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1 第第 10 章章 结构的动力计算结构的动力计算习题解答习题解答 习题习题 10.1 是非判断题 (1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越 大。 （ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。 （ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。 （ ） (4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小 于其质点个数。 （ ） (5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。 （ ） (6) n 个自由度体系有 n 个自振周期，其中第一周期是最长的。 （ ） (7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能 用列幅值方程的方法求解。 （ ） 【解解】(1) 错误。体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所 决定。 (2) 错误。由阻尼结构的自振频率 2 r 1可知，阻尼增大使自振频率 减小，自振周期变长。 (3) 正确。 (4) 错误。由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而 与集中质量数目和超静定次数无关。 (5) 正确。 (6) 正确。 (7) 正确。 习题习题 10.2 填空题 (1) 单自由度体系运动方程为 2 P 2( )/yyyF tm，其中未考虑重力，这是 因为_。 (2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于_。 (3) 若要改变单自由度体系的自振周期，应从改变体系的_或 2 _着手。 (4) 若由式 2 1 1 求得的动力系数为负值，则表示_。 (5) 习题 10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与_平衡。 ck W F sint P 12-2(5)习题 图 习题 10.2(5)图 (6) 求习题 10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI常数)，其质量矩阵 M= _。 m m 2m 12-2(6)习题 图 m F sint P 12-2(7)习题 图 习题 10.2(6)图 习题 10.2(7)图 (7) 习题 10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI常数。已知=0.6 (为自 振频率)，其动力系数_。 m =2m 2 1 m =m y (t) 2 1 y (t) 12-2(8)习题 图 习题 10.2(8)图 (8) 已知习题 10.2(8)图所示体系的第一主振型为 (1) 1 2 Y ，利用主振型 的正交性可求得第二主振型 (2) =Y_。 (9) 习题 10.2(9)图所示对称体系的第一主振型 (1) =Y_， 第二主 振型 (2) =Y_。 mmEI aaaa 12-2(9)习题 图 3 习题 10.2(9)图 【解解】(1) 以重力 mg 作用时的静平衡位置为 y 坐标的起点。 (2) 初位移、初速度及体系的自振频率。 (3) 质量，刚度。 (4) 质点动位移的方向与简谐荷载方向相反。 (5) 阻尼力。 (6) 00 00 003 m m m 。 (7) 1.5625。根据公式 22 1 =1- 计算。 (8) 1 -0.25 。 (9) 1 -1 ， 1 1 。利用对称性。 习题习题 10.3 确定习题 10.3 图所示质点体系的动力自由度。除注明者外， 各受弯杆 EI常数，各链杆 EA常数。 EI EI0= (a)(b)(c)(d) 12-3习题 图 (a) (b) (c) (d) 习题 10.3 图 【解解】(a) 2；(b) 3；(c) 2；(d) 4，在两个质量上分别附加 2 个支杆。 习题习题 10.4 不考虑阻尼，列出习题 10.4 图所示体系的运动方程。 ll 1 k m m =EI0 l =EI0 m =EI0 l EI F cost P l m EI EI M(t) l (1) (2) (3) 习题 10.4 图 4 【解解】(1)用刚度法。设自由振动的任一时刻 t，刚性杆绕 B 点的转角为 ，此时体系受力情况如习题解 10.4(1)图所示。 1 k m m l l1k l B -lm m l2 l2 习题解 10.4(1)图 由0 B M 列动平衡方程得 1 -220mllmllk ll 化简得 22 1 50mlk l (2) 用刚度法。设质点 m 的位移 y 向右为正。先求体系的刚度系数 k11， 如习题解 10.4(2).(a)图所示。 = 6EI/l2 EI/l3 k1 1 1 12 6EI/l2 EI/l3 12 F P cost k1 1y -my (a) 1 M图及刚度系数 (b) 受力图 习题解 10.4(2)图 然后取质点连同横梁为隔离体，其受力图如习题解 10.4(2).(b)图所示。 由0 x F ，得 11Pcos 0k ymyFt 即 P 3 12 cos EI myyFt l (3) 用柔度法。绘 1 M图和 P M图，分别如习题解 10.4(3).(a)、(b)图所示。 由图乘法公式，得 32 111P 212211 233236 lll lllll EIEIEIEI ， 列位移方程 111P ( )ymyM t，整理得： 3 31 ( ) 24 EI yyM t mlml 5 1 l l 1 1 (a) 1 M图 (b) P M图 习题解 10.4(3)图 习题习题 10.5 求习题 10.5 图所示单自由度体系的自振频率。除注明者外， EI常数。k1为弹性支座的刚度系数。 m l/2l/2l m 2m2m = EIk13/4 (1) (2) m =EI/l3k1 /2l/2l EIEI 0EI= l m =EI/l3k1 (3) (4) l m m l l m ll l l (5) (6) 习题 10.5 图 【解解】 (1) 绘 1 M图， 如习题解 10.5(1)图所示。 则由图乘法公式， 得 3 11 5 48 l EI 则 3 11 148 = 5 EI mml 。 /2l /4l 1 12-5(a)习题解 图 习题解 10.5(1)图 (2) 在质点处施加竖向单位力，体系的位移图和 1 M图分别如习题解 10.5(2).(a)、(b)图所示。 6 1 1m m 0.5/k11 2 0.5 1 (a) 位移图 (b) 1 M图 习题解 10.5(2)图 由习题解 10.5(2).(a)图得 1 1 10.51 = 23kEI 由 1 M图得 1 2 2 4 = 3 M ds EIEI 故 1112 5 3EI ，则 11 13 5 EI mm (3) 使质点沿运动方向发生单位位移， 求刚度系数， 如习题解 10.5(3).(a)、 (b)图所示。 k1 1 k1 1 /2l3EI/ ( )3 1 k2 /2l3EI/ ( )2 (a) 刚度系数 (b) 1 M图 习题解 10.5(3)图 1 3 EI k l ， 2 33 348 2 / 2 EIEI k l l 则 1112 3 49EI kkk l ， 11 3 49kEI mml (4) 求刚度系数，画 1 M图，如习题解 10.5(4)图所示。 111 33 37 2 EIEI kk ll ， 11 3 7kEI mml 1 k1 1 l 3EI/ 2 l 3EI/ 2 k1 l 3EI/ 3 k1 习题解 10.5(4)图 1 M图 (5) 求柔度系数，绘 1 M图，如习题解 10.5(5)图所示。 7 1 l l 习题解 10.5(5)图 1 M图 3 11 2122 233 l lll EIEI ， 3 11 13 = 4 EI mml (6) 求柔度系数，绘单位力作用下的 P M图和基本体系 1 M图，如习题解 10.5(6).(a)、(b)图所示。 1 l l 4 /5 l 2 /5 l/5 1 l l (a) P M图 (b) 1 M图 习题解 10.5(6)图 由两图图乘公式，可知 3 11 8 15 l EI ，则 3 11 115 8 EI mml 习题习题 10.6 求习题 10.6(a)图所示体系的自振频率。除杆件 AB 外，其余 杆件为刚性杆。 m m EI0= EI0= l/2l l EI0= EI A B 2A2A A l6EIA/ 2 m2A m22A l6EIA/ 3 A B C D E m m (a) (b) 习题 10.6 图 【解解】 绘体系的位移幅值图及相应的受力图如习题解 10.6(b)图所示。 体 系为两个质点的单自由度体系，可通过列幅值方程求。 沿柱 AB 的顶部切取 BCDE 为隔离体，由0 D M得 22 3 6 20 2 lEIA mAmA ll l 8 得 3 12 5 EI ml 习题习题 10.7 求习题 10.7 图所示体系的自振周期。 m l EI0= EIEI l l m EI EI 4m4m4m4m EA EA EA EIEI m 6m (a)(b) (c) 12-7习题 图 (1) (2) 4m4m4m4m EA EA EA EIEI m 3m (3) 习题 10.7 图 【解解】(1) 求刚度系数，绘体系发生单位水平位移时的 1 M图，如习题解 10.7(1)图所示。则 11 333 12315EIEIEI k lll ， 3 11 2 22 15 mml T kEI l=15EI/ 3 1k11 l6EI/ 2 l3EI/ 2 l3EI/ 3 l12EI/ 3 习题解 10.7(1)图 1 M图 (2) 求柔度系数，绘单位力作用下的 P M图和基本体系 1 M图，如习题解 10.7(2)图所示。 1 l l l/2 1 l l (a) P M图 (b) 1 M图 习题解 10.7(2)图 9 由图乘法公式，可知 3 11 112117 () 232412 l lllllll EIEI 则 3 11 27 22 12 ml Tm EI (3) 绘体系在竖向单位力作用下的 1 M图及 N1 F图，如习题解 10.7(3)图所 示。 1 0.5 0.5 -2 22 5/35/3 12-7(c)习题解 图 习题解 10.7(3)图 1 M图和 N1 F图 则 22 11 11 643581138 393 MN dsl EIEAEIEAEI 11 1138 22 3 m Tm EI 习题习题 10.8 某单质点单自由度体系由初位移 y0=2cm 产生自由振动， 经过 八个周期后测得振幅为 0.2cm，试求阻尼比及在质点上作用简谐荷载发生共 振时的动力系数。 【解解】阻尼比 0 112 lnln0.046 2280.2 n y ny 共振时 11 10.9 220.046 习题习题 10.9 求习题 10.9(a)图所示梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图和质 点的振幅。已知：质点的重量 172 P 24.5kN10kN52.3s3.2 10 N mWFEI ，。不计梁 的重量和阻尼。 4m2m EI W F sint P (a) 10 1 2m F P 28.2kN.m (b) 1 M图 (c) d.max M图 习题 10.9 图 【解解】在质点处施加竖向单位力，绘 1 M图，如习题 10.9(b)图所示。由 1 M 图求得 11 112128 422222 2323EIEI 则 7 1 3 11 9.83.2 10 40s 24.5 108 g W 22 22 11 1.41 52.3 11 40 梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图如习题 10.9(c)图所示。 质点最大动位 移为 33 max11P 7 8 1.4110 103.525 10 m 3.2 10 yF 习题习题 10.10 求习题 10.10(a)图所示刚架稳态振动时的最大动力弯矩图和 质点的振幅。已知： 42 P 4 2.5kN2.8 10 kN m 3 FEI，。不考虑阻尼。 EI EI F cost P 3m 5m 1 5m 5m 7.5kN 37.5kN.m 37.5kN.m (a) (b) 1 M图 (c) d.max M图 习题 10.10 图 【解解】在质点处施加水平单位力，绘 1 M图，如习题 10.10(b)图所示。 由 1 M图求得 11 11212200 5 553 55 23233EIEI 11 2 2 11 3 4 1 1 3 P11 4 200 3 2.50.0179m 3 2.8 10 AF 则刚架稳态振动时动力幅值为 P=7.5kN F，其最大动力弯矩图如习题 10.10(c) 图所示。 习题习题 10.11 习题 10.2(5)图中， 一个重量 W = 500N 的重物悬挂在刚度 k = 4103N/m 的弹簧上，假定它在简谐力 FPsin（FP=50N）作用下作竖向振动， 已知阻尼系数 c = 50N s/m。试求：(1) 发生共振时的频率；(2) 共振时的振 幅；(3) 共振时的相位差。 【解解】(1) 共振时 3 111 4 109.8 8.85s 500 kkg mW (2) 3P st 3 50 12.5 10m 4 10 F y k 50 9.8 0.0554 222 500 8.85 ccg mW 11 9.025 220.0554 振幅 33 st 9.025 12.5 10112.8 10mAy (3) 22 2 tan 故 2 习题习题 10.12 在习题 10.9(a)图所示梁的质点上受到竖直向下的突加荷载 P( ) 20kNF t 作用，求质点的最大动位移值。 【解解】对于突加常量荷载有2，所以质点的最大动位移值为 3 maxstP11 7 8 220 100.01m 3.2 10 yyF 习题习题 10.13 求习题 10.13(a)图所示单自由度体系作无阻尼强迫振动时质 点的振幅。已知 3 24EI ml。 sint q(t)=q m EI /2l/2l 1 /4l 12 (a) (b) 1 M图 1 /8l2 q A m 2A (c) P M图 (d) 幅值法 习题 10.13 图 【解解】绘 1 M图和 P M图，分别如习题 10.13(b)、(c)图所示。计算柔度系数 3 11 212 2243448 llll EIEI ， 24 1P 2255 32884384 llll EIEI 将荷载幅值 q 和惯性力幅值 m2A 加在体系上，如习题 10.13(d)图所示， 列位移幅值方程 2 111P AmAq 则 4 1P 2 11 5 1192 qql A mEI 习题习题 10.14 求习题 10.14 图所示体系的自振频率和主振型，绘出主振型 图。 /2l/2l l m EI EI m m EIEI EI ll l l EA= EI m =2m 1 m =m m =2m 2 1 m =m k = l 3EI/ 3 4m4m 3m m EA=常数 m =m 2 m =m m =2m 1 m =2m 1 0EI= 0EI= EI EI EI EI ll (1)(2) (3) (4) (5) 习题 10.14 图 13 【解解】(1) 绘 1 M图和 2 M图，分别如习题解 10.14(1).(a)、(b)图所示。 1 1 l l /4l 1 M(1) 图 2 M(2) 图 12-14(a)习题解 图 (a) 1 M图 (b) 2 M图 习题解 10.14(1)图 计算柔度系数 3 11 3 22 3 1221 212 2243448 2122 233 11 24216 llll EIEI l lll EIEI lll l EIEI 代入公式 2 1,21112221112221122122112 11 ()()4() 22 mmmmm m 得 3 1 0.6727 ml EI ， 3 2 0.0148 ml EI 自振频率 1 3 1 1 1.2192 EI ml ， 2 3 2 1 8.2199 EI ml 主振型 (1) 1 Y= 10.429 ， (2) 1 = 0.096 Y (2) 绘体系在水平单位力作用下的 1 M图和竖向单位力作用下的 2 M图，分 别如习题解 10.14(2).(a)、(b)图所示。 1 1 l l l 1 M(1) 图 2 M(2) 图 12-14(b)习题解 图 (a) 1 M图 (b) 2 M图 习题解 10.14(2)图 计算柔度系数 3 11 2 3 l EI ， 3 22 2 3 l EI ， 3 1221 1 12 233 l lll EIEI 14 又有 1 2mm 2 mm 代入公式 2 1,21112221112221122122112 11 ()()4() 22 mmmmm m 得 33 1 3 (1)1.577 3 mlml EIEI ， 33 2 3 (1)0.423 3 mlml EIEI 自振频率 1 3 1 1 0.796 EI ml ， 2 3 2 1 1.538 EI ml 主振型 (1) 1 = -0.731 Y ， (2) 1 = 2.731 Y (3) 绘体系发生单位位移时的 1 M图和 2 M图，分别如习题解 10.14(3).(a)、 (b)图所示。 k = k 11 k =-k 12 k =-k 21 k =k 22 1 1 k k l3EI/ 2 l3EI/ 3 2 m 1 m 2 1 m m 1 m 2 1 m (a) 1 M图 (b) 2 M图 习题解 10.14(3)图 计算刚度系数 11 3 6 2 EI kk l ， 22 kk， 1221 kkk 将所求的刚度系数代入公式 2 21122112211221221 1,2 121212 11 22 kkkkk kk k mmmmm m 得 1 33 (63 2) 0.9374 2 EIEI mlml ， 2 33 (63 2) 2.2630 2 EIEI mlml 主振型 ( 1 ) 1 = 1 . 4 1 4 2 Y ， (2) 1 = -1.4142 Y (4) 绘体系在水平单位力作用下的 N1 F图和竖向单位力作用下的 N2 F图，分 别如习题解 10.14(4).(a)、(b)图所示。 15 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -2/3-2/3 -1 2.5/3 1 N 2 N(1) (2) 图 图 12-14(d)习题解 图 2.5/3 (a) N1 F图 (b) N2 F图 习题解 10.14(4)图 计算柔度系数 2 N1N1N2 111221 22 2 2 N2 22 4128 14 33 122.513.5 425213 33 FFF ll EAEAEAEAEA F l EAEAEA 代入公式 2 1,21112221112221122122112 11 ()()4() 22 mmmmm m 得 1 14.1974m EA ， 2 3.3027m EA 自振频率 1 1 1 0.2654 EA m 2 2 1 0.5503 EA m 主振型 (1) 1 = 3.8240 Y ， (2) 1 = 0.2615 Y (5) 绘体系发生单位位移时的 1 M图和 2 M图，分别如习题解 10.14(5).(a)、 (b)图所示。 l6EI/ 2 1 k1 2 k1 1 1k22 k2 1 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 l6EI/ 2 1 M(1) 图 2 M(2) 图 12-14(e)习题解 图 (a) 1 M图 (b) 2 M图 习题解 10.14(5)图 计算刚度系数 11 33 1248 4 EIEI k ll 22 33 1224 2 EIEI k ll ， 1221 33 1224 2 EIEI kk ll 令 3 24EI k l ，则有 11 2kk， 22 kk， 1221 kkk ，将所求的刚度系数代入公式 16 2 21122112211221221 1,2 121212 11 22 kkkkk kk k mmmmm m 得 2 1,2 3 22 24 (1)(1) 22 kEI mml 即 1 3 2.6513 EI ml ， 2 3 6.4008 EI ml 主振型 (1) 1 = 1.4142 Y ， (2) 1 = -1.4142 Y 习题习题 10.15 习题 10.15 图所示两层刚架的楼面质量分别为 1 120 tm 、 2 100tm ，柱的质量已集中于楼面；柱的线刚度分别为 12 20MN m14MN mii，横 梁的刚度为无限大。在二层楼面处沿水平方向作用简谐干扰力 Psin Ft，已知 1 p 5kN,15.71sF 。试求第一、第二层楼面处的振幅值和柱端弯矩的幅值。 F sint P 4m 4m m 1 m 2m i 2 i 2 i 1i 1 习题 10.15 图 【解解】本题采用刚度法，先求振幅。 刚度系数 11 51MN/ mk， 22 21MN/ mk， 1221 21MN/ mkk P1 0F， P2 5kNF 代入求振幅的方程式 2 1111122P1 2 2112222P2 () () kmAk AF k AkmAF 解得 3 1 0.202 10mA ， 3 2 0.206 10mA 再求柱端弯矩幅值 一层： 6 331 11 6620 10 0.202 106.06 10 N m 4 i M l 二层： 6 332 22 66 14 10 (0.2060.202) 100.084 10 N m 4 i M l 习题习题 10.16 已知习题 10.15 图所示刚架的自振频率 1 1 9.9s ， 1 2 23.2s ， 主振型 T (1) 1.00 1.87Y、 T (2) 1.000.64Y。用振型分解法重做习题 10.15。 17 【解解】主振型矩阵 1 1 1.87 0.64 Y ，质量矩阵 3 3 0 120 10 0 100 10 M 广义质量 3 T (1)(1)5 1 3 01 120 10 1 1.874.697 10 1.87 0100 10 MYMY 3 T (2)(2)5 2 3 01 120 10 10.641.610 10 0.64 0100 10 MYMY 广义荷载 T (1) 1P P 0 ( )( )1 1.879350sin(N) sin F tYF tt Ft T (2) 2P P 0 ( )( )10.643200sin(N) sin F tYF tt Ft 广义坐标 21 111 1 ( ) ( )( ) F t tt M 由式 22 i i ii F t t M 得(也可用杜哈梅积分) 51 1 22522 11 ( )9350sin ( )13.3784 10sin ()4.697 10 (9.915.71 ) F tt tt M 同理 52 2 22522 22 ( )3200sin ( )6.8199 10sin ()1.610 10 (23.215.71 ) F tt tt M 则质点动位移为 153 2 1 113.37840.202 ( ) 10sin10sin 6.81990.2061.870.64 y Yttt y 振幅 3 1 0.202 10mA ， 3 2 0.206