理论力学简明教程第二版陈世民答案.pdf

第零章 数学准备 一 泰勒展开式 1 二项式的展开 m 23 m m-1m m-1m-2 f x1x1mx+xx 23 ！ 2 一般函数的展开 23 000 0000 fxfxfx f xf xx-xx-xx-x 123! ！ 特别: 0 0x 时, 23 f0f0f0 f xf 0 123! xxx ！ 3 二元函数的展开(x=y=0 处) 00 ff f xyf 0x+y xy ， 222 22 000 22 1fff x2xy+y 2xx yy ！ 评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线 性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到 三阶以内。 二 常微分方程 1 一阶非齐次常微分方程： xx y+P y=Q 通解： P x dxP x dx yecQ x edx 注： , P x dx P x dxQ x edx 积分时不带任意常数， x Q可为 常数。 2 一个特殊二阶微分方程 2 yA yB 通解： 0 2 B y=Kcos Ax+ A 注： 0 ,K为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 x yaybyf 通解： * yyy；y为对应齐次方程的特解， * y为非齐次方程的 一个特解。 非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程 0yayby 设 x ye得特征方程 2 ab0。解出特解为 1 ， 2 。 *若 12 R则 1x 1 ye， 2x 2 ye； 12 xx 12 yc ec e *若 12 R则 1x 1 ye， 1x 2 yxe； 1x 12 ye(cxc ) *若 12 i则 x 1 yecosx ， x 2 yesinx ； x 12 ye(c cosxc sinx) （2） 若 2 000x fa xb xc为二次多项式 *b0时，可设 *2 yAxBxC *b0时，可设 *32 yAxBxCxD 注：以上 1 c, 2 c,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。 三 矢量 1 矢量的标积 xxyyzz A B=B A= A B cos =A B +A B +A B 注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积 nxyz xyz ijk AB=-(B A)= A B sin e =AAA BBB xyzyzxxzxyyx (A BA B )i(A BA B )j(A BA B )k 四 矩阵 此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。 111122133 211222233 311322333 a xa xa x0 a xa xa x0 a xa xa x0 令 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa *D=0 时，方程组有非零解 *D0 时，方程只有零解 第一章牛顿力学的基本定律 万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑 起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴 与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是 风光占尽。 【要点分析与总结】 1 质点运动的描述 （1）直线坐标系 rxiyjzk rxiyjzk arxiyjzk =+ =+ =+ rrr r rrr rr e ,e ,e ;e ,e ,e ;e ,e ,e . r r r r rrr rr rrr 矢量微分：矢量微分： r kr kr k kk de eee dt de eee dt de ee0 dt = = = r rrr ; ( ) 0 2 x x x dV 0 dx = 此时势能处极小处此时势能处极小处 m V 且能量满足且能量满足 M m VE0 0E VE + (2) 画出棒的瞬时转动中心的位置. 解：如右图所示建立坐标系xoy，依图知: 0 2 cos () sinsin A drr riii dt = rrr r 4 =可得： 1 arccos( ) 2 = 27 一对称陀螺， 质心离顶点的距离为l， 对顶点的主转动惯量为 * J， * J和 z J。若此陀螺对顶点作规则进动，进动角速度大小为 0 ，章动 角为 0 。求出陀螺的角速度在对称轴方向的分量. 解：因为是规则进动。有： 000 0,sinsin xy = q ,q ,q ;t) Q = Q (p ,pp ;q ,q ,q ;t) LL LL 正则变换的条件： * 1 1 (PQ )() (Q ) s s p dqdHH dt UUU dqddt qQt dU = = + =+ = 依上亦可得： * P U p q U Q U HH t = = = U为母函数，当P，Q，H不显含t时， 以上条件等于： 1 (PQ ) s p dqd = dU= 析析 ： 正则变换妙在不解方程而使问题出解正则变换妙在不解方程而使问题出解。“得意忘形得意忘形” 到极点了到极点了。 解题演示 1.一长为 0 l质量为m的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边 缘，一端置于碗内，如图。已知碗是光滑的，半径为r；棒在 碗 内的 长 度为l(2 )lr的光 滑球面上，弹性圈因自重而下滑。用虚功原理法语出平衡时弹 性绳圈对球心所张的角度为应满足的方程。 解： 易知： 绳伸长量 0 2sinxRl=以 O 为参照点， 高度为：coshR= Wmg hkx x=+ 00 sin(2sin) 2cosgl RkRlR= + 22 00 sin2sin22cos0 W gl RR kkRl = += 化简得： 00 2 sin2cossin0 2 lgl RRk = 5.一半径为R的半球形碗内装有两个质量分别为 1 m和 2 m的球 体，它们的半径同为r（2rR） 。用虚功原理求出这两个球体 在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角 解：如右图所示，以 o 为参照点，取 21 1 2 O OO=， 21 O O与水平线 角为。则有： 12 ()cos(),()cos() OO hRrhRr= = + 12 1212 ()sin()()sin() OO Wm g hm g hm g Rrm g Rr =+= + 则： 12 () sin()sin() W Rr g mm = + 1122 () tantantantan coscos 0 Rr g mmmm = = 代入 222 tan ()2 rr RrrRRr = 得： 12 12 tantan mm mm = + 12 2 12 () arctan ()2 mm r mmRRr = + 6.一轻杆长为2l，一端光滑铰链于固定点 O， 另一端点及中点 分别焊接有质量为m和m的小球。杆可在铅直平面内绕固定点 摆动。写出此力学 系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆 动时的周期。 解：以 O 为参照点，取杆与竖直方向夹角为。则有： 2222 cos(2 cos )(2)cos 114 222 mm Vmglmg lmm gl mm TJJl = + = + + =+= 2 2 ks Vmgx= +; 2 22 1 42 ks Tm r =+ q ,q ,q ;t)LL，存在 如下关系： ,;, GG p Gq G qp = = (1,2,3, )s=L 证明： （1） 1 ,()0 s ppGGGG pG qppqqq = = 得：, G p G q = （2） 1 ,() s qqGGG qG qppqq = = 得：, G q G p = 23. 证明一质点关于坐标原点的位矢r r ，动量p r 和角动量L r 的直 角坐标分量存在如下关系： y ,L xz=； z ,L xy= ； x ,L 0x= y ,L xz pp=； z ,L xy pp= ； x ,L 0 x p= xy L ,L z L=； xz L ,L y L= ： 2 x L ,L 0= 证明： xyzzyxzyx L=LLLrp=(yp -zp )(zp -xp )(xp -yp )ijkijk+=+ rrrrrrr rr 可得： xzyyxzzyx Lyp -zp ,Lzp -xp ,Lxp -yp= （1） yyy y , , LLL ,L () x y z x xx xz ppp = = zzz z , , xxx x , , LLL ,L () LLL ,L ()0 x y z x x y z x xx xy ppp xx x ppp = = = = （2） yyy y , , LLL ,L () xx xz x y z pp pp ppx = = = zzz z , , xxx x , , LLL ,L () LLL ,L ()0 xx xy x y z xx x x y z pp pp ppx pp p ppx = = = = （3） yy xx xy , , LL LL L ,L () x y z pp = = yy xx z LL LL L zy yx zppz xpyp = = = xzxz xz , , LLLL L ,L () x y z pp = = xzxz LLLL yy zx y yppy xpzp L = = = 2 xx L ,L 0,LL L= rr 2 xx L ,L L ,LL= rr xx xxyz zy yzzy L , L , 2L ,LLL 2(LL) 2(L LL L ) 0 LLLL Lijk Ljk =+ =+ = = = rrrr rrrr rrr 24. 试问变换,2Qq Pp=是正则变换吗？ 解：因为：,P UU p qQ = 则： P Q=Q=2(2) UUUUU pdqddqddqdqdqdU qQqqq += 即：是正则变换 25. 取母函数 1 ( ,)P s U q Pq = =，求出正则变换关系。 解： 111 (P )( ,) P sss qU q P p qq = = 111 (P )( ,) PP sss qU q P Qq = = 26. 试证变换 1 ln(sin),cotQp Pqp q =为一正则变换。 证明： 1 P Q=cot(ln(sin)pdqdpdqqpdp q 2 2 cos1 cot() sin (cot)cot cot sin ()( cot) (cot) p pdqqpdpdq pq pp dqqpdp q pdqqdppdqdp p d pqd qp d pqqp dU = =+ =+ =+ =+ = 27. 证明， 变换关系 1111 2222 (2 )cos,(2 )sinqQkP pQkP =为一正则变 换。 证明：依 11 22 2 () cos,(2) sin Q qP pQkP k =， 可得： 222 P Q=arctan() 2 ppk q pdqdpdqd kqk + 22 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 (arctan)()(arctan)() 22 1()1() (arctanarctan)() 222 ()arctan 2222 1 ()arctan 22 pq pppkpp kk pdqdddqd pp kkqkqkqkq kqkq ppkpkp dqq dpdq kkqkqkq pkpqp dqdpdq kkq pqpp dkq kkq dU =+ + = + = + =+ = 28. 质量为 m 的质点竖直上抛，写出质点运动的哈密顿函数。 利用母函数 3 1 () 6 UmggQxQ=+作正则变换，求解此质点的运动。 求解此质点的运动。其中x为质点上抛的