机械类高等数学电子教案07第七章定积分.ppt

第七章 定 积 分,第一节 定积分概念,第二节 定积分的性质,第三节 微积分基本公式,第四节 定积分的分部积分公式,第五节 定积分的换元积分法,第六节 广义积分,第七章 定 积 分,本章中将讨论积分学的另一个基本问题定积分问题我们先从几何问题与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法关于定积分的应用，将在第八章讨论,第一节 定积分概念,本节通过两个实例的分析，给出定积分的定义，指出定积分的几何意义,一、两个实例,引例 曲边梯形的面积,根据以上分析，曲边梯形面积可按如下四个步骤求得：,动画演示,它们的长度依次为,可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限,引例 变速直线运动的路程.,我们知道，对于等速直线运动，有公式：,路程=速度时间,具体计算步骤如下：,各个小段时间的长记为,相应地，在各段时间内物体经过的路程为,可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限,二、定积分的定义,根据定积分的定义，前面两个例子可以分别写成定积分的形式如下：,三、定积分的几何意义,或,图7.3,a,b,图7.4,a,b,总之，定积分的几何意义是其值是曲边梯形面积的代数和,例7.1 用定积分表示图中阴影部分的面积,思考题7.1,练习题7.1,1利用定积分的几何意义说明下列各式成立.,1,2,2利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正还是负（不必计算）.,1,2,第二节 定积分的性质,这一节我们讨论定积分的性质和如何利用定积分的几何意义来计算函数的定积分,一、定积分的性质,下列各性质中积分上、下限的大小，如不特别指明，均不加限制；其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积.,性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和（差），即,证,注：这个性质可以推广到有限多个函数的情形,性质2 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前面，即,再由性质，便得要证的不等式,注：这个性质说明，若比较两个定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可,证 因为,所以由推论和性质可得,即,这个公式叫做积分中值公式.,动画演示,二、利用定积分的几何意义计算定积分,图7.7,1,1,思考题7.2,1.利用定积分性质,确定下列积分的符号:,(1),(2),2.利用定积分的几何意义求下列定积分:,(1),(2),(3),练习题7.2,第三节 微积分基本公式,应用定积分的定义去计算定积分，尽管被积函数很简单，也是一件比较困难的事所以，需要寻找简便而有效的方法这就是牛顿莱布尼茨公式.,一、变上限定积分,变上限定积分有下面重要性质：,二、牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,引例 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系,下面我们给出定积分的计算公式：牛顿莱布尼茨公式.,即,解,解,思考题7.3,练习题7.3,3.计算下列定积分：,第四节 定积分的分部积分公式,我们在学习了微积分基本公式的基础上，本节讨论定积分的分部积分法和分段函数的定积分的解法,一、定积分的分部积分公式,由上一章知道，不定积分的分部积分公式是,于是,简记为,或,这就是定积分的分部积分公式,注：定积分的分部积分公式的应用原则和所适用的积分类型类似于不定积分,解,解,解,二、分段函数的定积分,我们在定积分的计算中，有时会遇到分段函数的定积分，对于这类定积分的计算，关键是根据被积函数在积分区间上的不同表达式和定积分的迭加性质把定积分分成两个或更多个积分和的形式，然后进行计算,解,解,解,思考题7.4,练习题7.4,1求下列各定积分：,求下列各定积分：,第五节 定积分的换元积分法,一、定积分的换元积分法,其次应用牛顿莱布尼茨公式得,显然，这样的计算过程太麻烦，如果能把两个过程合在一起就简便多了为此，我们给出下面的定理,于是,于是,于是,二、奇（偶）函数定积分,从而,请读者仿照偶函数的证明方法自己证明,注：这两个结论可以当作公式使用,图7.9给出了奇偶函数在对称区间上定积分的几何意义.,图7.9,思考题7.5,1用换元积分法求定积分时应注意什么？,练习题7.5,1求下列各定积分：,2利用函数的奇偶性，计算下列积分：,第六节 广义积分,一、积分区间为无穷区间的广义积分,图7.10,即,二、无界函数的广义积分,存在，则定义,都收敛,则定义,由于右