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东 北 石 油 大 学 课 程 设 计 2007 年 3 月 11 日 2010 年 3 月 9 日 课 程 计算物理和MATLAB 课程设计 题 目 氢原子电子云模拟 院 系 电子科学学院 专业班级 应用物理 07-1 班 学生姓名 马英杰 学生学号 070901340102 指导教师 大庆石油学院课程设计任务书 课程 计算物理和 MATLAB 课程设计 题目 氢原子电子云模拟 专业 应用物理 07-1 班 姓名 马英杰 学号 070901340102 主要内容： 研究氢原子 S 态的波函数只是半径 r 的函数，与和无关，而 ss =r （） 氢原子中电子沿半径的分布密度（即电子在半径处单位厚度球壳内）出现的几 率，习惯上把这种分布形象称作电子云。 22 s D=r 基本要求： 1、氢原子基态即 1S 态（n=1，l=0,m=0）有：；， 1 2r -a 2 3 1 4r e D= a max D=1.1 0 r =0.25nm 其中是 D 的最大值处的 r 值。是 D 收敛处的 r 值， -2 1 a =5.29 10 nm max D 0 r 即 D 的收敛点。 2、2S 态（n=2，l=0，m=0）有； 1 2 r -a 2 1 5 1 r r2-e a D= 8a max D=0.14 0 r =1.0nm 3、3S 态（n=3，l=0，m=0）有； 1 2 2 2r2 -3a 11 r18rr D=427-+2e 81aa ， max D=0.2 0 r =2.0nm 根据上述 3 个分布函数进行氢原子电子云模拟。 4、用绘图点的密度来描述的电子的概率分布密度，模拟了各种氢原子电子 云的状态。 主要参考资料： 1 Steven EKonin，泰克诚译计算物理学北京：高等教育出版社， 1993 2 马文淦等计算物理学合肥：中国科学技术大学出版社，1992. 3 韩旭里等数值分析与实验北京：科学出版社.2006. 完成期限 指导教师 专业负责人 年 月 日 目目 录录 第第 1 1 章章 概述概述1 第第 2 2 章章 MATLAB 基础知识基础知识.2 2.1 MATLAB 简介2 2.2 MATLAB 基本操作命令3 第第 3 3 章章 氢原子光谱仿真实验与结果氢原子光谱仿真实验与结果.7 3.1 氢原子基态的 MATLAB 仿真模拟7 3.2 氢原子 2S 态的 MATLAB 仿真模拟8 3.3 氢原子 3S 态的 MATLAB 仿真模拟9 第第 4 4 章章 总总 结结.10 参考文献参考文献.11 附附 录录12 附录一12 附录二13 附录三14 第一章 概 述 MATLAB 现已成为集数值分析、符号运算、图形处理、系统仿真等于一体 的科学与工程计算软件平台。MATLAB 最大的特点在于功能强大及界面友好。 其丰富的库函数和各种专用工具箱，将使用者从繁琐的底层编程中解放出来， 使他们有更多的时间和精力去探究科学和问题本身；它对科学计算结果迅捷而 准确的可视化能力。有助于使用者化抽象思维为形象思维。从而更好的洞察含 义、理解概念、发现规律。目前，MATLAB 已成为工程界最流行的软件工具， 在大学理工实验课程的教学中的应用亦渐成热点。 在构建物理模型的前提下，利用 MATLAB 的计算、声音、图像、动画等 功能来模拟物理现象、诠释物理规律、演示运动过程，并由此构建学生自主探 索问题和解决物理问题的平台。利用它开展大学物理计算机模拟实验，一方面 使抽象问题形象化，加深学生对物理现象和规律的理解，提高教学效率；另一 方面则有利于激发学生的学习兴趣，发展学生的想象力，开发学生的创造力。 对于氢原子中的电子，不能用确定的坐标描述它们的位置，因此也无法用 轨迹来描述它们的运动，但它们在空间出现的概率是有一定的规律的。为了探 究氢原子各能级电子出现几率的规律，排除实际实验时外界诸多环境因素对实 验结果的影响，采用 MATLAB 模拟仿真实验的方式来进行对氢原子各能级电 子出现几率的研究。从而达到对仿真结果与理论预期情况的讨论。 电子云是电子在原子核外空间概率密度分布的形象描述，电子在原子核外 空间的某区域内出现，好像带负电荷的云笼罩在原子核的周围，人们形象地称 它为“电子云” 。它是 1926 年奥地利学者薛定谔在德布罗伊关系式的基础上， 对电子的运动做了适当的数学处理，提出了二阶偏微分的的著名的薛定谔方程 式。这个方程式的解，如果用三维坐标以图形表示的话，就是电子云。 2 第二章 MATLAB 的基础知识 2.1 MATLAB 简介 MATLAB 是 Mathworks 公司开发的一种集数值计算、符号计算和图形可视 化三大基本功能于一体的功能强大、操作简单的优秀工程计算应用软件。 MATLAB 不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及 仿真模拟等功能。从而能够很好的帮助工程师及科学家解决实际的技术问题。 MATLAB 的含义是矩阵实验室（Matrix Laboratory） ，最初主要用于方便矩 阵的存取，其基本元素是无需定义维数的矩阵。经过十几年的扩充和完善，现 已发展成为包含大量实用工具箱（Toolbox）的综合应用软件，不仅成为线性代 数课程的标准工具，而且适合具有不同专业研究方向及工程应用需求的用户使 用。 MATLAB 最重要的特点是易于扩展。它允许用户自行建立完成指定功能的 扩展 MATLAB 函数（称为 M 文件） ，从而构成适合于其它领域的工具箱，大 大扩展了 MATLAB 的应用范围。目前，MATLAB 已成为国际控制界最流行的软 件，控制界很多学者将自己擅长的 CAD 方法用 MATLAB 加以实现，出现了大量的 MATLAB 配套工具箱，如控制系统工具箱（control systems toolbox） ，系统识别工 具箱（system identification toolbox） ，鲁棒控制工具箱（robust control toolbox） ，信号处理工具箱（signal processing toolbox）以及仿真环境 SIMULINK 等。 3 2.2 MATLAB 基本操作命令基本操作命令 本节简单介绍与本书内容相关的一些基本知识和操作命令。 （1）简单矩阵的输入）简单矩阵的输入 MATLAB 是一种专门为矩阵运算设计的语言，所以在 MATLAB 中处理的 所有变量都是矩阵。这就是说，MATLAB 只有一种数据形式，那就是矩阵，或 者数的矩形阵列。标量可看作为 11 的矩阵，向量可看作为 n1 或 1n 的矩 阵。这就是说，MATLAB 语言对矩阵的维数及类型没有限制，即用户无需定义 变量的类型和维数，MATLAB 会自动获取所需的存储空间。 输入矩阵最便捷的方式为直接输入矩阵的元素，其定义如下： （1） 元素之间用空格或逗号间隔； （2） 用中括号（）把所有元素括起来； （3） 用分号（；）指定行结束。 例如，在 MATLAB 的工作空间中，输入： 9654 3 2a ； 则输出结果为： 965 432 a 矩阵 a 被一直保存在工作空间中，以供后面使用，直至修改它。 MATLAB 的矩阵输入方式很灵活，大矩阵可以分成 n 行输入，用回车符代 替分号或用续行符号（）将元素续写到下一行。例如： 987654321 a， ， ； ， ， ； ， ， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a 9876 54321 a ， ， ； ， ， ； ， ， 以上三种输入方式结果是相同的。一般若长语句超出一行，则换行前使用 续行符号（） 。 4 在 MATLAB 中，矩阵元素不限于常量，可以采用任意形式的表达式。同 时，除了直接输入方式之外，还可以采用其它方式输入矩阵，如： （1） 利用内部语句或函数产生矩阵； （2） 利用 M 文件产生矩阵； （3） 利用外部数据文件装入到指定矩阵。 （2） MATLAB 语句和变量语句和变量 MATLAB 是一种描述性语言。它对输入的表达式边解释边执行，就象 BASIC 语言中直接执行语句一样。 MATLAB 语句的常用格式为： 变量表达式; 或简化为： 表达式; 表达式可以由操作符、特殊符号、函数、变量名等组成。表达式的结果为 一矩阵，它赋给左边的变量，同时显示在屏幕上。如果省略变量名和“”号， 则 MATLAB 自动产生一个名为 ans 的变量来表示结果。 ans是 MATLAB 提供的固定变量，具有特定的功能，是不能由用户清除的。 常用的固定变量还有 eps、pi、Inf、NaN 等。其特殊含义可以用 7.2.10 节介绍 的方法查阅帮助。 MATAB 允许在函数调用时同时返回多个变量,而一个函数又可以由多种格 式进行调用，语句的典型格式可表示为： 返回变量列表fun-name(输入变量列表) 例如用 bode()函数来求取或绘制系统的 Bode 图，可由下面的格式调用： )Wden,num,(bodephase,mag 其中变量 num、den 表示系统传递函数分子和分母，W 表示指定频段， mag 为计算幅值，phase 为计算相角。 （4）语句以）语句以“”开始和以分号开始和以分号“；”结束的特殊效用结束的特殊效用 在 MATLAB 中以“”开始的程序行，表示注解和说明。符号“”类 似于 C+中的“/” 。这些注解和说明是不执行的。这就是说，在 MATLAB 程 序行中，出现“”以后的一切内容都是可以忽略的。 分号用来取消打印，如果语句最后一个符号是分号，则打印被取消，但是 命令仍在执行，而结果不再在命令窗口或其它窗口中显示。这一点在 M 文件中 大量采用，以抑制不必要的信息显示。 （6）算术运算符）算术运算符 MATLAB 提供了常用的算术运算符：+， ，（） ，（幂指数） 。 应该注意：（）右除法和（）左除法这两种符号对数值操作时，其结 5 果相同，其斜线下为分母，如 14 与 41,其结果均为 0.25，但对矩阵操作时， 左、右除法是有区别的。 （8）MATLAB 图形窗口图形窗口 当调用了一个产生图形的函数时，MATLAB 会自动建立一个图形窗口。这 个窗口还可分裂成多个窗口，并可在它们之间选择，这样在一个屏上可显示多 个图形。 图形窗口中的图形可通过打印机打印出来。若想将图形导出并保存，可用 鼠标点击菜单 File|Export,导出格式可选 emp、bmp、jpg 等。命令窗口的内容也 可由打印机打印出来：如果事先选择了一些内容，则可打印出所选择的内容； 如果没有选择内容，则可打印出整个工作空间的内容。 （9）剪切板的使用）剪切板的使用 利用 Windows 的剪切板可在 MATLAB 与其它应用程序之间交换信息。 （1） 要将 MATLAB 的图形移到其它应用程序，首先按 Alt-Print Screen 键， 将图形复制到剪切板中，然后激活其它应用程序，选择 edit（编辑）中的 paste（粘贴） ，就可以在应用程序中得到 MATLAB 中的图形。当然还可以借助 于 copy to Bitmap 或 copy to Metafile 选项来传递图形信息。 （2） 要将其它应用程序中的数据传递到 MATLAB，应先将数据放入剪切 板，然后在 MATLAB 中定义一个变量来接收。 如键入： q= 然后选择 Edit 中的 paste，最后加上“”,这样可将应用程序中的数据送入 MATLAB 的 q 变量中。 （10）MATLAB 编程指南编程指南 MATLAB 的编程效率比 BASIC、C、FORTRAN 和 PASCAL 等语言要高， 且易于维护。在编写小规模的程序时，可直接在命令提示符后面逐行输入， 逐行执行。对于较复杂且经常重复使用的程序，可按 7.1.3 介绍的方法进入程序 编辑器编写 M 文件。 M 文件是用 MATLAB 语言编写的可在 MATLAB 环境中运行的磁盘文件。 它为脚本文件（Script File）和函数文件（Function File）,这两种文件的扩展名 都是.m。 （1） 脚本文件是将一组相关命令编辑在一个文件中，也称命令文件。脚 本文件的语句可以访问 MATLAB 工作空间中的所有数据，运行过程中产生的 所有变量都是全局变量。例如下述语句如果以.m 为扩展名存盘，就构成了 M 脚本文件,我们不妨将其文件名取为“Step_Response”。 % 用于求取一阶跃响应。 num=1 4; den=1 2 8; step(num,den) 6 当你键入 help Step_Response 时，屏幕上将显示文件开头部分的注释： 用于求取一阶跃响应。 很显然，在每一个 M 文件的开头，建立详细的注释是非常有用的。由于 MATLAB 提供了大量的命令和函数，想记住所有函数及调用方法一般不太可能， 通过联机帮助命令 help 可容易地对想查询的各个函数的有关信息进行查询。该 命令使用格式为： help 命令或函数名 注意：若用户把文件存放在自己的工作目录上，在运行之前应该使该目录 处在 MATLAB 的搜索路径上。当调用时，只需输入文件名，MATLAB 就会自 动按顺序执行文件中的命令。 （2） 函数文件是用于定义专用函数的，文件的第一行是以 function 作为关 键字引导的，后面为注释和函数体语句。 函数就像一个黑箱，把一些数据送进去，经加工处理，再把结果送出来。 在函数体内使用的除返回变量和输入变量这些在第一行 functon 语句中直接引用 的变量外，其它所有变量都是局部变量，执行完后，这些内部变量就被清除了。 函数文件的文件名与函数名相同（文件名后缀为.m）,它的执行与命令文件 不同，不能键入其文件名来运行函数，M 函数必须由其它语句来调用，这类似 于 C 语言的可被其它函数调用的子程序。M 函数文件一旦建立，就可以同 MATLAB 基本函数库一样加以使用。 7 第三章 氢原子光谱仿真实验与结果 3.1 氢原子基态的 MATLAB 仿真模拟 氢原子中电子沿半径的分布密度（即电子在半径处单位厚度球壳内）出现 的几率，习惯上把这种分布形象称作电子云。 22 s D=r 氢原子基态即 1S 态（n=1,l=0,m=0）有：D=； Dmax=1.1 a er a r 1 4 3 2 2 1 ，r0=0.25nm 其中 a1=5.2910-2nm 是 D 的最大值 Dmax处的 r 值。r0是 D 收敛处的 r 值, 即 D 的收敛点。如图 3-1 即为处于最低状态的氢原子电子云，仿真的 MATLAB 程序见附录一 8 图 3-1 氢原子基态电子云 MATLAB 仿真图 氢原子 1s 态下电子云呈球形对称分布，原子附近电子出现的几率密度最 大，由里向外几率密度渐小 。 3.2 氢原子 2S 态的 MATLAB 仿真模拟 氢原子 2s 态（n=2,l=0,m=0）有 D=； a e a r a r r 1 8 2 5 2 1 2 1 Dmax=0.14，r0=1.0nm 如图 3-2 即为处于 2S 态的氢原子电子云，仿真的 MATLAB 程序见附录二 9 图 3-2 氢原子 2S 态电子云 MATLAB 仿真图 由此可以看出氢原子 2S 态电子云中，因电子所包含的能量不同，所以分布 在两个不同的能级上，低能级电子由于不具有足够的能量而无法跃迁到高能级。 因此电子云呈现出两个半径不同圆心相同的的等圆面。 3.3 氢原子 3S 态的 MATLAB 仿真模拟 氢原子 3S 态（n=3,l=0,m=0）有 D=； e aa a rrr r 1 3 2 2 2 11 2 2 18 27 81 4 Dmax=0.2,r0=2.0nm 如图 3-3 即为处于 3S 态的氢原子电子云，仿真的 MATLAB 程序见附录三 10 图 3-3 氢原子 3S 态电子云 MATLAB 仿真图 同理可以看出，氢原子 3S 态电子云中，由于电子的能量不同，而使其分布 在不同的三个能级上，因此电子云呈现出三个半径不同圆心相同的的等圆面。 第四章 总 结 根据量子力学理论，能量不同的电子，在核外空间经常出现的区域也不同。 氢原子处于最低能态时，它的电子经常出现的区域是以原子核为中心的一个球 壳。这个球壳的半径是 0.52910-10m，跟波尔计算的氢原子处于最低能量状态 时的半径相同。为了表示电子运动的这种统计性规律，可以用一种形象化的办 法，就是在电子经常出现的区域内，用小黑点的稠密与稀疏来代表电子在核外 11 各处出现的机会多少。 电子云是近代对电子用统计的方法，在核外空间分布方式的形象描绘，它 的区别在于行星轨道式模型。电子有波粒二象性，它不像宏观物体的运动那样 有确定的轨道，因此画不出它的运动轨迹。我们不能预言它在某一时刻究竟出 现在核外空间的哪个地方，只能知道它在某处出现的机会有多少。小黑点密处 表示电子出现的几率密度大，小黑点疏处几率密度小，看上去好像一片带负电 的云状物笼罩在原子核周围，因此叫电子云。 在量子化学中，用一个波函数表征电子的运动状态，并且用它的模的( ) r 平方值表示单位体积内电子在核外空间某处出现的几率，即几率密度，所 2 以电子云实际上就是在空间的分布。研究电子云的空间分布主要包括它的 2 径向分布和角度分布两个方面。径向分布探求电子出现的几率大小和离核远近 的关系，被看作在半径为 r，厚度为 dr 的薄球壳内电子出现的几率。角度分布 探究电子出现的几率和角度的关系。s 电子云，是球形对称的，在核外半径相 同处任一方向上电子出现的几率相同。下面说明电子云几率分布的几种表示法： 用和随 r 的变化表示，图形表明它们随 r 增大（离核远）而减小； 电 1s 2 1s 子云图以小黑点疏密表示电子在核外空间出现的几率的大小。在核附近，电子 出现的几率密度最大，离核远处电子几率密度小；把相同的点连接起来即 2 等密度图。对氢原子而言，等密度面是许多同心的球面。图中数值表示几率密 度的相对大小；电子云界面图，在核的周围作一界面,在界面内出现该电子的几 率大于 90，界面外出现该电子的几率不足 10。对氢原子而言，界面本身就 是一个等密度面。因此，氢原子 S 态的波函数只是半径 r 的函数，与 ss =r （） 和无关。 参考文献 1 Steven EKonin，泰克诚译计算物理学北京：高等教育出版社， 1993. 2 马文淦等计算物理学合肥：中国科学技术大学出版社，1992. 12 3 韩旭里等数值分析与实验北京：科学出版社.2006. 附 录 13 附录一 clear k=0:0.01:2*pi; plot(5*cos(k),5*sin(k) hold on Dm=1.1; r0=2.5; s=2e5; r=r0*rand(1,s); a=0.529; D=4/(a.3).*r.2.*exp(-2.*r./a); D0=Dm*rand(1,s); q=find(DD0); m=length(q); t=2*pi*rand(1,m); plot(r(q).*cos(t),r(q).*sin(t),k.,MarkerSize,1) axis(-5 5 -5 5) axis square title(sprintf(氢原子的 1S 态电子云（随机点个数%d，绘图点个数%d）,s,m) 附录二 clear 14 k=0:0.01:2*pi; plot(2*cos(k),2*sin(k) hold on Dm=0.14; r0=1; s=2e5; r=r0*rand(1,s); a=0.529; D=r.2/(8.*a5).*(2-