC，ABEF， 1 BB EF 6 分 1 BBABB，EF平面 11 ABB A 8 分 EF 平面 AEF，平面 AEF平面 11 ABB A 10 分 （3） 1 1 111 223 FABCAABCABC VVSAA 12 分 7 南京清江花苑严老师 = 3 2 111 2 2326 a aa 14 分 17解： （1）由已知，得 11 1 334 51025 adad ad ， ， 解得 1 1, 2. a d 4 分 21 n an 6 分 （2）p，q为正整数， 由（1）得21 p ap，21 q aq 8 分 进一步由已知，得 21p bp ， 21q bq 10 分 n b是等差数列，pq， n b的公差 1 222 qp d qp 12 分 由 211 (22) b bbpdp ，得 1 1b 2 1 (1)3 24 n n nnn Tnbd 14 分 18 解：当 A，B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时，则 ( ,0)A a，(0, )Bb，( , ) 2 2 a b M 2 1 (, ) a Q ce ，由 O，M，Q 三点共线，得 2 1 b e aa c ，化简，得1b 2 分 5OQOM， 2 5 2 a c a ，化简，得25ac 由 222 1 25 abc b ac ， ， ， 解得 2 2 5, 4. a c 4 分 （1）椭圆 E 的标准方程为 2 2 1 5 x y 6 分 （2）把(0,0)ykxm km，代入 2 2 1 5 x y，得 222 (51)10550kxmkxm 8 分 当0， 22 510km 时， 2 5 51 M mk x k ， 2 51 M m y k ， 从而点 22 5 (,) 51 51 mkm M kk 10 分 所以直线 OM 的方程 1 5 yx k 8 南京清江花苑严老师 由 2 2 1 5 1 5 yx k x y ， ， 得 2 2 2 25 51 P k x k 12 分 OP 是 OM，OQ 的等比中项， 2 OPOM OQ， 从而 2 2 25 2(51) PMQ mk xxx k 14 分 由 2 22 2525 512(51) kmk kk ，得2mk ，从而2 m k ，满足0 15 分 m k 为常数2 16 分 19解： （1）当60x 时，(60)1600t，代入 2 ( )(5)10050t xa x， 解得2a 2 分 2 ( 22010000)(34)20000,3460, ( ) ( 1007600)(34)20000,6070,. xxxxx M x xxxx 即 32 2 24810680360000,3460, ( ) 1001100278400,6070,. xxxxx M x xxxx 4 分 （注：写到上一步，不扣分 ） （2）设 2 ( )( 22010000)(34)20000g uuuu ，3460u，uR，则 2 ( )6(161780)g uuu 令( )0g u，解得 1 82 461u （舍去） ， 2 82 461(50,51)u 7 分 当3450u时，( )0g u，( )g u单调递增； 当5160u时，( )0g u，( )g u单调递减 10 分 x ，(50)44000M，(51)44226M，( )M x的最大值为4422612 分 当6070x时， 2 ( )100(1102584)20000M xxx单调递减， 故此时( )M x的最大值为(60)216000M 14 分 综上所述，当51x 时，月利润( )M x有最大值44226元 15 分 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件 16 分 20解：函数( )f x的定义域为(0,) （1）当0a 时，( )lnf xxx， 1 ( )1fx x ，令( )0f x得1x 1 分 列表： 9 南京清江花苑严老师 x (0,1) 1 (1,) ( )fx + 0 ( )f x 极大值 所以( )f x的极大值为(1)1f 3 分 (2) 2 22 1 ( )1 axxa fx xxx 令( )0f x，得 2 0xxa，记14a （）当 1 4 a时，( )0f x，所以( )f x单调减区间为(0,)； 5 分 （）当 1 4 a 时，由( )0f x得 12 114114 , 22 aa xx ， 若 1 0 4 a，则 12 0xx， 由( )0f x，得 2 0xx， 1 xx；由( )0f x，得 21 xxx 所 以 ，( )f x的 单 调 减 区 间 为 114 (0,) 2 a ， 114 (,) 2 a ， 单 调 增 区 间 为 114114 (,) 22 aa ； 7 分 若0a ，由（1）知( )f x单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)； 若0a ，则 12 0xx， 由( )0f x，得 1 xx；由( )0f x，得 1 0xx ( )f x的单调减区间为 114 (,) 2 a ，单调增区间为 114 (0,) 2 a 9 分 综上所述：当 1 4 a时，( )f x的单调减区间为(0,)； 当 1 0 4 a时，( )f x的单调减区间为 114 (0,) 2 a ， 114 (,) 2 a ，单调增区间为 114114 (,) 22 aa ； 当0a时 ，( )f x单 调 减 区 间 为 114 (,) 2 a ， 单 调 增 区 间 为 114 (0,) 2 a 10 分 （3）( )ln(1)g xx（1x ） 由()( ) 1 b gg a b 得 1 lnln(1) 1 a b 1ab， 11ba (舍)，或(1)(1)1ab 10 南京清江花苑严老师 2 1(1)(1)(1)abb，2b 12 分 由( )2 () 2 ab g bg 得， 1 ln(1)2 ln(1)2 ln(1)(1)(*) 22 ab bab ， 因为 11 (1)(1)=1 2 ab ab ， 所以（*）式可化为 1 ln(1)2ln(1)(1) 2 bab， 即 2 11 11 21 bb b （） 14 分 令1(1)bt t ，则 2 11 () 2 tt t ，整理，得 432 4210ttt ， 从而 32 (1)(31)0tttt ，即 32 310ttt 记 32 ( )31,1h ttttt 2 ( )361h ttt，令( )0h t得 2 3 1 3 t （舍） ， 2 3 1 3 t ，列表： t 2 3 (1,1) 3 2 3 (1,) 3 ( )h t + ( )h t 所以，( )h t在 2 3 (1,1) 3 单调减，在 2 3 (1,) 3 单调增，又因为(3)0, (4)0hh，所以34t ， 从而45b 16 分 高三数学（附加题） 参考答案 21、 【选做题】在、 【选做题】在 A、B、C、D 四四小题中小题中只能选做两题只能选做两题 ，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分 11 南京清江花苑严老师 A选修 41：几何证明选讲 证明：ABCD 是等腰梯形，ABCD， AD=BC 从而ADBC ACD=BAC. 4 分 AE 为圆的切线，EAD=ACD. 8 分 DAE=BAC. 10 分 B选修 42：矩阵与变换 解：设( , )P x y为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为直线 l 上点( ,)P x y ，则 01 12 xx yy ， 化简，得 2, . xxy yx 4 分 代入0axy，整理，得(21)0axay 8 分 将点（1,1）代入上述方程，解得 a=-1 10 分 C选修 44：坐标系与参数方程 解：点 P 的直角坐标为(3, 3)， 4 分 直线 l 的普通方程为40xy， 8 分 从而点 P 到直线 l 的距离为 334 26 22 10 分 D选修 45：不等式选讲 证明：左边-右边= 2222 ()(1)1(1)(1)1yyxyxyy yxy x 4 分 =(1)(1)(1)y xyx， 6 分 1x，1y， 0,0,0111yxyx 8 分 从而左边-右边0， 2222 1xx yxyyxy 10 分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22解：连结 OC 平面 PAB平面 ABC，POAB，PO平面 ABC从而 POAB，POOC 12 南京清江花苑严老