含时滞非线性方程的孤立波解研究开题报告.ppt

含时滞非线性Schrdinger方程 的孤立波解研究,答辩人：赵芳 专业：13级应用数学 指导教师：化存才,2,选题的目的及意义 相关研究综述 论文主要研究内容 总结与展望 致谢,贵州师范学院学院 2009级数本1班 蒋庆林,论文提纲,3,选题目的和意义,非线性薛定谔方程(Schrdinger)最早是用来描述强光在光纤中的传播的偏微分方程模型。经过几十年的研究发展，非线性薛定谔方程已经成为物理学中的一个重要模型，它可以用于描述许许多多物理过程，它们的演变的过程满足非线性Schrdinger方程。然而，随着学者们对含时滞微分方程认识的加深，含时滞的非线性Schrdinger方程逐渐进入许多学者的研究范围。在非线性Schrdinger方程中包含非线性效应，耗散效应，频散作用效应，由于耗散过程中具有时滞或者记忆作用的特征，所以要计及这种时滞或记忆作用，方程中的某一项或某几项就需要考虑含有时滞，于是就产生了含时滞非线性Schrdinger方程的研究。,4,论文章节介绍,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程 的孤立波解,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的 孤立波解的深入讨论,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的 孤立波解,5,以麦克斯韦和罗伦慈为代表的电磁理论认为光是电磁波，具有波粒二重性现象，在这个理论基础上推断，光孤子在光纤中的传播也应当符合麦克斯韦方程组，则可以得到广义的非线性薛定谔方程如下：,由于在经典的非线性Schrdinger方程中包含非线性效应， 耗散效应，频散作用效应等，而耗散过程具有时滞或者 记忆作用的特征，故要计及这种时滞或记忆作用 ，就应当在方程中的某一项或某几项就考虑 含有时滞，这就产生了含有时滞非线 性Schrdinger方程的研究。,6,F-展开法 第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程及其波包变换 F-展开法的应用 本章小结,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,7,F-展开法,F-展开法就是把非线性方程化为椭圆函数F的整数次幂的齐次方程，然后再在合并F的同幂次项的基础上，令各项的系数为零，由此确定出孤立波解中各个系数的值。,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,8,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程及其波包变换,考虑如下形式含一个时滞项的三次非线性Schrdinger方程 ： 取如下形式的波包变换 ： 令 于是整理得到如下的(a),(b)两式：,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,9,F-展开法的应用,为简化方程，令 ，代入(a)和(b)两式，经整理后得到： 设 具有如下形式的行波解： 代入 得 观察发现，上式第二个方程中只含有时间这一变量， 因此所求的结果应是关于一系列时间点的值，则主 要求解上式中的第一个方程。,10,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,根据F展开法，第一个方程的解为：,11,根据 展开法中 的值与雅各比椭圆函数 之间的关系，可以得出第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解有六组，其中一组为:,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,12,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,同理，可得出其他五组解。,13,小结,在本章中，我们对 情况研究第一类含时滞的非线性Schrdinger方程(2.4)，成功地应用F-展开法求出了6个孤立波解我们发现，对于含时滞的非线性Schrdinger方程而言，在求解过程中，为了将时滞 从 中提出，我们作了适当地假设化简，即令 。需要指出的是，本文是首次尝试将F-展开法应用于含时滞的非线性Schrdinger方程，因此所得到的孤立波解是全新的。,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,14,F-展开法的再应用 本章小结,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,15,F-展开法的再应用 在上一章中，我们已通过波包变换对含时滞的三阶非线性Schrdinger方程的求解转化为求解(a)和(b)两式.为了方便求解，在求解过程中，是通过假设 来化简(a)和(b)两式。在这里，当取 时，实际上也可将(a)和(b)两式进行简化。在本章中将主要通过假设 来深入求解第2章中的第一类含时滞非线性Schrdinger方程。,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,16,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,F-展开法的再应用,为简化方程，令 ，则第2章中的(a)，(b)两式可整理为如下结果： 令 有如下形式的行波解 由于时滞项出现在第一个方程中，故我们可以先 将第二个方程的解表示出来，再代入第一个方程 中找出同时满足和的解的条件，下面就先讨论第 二个方程的解。,17,F-展开法的再应用,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,根据F-展开法，第二个方程的孤立波解为： 代入第一个方程中可得当 时的第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解：,18,F-展开法的再应用,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,类似于第2章，下面分几种情形进行讨论。 根据F-展开法中的 值与雅各比椭圆函数之间的关系，可以获得当 时第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的六组解.其中一组解如下：,19,F-展开法的再应用,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,20,本章小结,第一类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解的 深入讨论,在本章中，我们主要在 的情况下深入地讨论了第一类含时滞的非线性Schrdinger方程的孤立波解，应用F-展开法求出了6组孤立波解在求解的过程中，当 时，因为化简(a)(b)两式中有一个方程依然含有 这一项，所以我们考虑从不含有时滞项的方程入手，求出孤立波解，最后再将所求出的解代入含有时滞项的方程，找出同时满足两个方程的解。我们得到的解是关于一条时间函数的孤立波解。,21,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解及其波包变换 F-展开法的应用 本章小结,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,22,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解及其波包变换,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,在本章中考虑如下形式的含时滞的非线性Schrdinger方程： 对上式作如下形式的波包变换 令 整理得如下（a）,（b）两式：,23,F-展开法,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,现在为简化方程(a)和(b)，令 ，代入(a)和(b)，可整理得到如下方程： 设 有如下形式的行波解 代入上式得 上式的第二个方程中只含有时间 这一变量，因此 所求结果应是关于一系列时间点的值，下面主要求 解第一个方程。,24,F-展开法的应用,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,根据F-展开法第一个方程的一组形式解为：,25,F-展开法的应用,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,根据F-展开法中 的值与雅各比椭圆函数之间的关系，可以的到六组解，其中一组解为：,26,F-展开法的应用,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,则第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的一个孤立波解为：,27,F-展开法的应用,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,28,本章小结,第二类含时滞三次非线性Schrdinger方程的孤立波解,在本章中，我们主要在 的情况下研究了含一正一负两项时滞的三次Schrdinger方程的孤立波解，成功地应用F-展开法求出了(4.1)的6组孤立波解在求解过程中，为了将时滞 从 中提出，我们找到了假设 来化简.,29,总结与展望,本文运用F-展开法求解两个含有时滞的非线性薛定谔方程，成功地获得了它们的孤立波解。 首先，根据前人做出的成果，借鉴分析了求解非线性薛定谔方程的孤立波的方法和条件，发现要解决时滞的非线性薛定谔方程的孤立波解的问题，就是要将时滞的转化为不含时滞项的方程来解。 然后，将F-展开法应用于含时滞的非线性薛定谔方程中，通过对方程做出假设，是求解的到了大大的简化，求解过程中获得的方程组求得了几组解，获得了该方程的全新孤立波解.根据两种假设得到了两种形式的解，一种是关于时间点的孤立波解，另一种是关于时间函数的孤立波解。,30,总结与展望,根据我们研究中遇到的问题，下面提出如下有待于进一步研究的问题： （1）、对于含时滞的非线性薛定谔方程，对求解过程中获得方程组仅能求