用列初等变换求矩阵的特征向量.doc

求矩阵特征向量的三种方法文爱民 （湘南学院数学系2000级1班 中国 郴州 423000）摘 要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度.关键词：行初等变换 列初等变换 矩阵 特征向量 Three methods of requesting matrix eigenvectorAimin-Wen（Class 1,Grade 2000,Department of Mathematics XiangNan University ,Chenzhou 423000 ,China）Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementaryCounterchange to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation.Keywords:row elementary counterchange;tier elementary counterchange;matrix;eigenvector.1、定义定义1 所谓数域P上矩阵的初等变换是指下列三种变换：1） 以P中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）.2） 把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）3） 互换矩阵中两行（列）的位置.定义2 设A是数域P上线性变换，如果对于数域P中一数，存在一个非零向量，使得 .那么称为A的一个特征值，而称为属于特征值的一个特征向量.定义3 设A是数域P上一n阶矩阵，是一个文字.矩阵 的行列式称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式.定义4 设向量组不线性相关.即没有不全为零的数使就称为线性无关；或者说，向量称为线性无关，如果由可以推出.2、用行初等变换求矩阵的特征向量 此方法求n阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程，而解齐次线性方程组一般是用行初等到变换.必要时变换列化系数为阶梯形然后给自由变量一些赋值进而求解.具体求解步骤是：1）、在线性空间V中取一组基，写出A在这组基下的矩阵A； 2）、求出A的特征多项式 在数域 P中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值； 3）、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的n个线性无关的特征向量在基 下的坐标，这样，我们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.例1 设数域P上三维空间V内线性变换A关于基的矩阵为A=求A的特征值与特征向量.解 因为特征多项式为f()=|E-A|=(-4) 所以特征值是=-2(两重)和=4求相应于A的特征值=-2的特征向量（E-A）=即-=0，它的基础解系是，因此，属于=-2的两个线性无关的特征向量是=+，=-+而属于=-2的全部向量就是+，取遍数域P中不全为零的全部数对.求相应于A的特征值=4的特征向量（E-A）=即 +-=0 12-6=0它的基础解系是：因此属于=4的一个线性无关的特征向量是=+2，而属于=4的全部特征向量就是K，K是数域P中任意不等于零的数.3、用列初等变换求矩阵的特征向量设是n阶矩阵A的特征根，对（E-A）施行列初等变换化为的同时，对单位阵E施行同样的列初等变换就得到矩阵，则矩阵D的每一个列向量都是A的属于特征根的特征向量，且它们恰构成特征子空间的一个基.（这里r=秩（E-A）事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得（E-A）=（E-A）=0.由于D是单位阵E经若干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的n - r个列向量线性无关，且每个列向量都是（E-A）x=0的解向量.从而结论得证.例2 求R上矩阵A=的特征根与特征向量解：(x) = = (x-4)(+4)矩阵A只有一个实根=4= 从而为A的属于特征根4的一个特征向量，而，K0,KR,是A的属于4的全部特征向量要求出矩阵A的每一个特征根的特征向量，只需对每一个按照上述方法一一求解便是.推论：若n阶矩阵A仅有两个特征根.且秩（E-A）=的重数（ij,i,j=1,2）,对（E-A）经列初等变换化为（ ），则矩阵B的每一个列向量都是A的属于特征根的特征向量，且它们恰好构成特征子空间的一个基. 事实上，秩（E-A）=的重数（ij,i,j=1,2），从而A可对角化，故存在可逆阵PA=P=QP（E-A）（E-A）=（E-QP）（E-QP）=（E-Q）P（E-Q）P=（E-Q）（E-Q）P=0而B的列向量恰是（E-A）的列空间的一个基，所以B的个列向量是齐次线性方程组（E-A）x=0的一个基础解系即B的列向量是从属于的线性无关的特征向量.例3 求矩阵A=的特征根与特征向量解 (x) = =A的特征根是5和1=A的属于特征根5的特征向量是+，不全为0，RA的属于特征值1的特征向量是 0，R对于只有两个特征根的矩阵来说，要求它的属于不同特征根的特征向量，通常取重数较大的那个特征根，这样作初等变换时比起另一个来更方便些.还有一些矩阵，比如等，虽然也保有两个特征根，但并不满足“秩（E-A）=的重数（ij,i,j=1,2）“这个条件，因而只对作列初等变换即可.当然，并不是所有矩阵运用此法求特征向量都相对简便，仅供参考.4、矩阵的特征根与特征向量的同步求解对f()=同时进行列与行的初等变换，将其化为对角形矩阵B(). 即只要求出有可逆矩阵n阶矩阵p()、Q()，使p()f()Q()=ding(),(),()=B()显然每个()0.（即不是零多项式）其中Q()就是在对f()进行列的初等变换时，同时对进行相同的列初等变换的结果.（或记录）当然p()是对f()进行行初等变换时，同时对进行行初等变换的结果.（只是后来不用它，不必记录）设是f()的任意一个根（A的特征根），因为A的特征多项式=()()().设在(),(),()中有t个为0，n-t个不为0（t1）设()=()=()=0其余的()0（是1，2，n中某t个值）显然f()的秩为n t.即有p()f()(),(),()= () 其中(),(),()是Q()中第列的列向量.由于p()与Q()皆是可逆矩阵,由（）可得 f()(),(),()=而(),(),()线性无关,即知它们就是方程组 的一个基础解系.故(),(),()就是A的属于特征根的特征向量.对f()同时施行行与列的初等变换,容易将其化为对角形矩阵B(),只需记录下Q()就成了.这里免去了对B()的(是A的一个特征根时)非0列向量再施初等变换的过程.下面举例说明.例4 求矩阵A的特征根与特征向量,其中A=解 = 知B()=Q()=A的特征根是1(2重根)与-1.=1时与B()中对应的Q()中两个列向量是与.=-1时与B()中对应的Q()中1个列向量是A的属于特征根1的特征向量是与；A的属于特征根-1的特征向量是. 这