材料力学简明教程景荣春课后答案第六章.pdf

第第 6 章章 弯曲变形弯曲变形 思考题思考题 6-1 梁的截面位移和变形有何区别？有何联系？图示两梁的弯曲刚度相同， 则两梁的挠 曲线曲率是否相同，挠曲线形状是否相同，为什么？ 思考题 6-1 图 答答（1）梁的截面位移是指截面位置改变（可以是平移或转动） ；梁的截面变形是形状和 大小改变。 （2）两梁的挠曲线曲率相同，因为弯矩方程相同；挠曲线形状不相同，因为边界条件 不同。 6-2 挠曲线微分方程 M w EI = 具有一定的近似性，其近似性体现在哪些方面？ 答答 只适用于小变形、纯弯曲，对横力弯曲近似适用。 6-3 工程中传动轴的齿轮或皮带轮一般都放置在靠近轴承处，而不放在中间，这是为什 么？ 答答 靠近轴承处挠度较小，中间挠度较大。 6-4 材料相同，横截面面积相等的钢杆和钢丝绳相比，为何钢丝绳要柔软得多？ 答答 弯曲刚度用 EI 表示，二者材料相同，只取决于惯性矩 I。设钢杆横截面为， 则其惯性矩为 dd33 () 12 81 12 33 4 3 1 ddd I= =；设钢丝绳每股横截面为dd ，则 9 股钢丝绳的惯 性矩为 1 43 2 9 1 12 9 12 9I ddd I= =，故钢丝绳要柔软得多。 6-5 图示钢制悬臂梁端部受集中力偶作用而弯曲，在小变形情况下做工程计算时，其挠 曲线是圆弧状还是抛物线状？或是两者均可，试说明理由。 思考题 6-5 图 答答 都可以。 图示钢制悬臂梁端部受集中力偶作用而弯曲的精确解挠曲线 （ EI M = 1 ， 为常数）为圆弧线；抛物线是从挠曲线近似微分方程MwEI= 求得。 6-6 使用奇异函数法求梁的变形有什么局限性？ 答答 一般要求梁等截面连续，其上的载荷最好是集中力偶、集中力和均布载荷（注：其 他情况不作要求） 。 73 6-7 用叠加法求梁的位移时，应满足哪些条件？ 答答 小变形。 6-8 弯曲刚度相等的两梁受力分别如图所示，试分析两梁的挠曲线大致形状，并比较最 大挠度和最大转角。 思考题 6-8 图 答答 梁(a)的左半段挠曲线与其右半段挠曲线反对称；梁(a)的左半段挠曲线与梁(b)的 挠曲线相同。两梁的最大挠度（绝对值）相同；最大转角也相同。 6-9 提高梁的弯曲刚度的主要措施有哪些？与提高梁强度的措施有何不同？ 答答 提高梁的弯曲刚度的主要措施有（1）调整加载方式，改善结构设计； （2）减小梁的 跨度，增加支承约束； （3）增大梁的弯曲刚度 EI。 74 习习 题题 6-1 试确定图示各梁挠曲线的大致形状。 (a1) (b1) (c1) (d1) 6-2图 示 弯 曲 刚 度 为EI的 两 端 固 定 梁 ， 其 挠 曲 线 方 程 为 ，式中DCxBxAxqxEIw+= 234 24/A，B，为待定常数。试根据边界 条件确定常数 CD A，B，C，并绘制梁的剪力图和弯矩图。 D (a) (b) (c) 75 解解 DCxBxAxx q EIw+= 234 24 CBxAxx q wEI+=23 6 23 ，；( )00 =EIw0=D( )00 =wEI，0=C ，( )0=lEIw0 24 234 =+BlAll q （a） ，( )0= l wEI023 6 23 =+BlAll q （b） 解式（a） ， （b）得 12 ql A =， 24 2 ql B= 即挠曲线方程为 2 2 34 241224 x ql x ql x q EIw+= （c） ( )xM ql x ql x q wEI=+= 1222 2 2 ( ) 12 0 2 ql MM A =（顺） 由图（b）对称性知 2 ql FAy=（） 最后的剪力图，弯矩图如图（c）所示。 6-3 弯曲刚度为EI的直梁，梁长为 ，已知其挠曲线方程为l)3( 6 2 xl EI Fx w=，试确 定梁的支承和受力情况。 解解 ()xl EI Fx w=3 6 2 () 2 36 6 xlx EI F w= () EI M xl EI F w= ,()xlFM=F x M F= d d S 由此得梁的支承受力如图所示。 6-4 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程，并求截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知 各梁的弯曲刚度均为EI。 76 a 解解 ，0= A M( )=49qlFC； 0= y F，( )=43qlFA AC 段 2 111 2 1 4 3 qxqlxM= ()lx20 1 CB 段 ()lxqlqxqlxM2 4 9 2 1 4 3 2 2 222 += ()lxl32 2 AC 段 ()lx20 1 CB 段()lxl32 2 2 111 2 1 4 3 qxqlxMwEI= 1 3 1 2 11 6 1 8 3 CqxqlxwEI+= 111 4 1 3 11 24 1 8 1 DxCqxqlxEIw+= ()lxqlqxqlxMwEI2 4 9 2 1 4 3 2 2 2222 += () 2 2 2 3 2 2 22 2 8 9 6 1 8 3 ClxqlqxqlxwEI+= () 222 3 2 4 2 3 22 2 8 3 24 1 8 1 DxClxqlqxqlxEIw+= 由边界条件 ( )00 1 =w，,( )02 1 =lw( )=lw 2 1 ( )02 2 =lw，( )02 2 =lw得 0 1 =D， 3 1 6 1 qlC=， 3 2 6 1 qlC=，0 2 =D 由此得挠曲线方程 1 3 1 34 1 3 11 6 1 6 1 24 1 8 1 xqlxqlqxqlxEIw+= ()lx20 1 () 2 3 3 2 4 2 3 22 6 1 2 8 3 24 1 8 1 xqllxqlqxqlxEIw+= ()lxl32 2 进一步代入计算得 ( )( )= EI ql lwwA 8 3 4 2 ，( ) EI ql w B 6 0 3 1 =（顺） (b) (b1) b 解解 取图（b1）所示左手坐标系有 ( )x l q xq 0 = 77 ( ) 30 632 1 x l qx xxqM= 3 1 0 6 x l q MwEI= ,Cx l q wEI+= 4 1 0 24 DCxx l q EIw+= 5 1 0 120 由边界条件( )( )0=lwlw得 30 24 l q C =， 40 20 l q D= 挠曲线方程为 () 5450 45 80 lxlx lEI q w+= ( )= EI lq wA 30 4 0 ， EI lq B 24 3 0 =（顺） 讨论讨论：请读者按右手坐标系求， A w B 并与以上解答比较。 (c) (c1) 解解 图(c1) 0= B M，( )= l M FC e CA 段 1 e x l M M= 2 0 1 l x AB 段 e2 e Mx l M M+= lx l 2 2 CA 段 2 0 1 l x AB 段 lx l 2 2 1 e 1 x l M wEI= 1 2 1 e 1 2 Cx l M wEI+= 111 3 1 e 1 6 DxCx l M EIw+= e2 e 2 Mx l M wEI+= 22e 2 2 e 1 2 CxMx l M wEI+= 222 2 2 e3 2 e 2 26 DxCx M x l M EIw+= 由边界条件 ( )00 1 =w，= 2 1 l w 2 2 l w，( )0 2 =lw得 0 1 =D， 24 e 1 lM C =， 24 11 e 2 lM C=， 2 e2 8 1 lMD = 78 挠曲线方程为 () 2 1 21e 1 4 24 xl lEI xM w=, 2 0 1 l x () 3 2 22 2 3 2 e 2 311124 24 lxllxx lEI M w+= lx l 2 2 0 2 1 = = l wwA，( ) EI lM lw B 24 e 2 =（逆） (d) (d1) d 解解 图(d1) 0= B M，( )=qlFC 8 3 ( ) 2 111 2 1 8 3 qxqlxxM= 2 0 1 l x () = 428 3 222 l x ql qlxxM lx l 2 2 CA 段 2 0 1 l x AB 段 lx l 2 2 2 111 2 1 8 3 qxqlxwE= 1 3 1 2 11 6 1 16 3 CqxqlxwEI+= 111 4 1 3 11 24 1 16 1 DxCqxqlxEIw+= = 428 3 222 l x ql qlxwEI 2 2 2 2 22 4416 3 C l x ql qlxwEI+ = 222 3 2 3 22 41216 1 DxC l x ql qlxEIw+ = 由边界条件( )00 1 =w，= 2 1 l w 2 2 l w，= 2 1 l w 2 2 l w，得 ( )0 2 =lw 0 1 =D， 4 2 768 1 qlD =， 3 1 128 3 qlC=， 3 2 384 11 qlC= 挠曲线方程为 () 2 1 3 1 31 1 24169 384 lxxl EI qx w+ = 2 0 1 l x () 3 2 22 2 3 22 17248 384 lxllxx EI ql w+ = lx l 2 2 79 ( ) = = EI qll wwA 768 5 2 4 1 ，( ) EI ql lw B 384 7 3 2 =（逆） 6-5 用奇异函数法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知各梁的弯曲刚度均 为EI。 (a) (a1) a 解解 图(a1) 0= B M， l M FC e = xEIx F EIw C C += 3 ! 3 （a） 由边界条件，得 = B w( )0 2 =lw EI lM C 6 e =，= A w= 2 l w EI lM 16 2 e 由式（a）得 C C EIx F wEI+= 2 2 ( ) EI lM lw B 3 e = （逆） (b) (b1) b 解解 图(b1) 0= C F，( )= FFC ，0= C M0 2 =+Fl l FMC,FlMC 2 3 =（逆） 3 32 2662 3 2 1l x F x F FlxEIw+= 80 即 3 32 2664 3l x F x F FlxEIw+= 2 2 2222 3l x F x F FlxwEI+= = A w= 2 l w EI Fl 6 3 ，( ) EI Fl lw B 8 9 2 = (c) (c1) c 解解 图(c1) 0= B M，； 0= C F0= y F，( )= qaFB2 34 2 624 ax F ax q EIEIw B C += 由边界条件，得 = B w()02=aw EI qa C 48 3 =（逆） 34 3 2 32448 ax qa ax q x qa EIw+= 23 3 2 648 axqaax qqa wEI+= = A w( )=aw( ) EI qa 48 4 ， EI qa B 48 7 3 =（顺） (d) (d1) d 解解 图(d1) 0= B M，032 2 =+aFaF a a a F C ，( )=FFC 4 5 81 ，0= y F( )=FFB 4 5 由图（d1）左手坐标系，点 E 为原点，则 433 3 3 24 3 4 3 6 1 4 5 6 1 6 ax q ax F ax F x F xEIEIwEIw EE += 由= C w( )0=aw， = B w()03=aw得 EI Fa E 3 4 2 =， EI Fa wE 6 7 3 = 433 323 3 24 3 824 5 63 4 6 7 ax q ax F ax F x F xFaFaEIw+= 322 22 3 6 3 8 3 8 5 23 4 ax q ax F ax F x F FawEI+= = A w()( )= EI Fa aw 8 3 2 3 ， () EI Fa aw B 3 2 3 2 =（逆） 6-6 用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。 已知各梁的弯曲刚度均为EI。 (a) (a1) (a2) a 解解 图(a)=图(a1)+图(a2) + +=+= 33 2 221121 l w l wwww DDCCAAA EI Fll EI l F EI l F l EI l F EI l F 9 2 32 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 2323 = + + = EI Fl EI l F EI l F DCBBB 18 5 2 3 2 2 3 2 22 2121 = =+=+=（顺）（顺） (b) 82 (b1) (b2) b 解解 图(b)=图(b1)+图(b2) ( )= + + = + +=+= EI ql EI qll EI lql EI lql w l wwww ACCAAA 16822 22 2 22 2 44 2 2 2 21121 EI ql EI ql EI lql BCBBB 126 22 33 2 2121 = =+=+=（逆） (c) (c1) (c2) (c3) (c4) c 解解 图(c)=图(c1)+图(c2)=图(c1)+图(c3)+图(c4) () + +=+=+=l EI ql lwwwwww CCAAAAAA2 4 12221121 8 ( ) ( ) ( )= EI ql l EI lql EI ql l EI lql 24 5 3 2 2 1 816 2 4 2 4 2 83 ( ) EI ql EI lql EI lql BBB 126 2 2 1 16 2 3 2 2 21 = =+=（逆） (d) (d1) (d2) (d3) (d4) d 解解 图(d)=图(d1)+图(d2)=图(d1)+图(d3)+图(d4) () 2221121AAAAAA wwwwww+=+= 22 22211 l w l CAC += ( )= = EI qll EI lql EI l ql l EI ql 2423 4 1 3 22 1 224 4 2 3 3 0 6 4 1 24 2 3 22121 = =+=+= EI lql EI ql BBBBB 讨论讨论： 迭加法简便， 特别是当提供附录 C 表时， 题 6-6 利用迭加法 （包括逐段钢化迭加） 一定要熟练掌握。 6-7 求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知各梁的弯曲刚度均为EI。 (a) 84 (a1) a 解解（1）本题在题 6-4 中已用积分法求得 0= A w， EI lM B 24 e = （2）这里用奇异函数法验证 xEI l x M x l M EIw C += 2 e3e 226 由得 ( )0=lwwB EI lM C 24 e = 2 e3ee 22624 l x M x l M x lM EIw+= 0 2 = = l wwA，( ) EI lM lw B 24 e = （3）直接查附录 C 表得 0= A w， EI lM B 24 e = 讨论讨论：测验时有时不提供附录 C 表，故应掌握积分法和奇异函数法。积分法最基本， 不管什么外载荷都适用，但积分常数多，计算繁琐，奇异函数法要求外载荷是均布载荷、集 中力、 集中力偶和等截面梁， 也有些文献讨论了线性分布载荷和分段等截面梁的奇异函数法， 但一般不作要求。 (b) (b1) b 解解（1）将载荷改为图（b1）形式，用奇异函数法解 ( )= 4 ql FC 44 3 4 3 2442446 1l x ql x q x ql xEIEIw C += 由边界( )0=lwwB得 EI ql C 384 11 3 =（顺） 算得 85 = A w= 2 l w( ) EI ql 2048 19 4 ， ( ) EI ql lw B 384 11 3 =（逆） (c1) (c2) (c3) c 解解（1）图（c2）=图（c）+ 图（c1） 显然图（c）中，跨中点 A 挠度与图（c1）中跨中点 A 挠度相等。 查附录 C 表可知图（c2）中跨中点 A 处挠度 EI lq wA 384 5 4 0 = 所以图（c）中 ( )= = EI lq EI ql wA 768 5 384 5 2 1 4 0 4 （2）若用积分法，可用图（c3）左手系求解 x l q q 0 = ( ) 300 66 x l q x lq xM= ( ) 300 66 x l q x lq xMwEI= Cx l q x lq wEI+= 4020 2412 DCxx l q x lq EIw+= 5030 12036 由边界得 ( )( )00=lww 0=D， 360 7 3 0l q C= 则 86 x lq x l q x lq EIw 360 7 12036 3 05030 += = A w= 2 l w( ) EI lq 768 5 4 0 还可继续求得两端转角。 (d) (d1) d 解解 奇异函数法解（左手系） ： ，0= C M0 42 = ll qlFB, 8 ql FB= ( )xEI l x q x ql xEIw B += 4 3 22486 1 由得 ( )0=lw EI ql B 384 7 3 =（逆） = A w= 2 l w( ) EI ql 768 5 4 讨论讨论：若只需求，可用迭加法求，它是整梁受均布q时中点挠度的一半，可直 接查附录 C 表得 A w A w EI qll wwA 768 5 2 4 = = 6-8 图示高度为，宽度线性变化的等强度悬臂梁，求自由端 A 的挠度。 h 解解 ( )x l b xb=，( )x l bh xI 12 3 =，( )FxxM= ( ) ( ) 3 12 Ebh Fl xEI xM w= 87 Cx Ebh Fl w+= 3 12 DCxx Ebh Fl w+= 2 3 6 由边界( )0=lw B ,( )0=lwwB得 3 2 12 Ebh Fl C =， 3 2 6 Ebh Fl D = ( )( )= 3 3 6 0 Ebh Fl wwA 6-9 图示外伸梁的弯曲刚度为EI，为使载荷作用点的挠度等于零，求载荷与 的关系。若要使 F C wF q0= C ，则与的关系又如何？ Fq (a) (b) (c) (d) (e) 解解 迭加法 图(a)=图(b)+图(c)=图(b)+图(d)+图(e) 222121 2 CCBCCC ww l www+=+= 22 2221 l w l BCB += 23 2 3 2 224 3 3 l EI l Fl EI l F l EI ql =0 848 34 = EI Fl EI ql 当qlF 6 1 =时，。 0= C w 88 2221121BCBCCC +=+=0 3 2 1 2 2 24 2 3 = = EI lFl EI l F EI ql 当qlF 7 1 =时，0= C 。 6-10 单位长度重为 q 的足够长的均质钢条，放置在刚性水平面上。若已知钢条的弯曲 刚度为 EI，一端伸出水平面的长度为 a，求钢条抬离水平面的长度 b。 (a) (b) 解解 不计轴力影响，由已知得 ,，0= B M0= B w0= B 0= B M，()0 2 1 2 =+baqbFCy,()( )+= 2 2 ba b q FCy 用迭加法求，查附录 C 表 0= C w ( )() CyCCC Fwqww+= ()() EI bF bbbaba EI qb Cy 3 46 24 3 2 2 2 += ()() () 0 6 46 24 2 2 2 2 2 = + += EI bbaq bbbaba EI qb 02 22 =ba ab2= 6-11 习题 5-7 中，求截面 A 端铅垂位移。 解解 ,，0= C M0= C w0= C ，0= C M 2 2 1 qaFa =， 2 qa F = 89 3 3 ql P F= （由习题 5-7） 23 qaql =,la 3 2 = ( )( )qwFww AAA += EI Fa EI Fa EI qa EI Fa 4383 3343 = ( )= = EI Fl EI lF EI Fa 81 2 12 3 2 12 3 3 3 EI Pl 243 2 3 = 6-12 弯曲刚度为EI的外伸梁受均布载荷如图。若梁跨度中点挠度为零，则外伸长度 应为多大？ a 解解 () ( ) + = 2 2alq FF CB ()() () 33 4 62 2 62 2 24 lax alq ax alq x q xEIEIwEIw AA + + + + += 由已知得 ，( )0=aw0 2 = + l aw，()0=+law 代入挠曲线奇异方程得 0 24 4 =+x q xEIEIw AA （a） () 0 212 2 2242 34 = + + + + lalql a ql aEIEIw AA （b） ()() () 0 12 2 24 3 4 = + +l alq la q laEIEIw AA （c） 式（b）-（a）得 () 0 96 2 224242 3 4 4 = + + + lalql a q a ql EI A （d） 式（c）-（a）得 () () 0 12 2 2424 3 4 4 = + + lalq la q a q lEI A （e） 式（d）2-（e）得 ， 22 524la =lla456. 0 24 5 = 6-13 矩形截面悬臂梁受力如图。已知材料的弹性模量E和许用应力，求满足强度 条件下的最大挠度。 90 解解 FlM= max = I Flhh I M 22 max max lh I F 2 = Eh l EI Fl w 3 2 3 23 max = 6-14 试用叠加法求组合梁截面 C 的挠度与截面 B 的转角。已知梁的弯曲刚度EI为常 量。 (a1) (a2) (a3) a 解解 由图（a1） ，aMFC e = 由附录 C 用迭加法（图 a2，a3） ()()()()() CCDDCCCC FwaMMwFwMww+=+= eee 222 () ( )=+ + = EI aM EI a a M a EI aM EI aM 33 2 2 2 2 2 e 3 e e 2 e ()0 3 1 3 e 2 e e =+= EI aM aEI aM M a w B C B 91 (b1) (b2) b 解解 图（b1） ， qaFC= 图（b2） ( )() ()() ( )=+= EI qa EI aqa EI aq Fwqww CCCC 3 14 3 2 8 2 4 32 () () EI qa EI aqa aEI qa qa a w B C B 6 17 6 22 2 1 3 14 2 2 3 2 4 =+=+=（逆） 变形如图(b2)所示。 6-15 试计算图(a)所示刚架截面 A 的水平与铅垂位移。已知刚架各段的横截面面积均为 A，弯曲刚度均为 EI。 (a) (b) 解解 叠加法，图(b) a EI hM EI Fa a EI Fa w B BAV +=+= 33 33 () ( ) + = += EI haFa a EI hFa EI Fa 3 3 3 23 ()= EI Fah EI hM ww B BHAH 22 22 *6-16 图示结构中，在截面A，D处承受一对等值、反向的力F，已知各段杆的EI均相等。试 按叠加法求A，D两截面间的相对位移。 92 解解 （逆） ，（顺） FlMB=FlMC= 叠加法 ( )()() CABAAAD MMF+= 2( )lF BA += 2 ( )()lMMF CBBA +=,2 EI Fl l EI lFl EI lFl EI Fl 3 5 633 2 33 = + +=（离开） 6-17 梁截面由工字钢制成， 若跨度m5=l， 力偶矩mkN5 1 =M， 许用应力 mkN10 2 =M MPa160=，弹性模量GPa200=E，许用挠度500lw =，试选择工字钢 型号。 解解 ,0= B MkN1 12 = = l MM FA 奇异函数法 321 62 x F x M xEIEIw A A += 由得 ( )0=lw () EI lMM A 6 2 21+ = 由此得 32121 626 2 x F x M lx MM EIw A + + = （a） 2 1 21 26 2 x F xMl MM wEI A + + = （b） 令，得 ( )0= x w m6637. 2=x 代入式（a）得 ()mN1051.23m6637. 2 3 =xEIw 500 1051.23 3 l EI w = 48 9 3 m101761 510200 1051.23500 = I 93 若选 16 号工字钢，其 48 m101301 =I m4010. 0 10130110200 1051.23 89 3 = = w %5%4 500 5 500 5 4010. 0 = = w ww 因此，可选 16 号工字钢。 （书上答案选 18 号工字钢，也可以，有点保守） 6-18 弯曲刚度为EI的梁如图， 为使梁的3个约束力相等， 求支座C与梁之间的空隙。 解解 支座约束力( )=qlFC 3 2 由迭加法得 ( )() ( ) ( ) ( )= =+= EI ql EI lql EI lq Fwqww CCCC 72 7 48 2 3 2 384 25 4 3 4 6-19 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于的正方形， ， m20. 0 kN/m40=qGPa10 1 =E；钢拉杆的横截面面积，。求 拉杆的伸长及梁中点沿铅垂方向的位移。 2 2 mm250=AGPa210 2 =E l 解解 拉杆受力 kN402 2 1 N =qF 拉杆伸长 m1028. 2 1025010210 310403 3 69 3 22 N = = = AE F l 梁中点铅垂位移 m1039. 7 20. 01010384 12210405 1014. 1 384 25 2 3 49 43 3 1 4 = += + = IE ql 6-20 图(a)所示示结构中，梁为 No.16 号工字钢；拉杆的截面为圆形，。两mm10=d 94 者均为钢，。求梁及拉杆内的最大正应力。 Q235GPa200=E (a) (b) 解解（1）记，设杆受拉力 F，则 m4=lm5 0 =l 由变形谐调得 0 0 34 38EA Fl EI Fl EI ql = F A IlFlql 0 0 34 38 = 83 4 0 0 3 ql F A Ill = +， 4 2 d A =， 48 m101301 =I 解得 kN5 .14=F 杆中 MPa185 1010 105 .144 4 62 3 2 0 max = = d F A F （2）图（b） 2 2 1 qxFxM= 0 d d =qxF x M ，m45. 1=x mN105 .1045. 1 2 1 45. 1 32 1max =qFM ，mkN22=MmkN22 max =M 梁中 MPa156 10141 1022 6 3 max = = W M 6-21 求图示各超静定梁的约束力（忽略轴力） 。设梁的弯曲刚