《数字信号处理教程》程佩青第三版课后答案.pdf

5 第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n(h*)n( x)n( y= 请用公式表示。 分析： 注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（ n 看作参量） ， 结果)(ny中变量是 n, ; )()()()()( = = = = = mm mnxmhmnhmxny 分为四步 （1）翻褶（ -m ） ， （2）移位（ n ）,（3）相乘， ; )( )( 4nynnyn值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n 0 0 0 , 01 () 0 , , () 0, n nn anN hn n nn xn nn = = = = += = = =+= =+= += = = xayy xayy ni nxnayny nnxa y 处递推，向 按 ，设 ，时解 9 3 111 2 111 1 111 111 111 1 111 )2()2( 1 )3( )1() 1( 1 )2( )0()0( 1 ) 1( )1() 1( 1 )( ) 1()() 1( 0) 0,0)( 0)() 1()( = = = += +=+ = =+= =+= += = )2() 1 ()2( 1) 1 ()0() 1 ( )() 1()( 0) ) 1()()( 222 222 222 按 ，处递推向 设 0)1() 1( 1 )2( 0)0()0( 1 ) 1( )1() 1( 1 )( )(0) 1,)( )() 1()( 222 222 222 2 1 2 1 222 = = += += =+= =+= =+= += 处递推向 设 2 333 1 333 1 3 1 333 )1() 1( 1 )2( )0()0( 1 ) 1( 0) 1,)( )() 1()( = = 。 解：根据奈奎斯特定理可知： 失真。 频谱中最高频率 无失真。 频谱中最高频率 )( 3 2 6 5 , 5cos)( )( 3 2 6 2, 2cos)( 2 22 1 11 ty ttx ty ttx a aa a aa = = = z 。的收敛域为故 的收敛域相同，的收敛域和因为 1|)( )( )( 1 ln)1ln(ln)( = zzX dz zdX zX z z zzzX =z 1, 0 零点为：极点为：zz 解：解：(5) 设 )()sin()( 0 nunny= 则有 1| cos21 sin )()( 2 0 1 0 1 + = = z zz z znyzY n n ， 而 )()(nynnx= )()(zY dz d zzX=1|, )cos21 ( sin)1 ( 22 0 1 0 21 + = z zz zz 因此，收敛域为 ：1z = = zzzz ezez jj ,0,1,1 , 00 零点为： （极点为二阶）极点为： 解解：(6) ) 1( , 1 )()4(=n n nx 为常数） 00 (0,sin)()5(=nnnnx 10),()cos()()6( 0 + = + + = = = += + = + + = = = += z zz z zz z zz z zY nunnun nunn nunny 设 。：的收敛域为则 而的收敛域为则 | )( cos21 )cos(cos )()( )()( 1 )( 22 0 1 0 1 rzzX zrrz rzA r z YAzX nyArnxzzY n + = = + = = 2 . 假如)(nx的 z 变换代数表示式是下式，问)(zX可能有多少 不同的收敛域。 ) 8 3 4 5 1)( 4 1 1 ( 4 1 1 )( 212 2 + = zzz z zX 分析： 分析： ）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域 ：双边序列的收敛域为 ：特殊情况有 ：左边序列的收敛域为 ：因果序列的收敛域为 ：右边序列的收敛域为 ：特殊情况有 ：有限长序列的收敛域为 0 0 , , 0 0 , , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 1 1 2 1 21 = (2) | Z | (3) | Z | 3/4 ， 为右边序列，为右边序列， 请看请看 aaz az zX z z zX z z zX zzX 1 z , 1 )()3( 4 1 z , 4 1 1 21 )( )2( 2 1 z , 4 1 1 2 1 1 )( ) 1 ( )(,. 3 1 1 2 1 = = 反变换的部分分式法求以下留数定理用长除法 分析： 分析： 长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按 z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按z的升幂排列。 部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n） 。 留数定理法： 。号（负号）”数时要取“ 用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（ 。现的错误 这是常出，相抵消）（来和不能用，消 的形式才能相抵的表达式中也要化成因而 注意留数表示是）（ 2 )1/(1 )/(1 )( )()()( Re 1 1 1 11 = = = = = = kk k n k n k k n zzzz zzzzX zz zzXzz zz zzXs （1） （i）长除法： （1） （i）长除法： 12 1 2 1 1 1 4 1 1 2 1 1 )( + = = zz z zX , 2/1|,2/1=zz而收敛域为：极点为 按降幂排列 分母要为因果序列，所以分子因而知)(nx + 21 4 1 2 1 1zz 1 1 2 1 1 1 2 1 1 + + z z 26 21 1 4 1 2 1 2 1 zz z 2 4 1 z = = = += = += 0 21 2 1 4 1 2 1 1)( n n n z zzzX 所以：)( 2 1 )(nunx n = （1）(ii)留数定理法：留数定理法： + = c n dzz z j nx 1 1 2 1 1 1 2 1 )( , 设 c 为 2 1 z内的逆时针方向闭合曲线： 当0n时， nn z z z z 2 1 1 1 1 2 1 1 1 + = + 在c内有 2 1 =z一个单极点 则 0 , 2 1 2 1 Re)( 2 1 = + = = n z z snx n n z ，是因果序列由于 )( nx 0)( 0 =z 所以 )( 2 1 )(nunx n = （2）(i). 长除法：长除法： 4 1 , 4 1 0, 0)( =nnx则： 综上所述，有： ) 1() 4 1 (7)(8)(+=nunnx n (2)(iii). 部分分式法：部分分式法： 4 1 78 ) 4 1 ( 2)( += = z z zz z z zX 则 1 4 1 1 7 8 4 1 7 8)( = = z z z zX 因为 4 1 可知,)(nx为 因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: + 2 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 11 z a a a z a a aa a z azaz 1 1 + 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( + z a a aa a a a 29 + + 2 2 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 z a a a z a a a z a a a 则 = += 1 1 ) 1 ( 1 )( n n n z aa a a zX 所以 ) 1( 1 ) 1 ()( 1 )( +=nu aa an a nx n (3)(ii). 留数定理法留数定理法: a zdzzzX j nx c n 1 c )( 2 1 )( 1 = 为，设 内的逆时针方向闭合曲线。 ) 1( 1 ) 1 ()( 1 )( 0)( )( 0 1 1 )(Re)(Re)0( 1 , 0 c )( 0 )0(, 1 ) 1 ( 1 1 )(Re)( 1 )( 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 += = = = = = = = = = nu aa an a nx nx nxn a a a a zzXszzXsx a zz zzXn n aa a z a z az a zzXsnx a zczzX n n nn n n n n n z a z a z a z 所以。此时 是因果序列，时：由于当 两个单极点 内有在时：当 一个单极点内有在 时：当 (3)(iii). 部分分式法：部分分式法： az a z a azz az z zX + = = 1 1 )1 ( )( 2 30 则 1 1 1 1 ) 1 ()( += z a a aazX 所以 )( 1 ) 1 ()()()(nu aa ananx n += ) 1( 1 ) 1 ()( 1 +=nu aa an a n 4. 有一右边序列 )(nx，其 z 变换为 )1)( 2 1 1 ( 1 )( 11 = zz zX (a) 将上式作部分分式展开(用 1 z表示)，由展开式求 )(nx 。 (b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开 式求 )(nx ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 注意：注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。 解：(a) 因为 1 11 2 2 1 1 1 )( + = z z zX 且x(n)是右边序列 所以 )() 2 1 2()(nunx n = (b) 1 2 2 1 2 1 1 ) 1)( 2 1 ( 2 1 2 3 1 ) 1)( 2 1 ( )( 2 + += += = z z zz z zz z zX 31 )() 2 1 2( ) 1(2) 1( 2 1 )()( nu nununnx n n = + =则 5对因果序列,初值定理是 )(lim)0(zXx z = ,如果序列为 0n 时 0)(=nx ,问相应的定理是什么? )( nx讨论一个序列 ,其z变换为： 值。试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(xzX 分析： 分析： 这道题讨论如何由双边序列Z变换)(zX来求序列 初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分， 它们各自由)(zX求)0(x表达式是不同的，将它们 各自的)0(x相加即得所求。 )0()(lim )2() 1()0( )()( :,0)(,0 0 2 0 xzX zxzxx znxzX nxn z n n = += = = = += = = = = 所以此时有： 有时当序列满足解： 若序列)(nx的 Z 变换为： 2 1 ,2 )( )()( 2 1 3 2 4 ) 2 1 )(2( 24 19 12 7 2 5 1 24 19 12 7 )( 21 21 2 21 1 = += + = = + = zzzX zXzX z z z z zz zz zz z zX 的极点为 ）（ ）（ 由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为： 2 2 1 。变换的变换性质求利用 )( )( zYznyz 分析： 分析： 。则）（ ：注意移位定理 )()()( )(*)()( 2 )( )()( )()( )()( ) 1 ( 2121 1 1 zXzXzYnxnxny zXzm)nx(zXzmnx zXnxzXnx -mm = + = + 解：根据题目所给条件可得： 1 1 2 1 1 1 )( z nx 1 2 3 1 1 1 )( z nx Z 1 3 1 2 1 1 )3( + z z nx Z 2 1 z z zXnx Z 3 1 1 1 )()( 1 22 = 3 1 1 z z z nx Z 3 1 1 ) 1( 1 2 + 31.62 是其收敛区域。 零极点图如右图所示。 右边是本题的零极点图。右边是本题的零极点图。 = = 212121 1 )( )( az z az z aaazaz z zHb因为）（ = = = = 0 2 0 1 21 1 2 1 121 1 1 1 1 11 n nn n nn zaza aa zazaaa () 62. 0 , 62. 1 )( 1 )( 21 21 21 = = aa nuaa aa nh nn 式中 所以 由于)(zH的收敛区域不包括单位圆，故这是个不 稳定系统。 (c) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选)(zH的 收敛区域为 12 azaz 零极点图二： 2 2 1 z ,则系统 是非稳定的，但是因果的。其单 位抽样响应为： )()( 1 )( 21 21 nuzz zz nh nn = )()22( 3 2 nu nn = (2) 同样按 12 题，当收敛区域为 2 2 1 。因为 是因果系统，且当 0n 时，采用围线积分法，其中围线 C 包围 azz, 21 三个极点，所以 45 = = 3 1 1, )()( p p n zzzzYny )( )()( )()()( 2121 2 21 2 21 2 12 nu azazzz azzzazzaz n nn + = + + 代入上式，即可得到将 jj rezrez = 21 , )(ny 16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程， 求系统函数。当 5 . 0,1,5 . 0 110 =abb 时，求系统单 位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。 分析： 解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程，令其二阶项系统为零， 可得一阶差分方程，取 Z 变换求得 H（z）从而求得 h（n） 。 解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序 （线性系统服从交换定理） ，然后写出差分方程，再取 Z 变换 求得 H（z）从而求得 h（n） 。 解法一:由图示可得 ) 1()()( 111 +=nxanxnx ) 1()()( 1110 +=nxbnxbny )2() 1() 1()( ) 1()( 11101110 += + nxkbnxkbnxbnxb nkyny则 )2() 1()()( 11101010 +=nxkbnxkbbbanxb ) 1()()( 01010 +=nxkbbbanxb )2()2()( 11101011 +nxkbnxkbbbaa 由方框图可看出：差分方程应该是一阶的 1101110 2 1 0 akkbbkababa=+所以 46 则有 ) 1()()() 1()( 0110101 +=nxbabbanxbnyany ) 1()( 10 +=nxbnxb )()()1)( 1 10 1 1 zXzbbzazY +=即 1 1 1 10 1)( )( )( + = za zbb zX zY zH所以 时：当 5 . 0,1,5 . 0 110 =abb 1 1 1 1 1 10 5 . 01 5 . 0 1 )( + = + = z z za zbb zH 1 1 1 5 . 015 . 01 5 . 0 + = z z z 因为此系统是一个因果稳定系统 ; 所以其收敛 5 . 0 z域为 ()() 1(5 . 0)(5 . 05 . 0)( 1 += nununh nn 解法二： 将图 P2-11 画成流图结构，并化简如下： 由于线性流图的级联结构可以改变级联次序，因而 上图又可化成： 由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程： ) 1()() 1()( 101 +=nxbnxbnyany 取 z 变换可得： 47 )()()1)( 1 10 1 1 zXzbbzazY += 所以 1 1 1 10 1)( )( )( + = za zbb zX zY zH 代入，可得：将5 . 0,1,5 . 0 110 =abb 5 . 2,2 , 5 . 0)5 . 0( 5 . 01)( 5 . 0 5 . 01 5 . 01 5 . 0 )( 1 1 = += + = + = + = BA z B z A zz z z zH z z z z zH 其中 5 . 0| , 5 . 0 5 . 2 2)( +=z z z zH因而 (由于系统是因果稳定的) )()5 . 0(5 . 2)(2)( nunnh n +=所以 17设 )(nx 是一离散时间信号，其 z 变换为 )(zX ，对下列信 号利用 )(zX 求它们的 z 变换： (a) )()( 1 nxnx= ，这里记作一次差分算子，定义为： ) 1()()(=nxnxnx (b) =)( 2 nx 为奇数， 为偶数 n n n x 0 ), 2 ( (c) )2()( 3 nxnx= 分析： )( 2 nx 式序列的抽取序列， )( 3 nx 是 内插零值序列（不是内插序列） ，解题的 关键是要进行变量变换，以得到与 )(nx 的 Z 变换相似的表达式。 解： (a) ) 1()()(=nxZnxZnxZ )()1 ()()( 11 zXzzXzzX = 48 (b) = = evenn n z n xnxZ 2 )( 2 ， 则令 2 n m= )()( 22 zXzmx m m = = 上式 (c) 则令nm2= = = = evenm m n n zmxznxzY 2 )()2()( 由此可设 )( )1(1 2 1 )(mxmx m += = += m m m zmxzY 2 )( ) 1(1 2 1 )(则： m mm m zmxzmx = = += 2 1 2 )( 2 1 )( 2 1 +=)()( 2 1 2 1 2 1 zXzX 49 第三章第三章 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 1.如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。 = = = 5 0 6 2 6 5 0 )( )( )(X : n nkj nk n enxWnxk 解 kjkjkjkjkj eeeee 5 6 2 4 6 2 3 6 2 2 6 2 6 2 1068101214 += 计算求得: 。 339)5( ; 33)4( ; 0)3( ; 33)2( ;339) 1 ( ;60)0( jXjXX jXjXX += += += += 。并作图表示试求 设 )( ),( )( . )()( ),()( . 2 64 kXnxkX nxnxnRnx= = = = 5 0 6 2 6 5 0 )( )( )( : n nkj nk n enxWnxkX 解 kj kjkj eee += 3 2 3 1 。 计算求得： 3)5( ; 1)4( ; 0)3( ; 1)2( ; 3) 1 ( ; 4)0( jXXX XjXX = = = = 。的周期卷积并作图与试求 令 其它， 设 )( )( ,)()( ,)()( ,)2()(, 0 40, 1 )(. 3 46 4 nhnx nhnhnxnx nRnh n nn nx = = + = = = + = 解：在一个周期内的计算值 )( )( *)( )( mnhnhnxny= )( )( *)( )( mnhnhnxny= 50 等各序列。 试画出所示如图已知 )()(),()3(,)( )()(),()(,)( ,13)(. 4 77556 33665 nRnxnRnxnx nRnxnRnxnx Pnx )()()5( )(x(n)(4) Nn0 ),n-(n )() 3( )()()2( )()(cos)() 1 ( )(5 2 00 0 nRnnx nnR nx nRanx nRnanx DFTN N N N n N = = = = = = = = = N N T T N KHz KHzffff KHz T f s sTHzF F T P shhs s PP 为一个纪录中的最少点数 的整数幂必须为又因 频率为允许处理的信号的最高 最小纪录长度为 而解 58 )()()()( )()()( )( )()()( 2 1 )( )()()( 2 1 )( )10()( )()( 2 1 )()()( 2 1 )( )(.15 * * * nRNnxnxnx nRNnxnxnx a nRnxnxnx nRnxnxnx NnnxN nxnxnxnxnxnx nx Nooop Neeep NNNop NNNep oe += += = += =+= ） 证明： 分量定义如下：对称和圆周共轭反对称 的圆周共轭的有限长序列长度为 称分量为：的共轭对称和共轭反对序列 。恢复从恢复则可从 时且为偶数的序列看作长度为 试证明若把恢复也不能从恢复 能从的序列，一般来说，不看作长度为把 )()(, )( )( ,02/)( )( , )()(, )( )( )()( nxnxnxnx xNnNN nxnxnxnx nxNnxb oopeep oope ep = 解: (a) 方法一： 10)(Nnnx只在证明：由于 :则有的范围内有值， )( 2 1 )( 2 1 )()()( 2 1 )( * * nNxnx nRnxnxnx NNNep += += )0()(0 * xnNxn=时， 59 )()()()( )( 2 1 )()( 2 1 )( )( 2 1 )()( 2 1 )( 1) 1 ( * * * nRNnxnxnx nNx nNxNnxNnx nxnxnxnx Nn Neeep e e += = += =+= ，时 方法二证明 ( )： )()( 2 1 )( )()()()( ) 1 * nxnxnx nRNnxnxnx e Neeep += += 1)( )()0()( 2 1 )()( * +=+=nxnx nRnx Ne 0)()( )( )()( 2 1 )()( * = += = += nRNnx nRnNxNnx nRNnx N N Ne 因为： 所以： 2)( )()0()( 2 1 )()( * = = NnxnNx nRNnx Ne (1)+(2) 得： )3( )()0( )()0()()( 2 1 )()()( * * += + += + Nnx nxnNxnx nRNnxnx Nee 2) 由于： )4()()()( )()( 2 1 )( * = += = += nxnRnx nxnxnx NN NNNe )5()()0( )()0()( )()( * * * += += Nnx nxnNx nRnx NN 60 (4)+(5)得： )6()()0( )()0()()( 2 1 )()()( 2 1 )( *