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Optical design using computer graphics使用计算机绘图之光学设计Optical design using computer graphicsJoseph M. Howard原著 近十年来，计算机已经成为光学设计的主要工具。典型的工作包括完成光线追迹（ray tracing）、分析和系统描绘所绘制图形等的数值计算。当机器随着每个新时代的来临而变得愈来愈快时，对于特殊设计工作的时间需求将大大地减少，且允许多任务操作，但却很少有明显的延迟产生。这让设计者可以修改一个系统，然后以单一操作即可直接看到图形描绘的结果。各类视觉的设计方法将在此提出讨论，诸如系统绘图、关于实时（real time）产生的特性图（plots）和允许光学设计者根据图片来完成设计等。举出三个范例：1.设计一个简单的显微镜物镜（microscope objective）的教育个别指导（tutorial）；2.由三个非球面反射镜所组成的未摭档反射式望远镜（telescope）；3.有易进入瞳（accessible pupil）的修改式Offner转送（relay）。 2001 Optical Society of AmericaOCIS codes: 080.2740, 220.3620, 220.4830, 350.4600.I. 简介（Introduction） 基本物镜之光学设计是以找寻满足且结合既定应用需求的最佳系统为基础。许多因素可以决定出最佳系统，但典型上它们含有一阶（first-order）成像性质，包括照速（speed）、视野（field of view）和高阶像差（aberrations）。常用的标准为描述在出瞳（exit pupil）上的波前误差（wave-front error）之平均数或在成像面上的几何光点大小（geometrical spot size）之平均数的绩效数字（figure of merit）。然而，其它设计的标准可能是较难去量化的。考虑光学仪器的包装时，即，个别光学组件的大小与位置是与整个系统中的其它组件有关。通常，超出光学表面的一些外部知识对于完成此类的评估是必须的。在太空光学的应用中，包装限制常常造成关键性的争议，例如，许多在宇宙飞船上的仪器和子系统需挑战空间的限制。 本体的摭挡（self-obstruction）是另外一种型式的包装限制，而且当在设计反射系统时，它的移动常是一种挑战。对于这些争议和其它很难去量化的标准，提供初始评估的最简单方法就是靠着实际观察系统本身的绘图，然后让经验指导设计者。这篇论文讨论这个可视化的设计过程，在设计过程中，系统经修改之后，图形实时显示出来帮助设计者决定手边的应用成为最佳系统。在此提出的方法是使用接下来的设计范例。首先，定义成像的条件与应用一致，例如照速和视野。然后选择一般种类的系统。这个选择建构了许多的组件，不论它们是反射的或折射的（或两者皆是）；它们的玻璃类型（假如合用的）；且无论非球面（aspheres），绕射表面（diffractive surfaces），或甚至全像组件（holographic elements）将拿来使用。一个选定种类的系统范例为由三个球面反射镜所组成的望远镜。在这些大范围项目已确定之后，于个别结构参数上的限制也已决定，以确保一些或所有定义的成像条件是符合的。这些限制减少可利用的自由度（degrees of freedom），以达成更有效率的搜寻。最后，一个详细的研究开始着手。这些反复的过程由决定系统中所有的结构参数开始（变量和限制皆是），例如曲率、表面间隔和有关任何非球形或非常规组件的参数。系统依据一些误差函数（又称绩变函数）来做数值分析，且描绘出一个系统图形和其它绘图。然后设计者评估可视化的图形，并察看既定应用的系统是否为最佳的。假如不是，使用一个新的结构参数设定然后重复步骤直到找到最佳系统（或足够好的系统）。对于这个设计范例的效率有一个必备要素就是减少限制参数的数目尽可能到最小。对于旋转对称的系统有些标准方法或技巧可典型地使用。这些包括放置一个“solve”于成像面的特殊曲率或厚度上，在（或至少接近）近轴（paraxial）成像的位置上时，或要求一个渴望的放大率（magnification）或焦距长（focal length）时。注意，当一个自由度时，一个参数放一个solve对设计者并非常常有用的。进阶的技巧包括任由变量去消除一些高阶像差的合成（例如，选择一个非球面的系数去消除球差）。总结，限制一些系统参数的基本设定是为了确保得到合适的一阶（和可能的高阶）成像性质所给定的设定。这有效的防止之前考虑过的任何有成像性质之错误设定的系统，然后随着设计者所遭遇到的去减少自由度。成像限制也允许设计者对于相同成像性质的新系统探索邻近的结构间隔。一旦自由度的数目减至最小，许多的搜寻方法能够找到最佳系统。最彻底的方法是在所有可用的变量上执行一个系统的全域搜寻（global search）。1第二个且费时较少的近似方法为考虑一个先前认知的系统，然后局部的修改结构间隔以符合目前的需求。为了便于表达，故在此提出的范例仅采用第二个近似的方法。注意，在使用这个设计范例的一个基本假设为，依据一些标准数值误差函数的一个优化系统（optimized system）可能不是最令人满意的。这常是有包装限制的系统或其它考量的例子而没有在误差函数中去特别计算。就本身而言，设计者应包括在优化过程中，直到图形实时的返回和数据表现随着改变系统输入参数而有最小必须的移动。当考虑到有效率的观察和开发设计本身的控制时，这个由反复使用设计软件的细节而自动免除设计者。提出三个例子。第一个例子在第二节中，考虑旋转对称且由两个消色差的双合透镜（achromatic doublets）所组成的显微镜物镜。在第三节的第二个例子中，研究一个由三个球面反射镜所组成的未摭挡望远镜，而在第四节中，修改一个单位放大转送（unit magnification relay）。结尾评论在第五节提出。在本篇论文中提出的宏(macro)程序是由OSLO2透镜设计软件所写。在每个范例中，自由度被分配到一个称之为滑动装置（slider）的图形使用接口。藉由移动滑动装置到右边和到左边来修改设计参数，同时也将分别增加和减少各参数的值。在每个滑动装置移动之后，执行一个返回（callback）程序，将自动更新系统，然后图形输出。在这篇论文中所验证的一个宏复制可以经由联繋创始者而得到。II. 显微镜物镜（Microscope Objective）这个附有宏的学生练习是由B. D. Stone所开发，当成几何光学暑期课程的教育工具。3它使用两消色差双合透镜来描述一个显微镜物镜的设计和分析。练习的目标之一在藉由实际透镜设计软件的使用，赋与学生设计一个光学系统的直观能力，但不必学习很多关于使用软件本身细节的重担。在2.A小节中，依据之前描述的范例提出设计问题。随后，在2.B小节中，为学生练习之一的说明和讨论。A.产生成像限制指定显微镜物镜有随后的需求：管长200mm，放大率10.0，物大小1mm，和物空间的数值孔径（numerical aperture, N.A.）0.25。典型上设计显微镜物镜时，系统是反向设计的（即，物和像平面是互换的）。这些需求等效于一个焦距长20mm，或总屈光率（power）0.05的系统。选择系统的等级为一个由两个胶合的消色差双合透镜所组成的物镜，使用BK7和SF5的玻璃（每个依前列顺序排列）。就本身而言，对于设计者来说，这个系统最初出现14个自由度：光栏（stop）、双合透镜，和成像的位置；三个曲率和结合每个双合透镜的两个厚度。建入四个限制到系统中，以确保符合成像需求和减少自由度的总数。限制总结如下（细节可以在Ref.3找到）。首先，双合透镜之一的曲光率是可以指定的，无论其它双合透镜的曲光率是否变化以确保物镜的总曲光率固定。每个双合透镜的曲光率（无论选择或决定），藉由限制在双合透镜中的单一个曲率来确保，这个消去一个自由度。其次，藉由限制在每个双合透镜中的一个额外的曲率以确保它是消色差的（即，有零纵向颜色（longitudinal color），其消去两个自由度。最后，既然系统的管长和放大率依设计需求来给定，所以物镜的前焦点也是固定的。这个决定物镜本身的实际位置，因此限制介于物和系统第一个表面间的空间厚度。因此剩下十个自由度：每个双合透镜中第一个表面的曲率、在双合透镜中每个玻璃的厚度（总计四个）、第一个双合透镜的曲光率、介于双合透镜间的间隔、光字段置、从近轴成像位置的失焦（defocus）数量。图1.一个消色差（achromatic）显微镜物镜的滑动装置（sliders）、系统绘图和横向的光线像差图（transverse ray-averration plots）。当滑动装置移动时，系统绘图和像差图将自动更新（updated）。B.计算机图形的优化使用宏，学生能够调整可利用的自由结构参数和设计规格，例如系统放大率、评估的波长范围，和描述光点图（spot diagrams）或横向光线误差图（transverse ray-error plots）的选择。藉由移动描述在图1.的滑动装置组合，将改变每一个参数。这个行动跑出一个返回程序，即自动地重新计算系统的限制参数，然后更新系统的描绘和绘图。注意，透镜设计软件操作的细节是嵌入于宏语言中，使学生仅以简单的点击来操作，让他们全神贯注于手边的课程上。在一个练习中，学生开始着手于显示在图1.中的系统，然后藉由改变第一个双合透镜中第一个表面的曲率来完成必须找到的最佳系统（即，从上面移四个滑动装置）。假如有帮助的，然后加上失焦（defocus）。在每一个滑动装置值的改变之后，系统描绘和横向光线误差图将会更新，实时的显示给使用者，什么样的改变影响系统的效能。图2.是这个练习的静态描述，显示四个横向光线误差图：前三个为每一个曲率的改变之后，而第四个为加入一些失焦。注意，在绘图3.和绘图4.中有较小的刻度。上面所述的，这个教学工具的一个重大的优点就是学生不需要熟悉透镜设计程序和要求输入一个透镜且产生图的所有指令。所有需要的是开始着手于程序和宏程序的教学，然后是如何操作滑动装置。藉由描述光学系统的效能如何在一个动态的、相互作用的环境中改变，因此重点放在揭示透镜设计的观念上。注意，移动图片的额外尺寸强调这些改变倾向于比做一个个别绘图的滑动显示还要容易，例如，在静态期刊论文中的那些描述在此。虽然仅一个单一参数的图形优化显示这里，许多其它透镜设计和几何光学观念可以教育工具来教导，例如上述的例子。最后，学生的回答是非常正确的。图2. 显微镜物镜的计算机图形优化。轴上子午光线的光线误差图显示第一个双合透镜的曲率改变。水平轴为正规化瞳（pupil）坐标，而垂直轴为以mm为测量单位的光线误差。在每一个图中包括三个波长（红、绿，和蓝）。在绘图4.中，加入失焦（defocus）。III. 未摭挡三球面反射镜望远镜（Unobstructed Three-Spherical-Mirror Tele-scope）有用的可视化设计是没有限制于单独的教育。在这个范例中，一个望远镜设计是藉由改变提出在期刊论文中“三个球面反射镜的成像”的研究。这个范例的目的，开始设计时即要求成像品质，但在第三个反射镜之后的装置结构却缺少必须的工作间隔。为了减轻这个包装问题，当可视化地分析系统的改变时，我们藉由探测区域限制结构的间隔来修改系统。A.产生成像限制概述在第一节中的设计范例相似于使用Ref. 4.的范例。在这个例子中，仅假设平面对称，且系统被迫提供三个球面反射镜的f/10成像（例如，有10.0 cm的入射光束直径和焦距长100.0 cm）。九个限制参数定义此系统：三个反射镜曲率（c1、c2、c3），三个反射镜倾斜角（t1、t2、t3），两个反射镜间隔（d1、d2），和成像距离（d3）。（这个范例的目的，像的倾斜是固定的，且在第一个反射镜上的光栏是固定的。）这些参数的测量是参考通过系统的中心光线（central ray）主光线（base ray）。为了确保f/10的成像系统，消去四个限制参数（c2、c3、d2、d3）当作自由度两个相关于焦距长，而两个相关于第一阶模糊（first-order blur）。5藉由展开泰勒级数（Taylor series）中关于主光线的成像性质方法，然后使一阶系数的分析式相等于一阶成像性质（f/10焦距长和零模糊（zero blur）以决定限制。这四个方程式然后同时解出c2、c3、d2和d3，结果是限制参数的表示式，为五个剩余自由度（c1、d1、t1、t2、t3）的明确函数。最后，关于有任意对称之主光线的一阶设计，称为近轴基础光学（parabasal optics），其类似于使用在旋转对称系统的近轴方法（paraxial methods）。图3.一个三反射镜望远镜有滑动装置和系统描绘。注意，由于入射光束的关系，装置第三个反射镜时需有间隔限制。B.计算机图形的修改系统一旦限制已决定，于三反射镜系统写一个宏程序来自动计算相依的参数，更新透镜数据，绘制系统图，和决定主要成像点的均方根（root-mean-square, rms）光点半径。这个宏的滑动装置和起始系统的绘图描述在图3.中。注意，系统的包装不是理想的，因为第三个反射镜太接近入射光束以致于无法提供装置足够的工作间隔。就本身而言，为了有足够工作间隔和好的成像品质的最佳系统，执行一个手动的搜寻。当实时的以移动滑动装置来改变参数时，系统会有进展且可靠着眼睛来分析系统。为了描述这个搜寻，在图4.中的系统A、B，和C显示系统藉由改变t3值在滑动装置上的些许移动，从-18.0到-16.0然后再到-14.0时的进展如何。试回想，改变独立参数t3也改变四个相依参数（c2、c3、d2和d3）的值。在这个例子中，改变t3引起d2变长，以致于在系统B中的第三个反射镜最初阻挡到入射光束，然后在系统C中则是穿过入射光束到另一边上。以眼睛所做的评估清楚地显示最后一个系统是第三个反射镜的工作间隔成为一个值得信赖的结构。当看到在主成像点之有效光点半径中几乎显示每个数字增加时，虽然成像品质略微地下降，但它证明三个反射镜曲率的向下优化（downhill optimi-zation）能轻易地补偿这个损失。注意，藉由执行这个手动的搜寻，一个设计者能够越过在限制结构间隔中的一个区域，这是向下优化器（downhill optimizer）（有不利的摭挡）做不到的。这个证明可以找到新系统且可藉由可视化设计技巧的使用来探索。在意义上，人们称此为区域优化法（regional optimization meth-od），或区域探索器（regional explorer）。图4.以计算机绘图的三个反射镜望远镜修改。调整在第三个反射镜上的倾斜t3从-18.0到-16.0再到-14.0，分别描述在系统A、B和C中。结果，系统的成像限制为移动在入射光束的上面的第三个反射镜，提供架设光学系统时必须的间隔。虽然出现在主成像点的均方根光点半径中的数值显示成像品质的减少，优化系统C的三个曲率大于系统结构中小改变的损失补偿。IV. 三个同心的球面反射镜（Three Concentric Spherical Mirrors）在这最后的范例中，修改一个单位放大转运（unit magnification relay）的设计以符合含有内部光栏的包装需求。这个研究执行近红外线照相机（near-infrared camera, NIRCAM）的设计研究于美国国家航空暨太空总署（NASA）的下一代太空望远镜（Next Generation Space Telescope, NGST）。6照相机的基础设计是Offner转运（relay），7由三个同心反射镜的结构所组成，以致第一个和第三个是凹面的，而第二个反射镜为双凸的曲率半径。注意，两个凹面反射镜可以藉由单一反射镜表面来了解，描述在图5.中。NIRCAM的一个包装需求是能够使用内部光栏去放置组件，例如滤波片（filters）和瞳掩模（pupil mask）。然而，在一个Offner转运中，在物空间中是远心的（telecentric），内部光栏是难进入的，既然它是位于邻近第二反射镜的表面。当维持优先的系统同心性质时，为了减轻这个困境，可改变反射镜的曲率半径。图5.同心三反射镜转运的滑动装置和系统描绘。注意，既然内部瞳位于内部反射镜上，所以是很难进入的。A.产生成像限制NIRCAM设计的范例目的为指定一个100 mm 100 mm的物体，一个f-数值24.0，和一个远心的入瞳（telecentric entrance pupil）。定义系统的主要光线，源自物体中心然后穿过入瞳中心。简而言之，假设物和像是平面的然后垂直于主光线。既然三个反射镜是同心的，系统可以建构成旋转对称的但有离轴（off-axis）物体和瞳。轴（axis）定义成通过曲率中心的线，且平行于物空间中的主光线（base ray）。六个结构参数必须用来定义这个系统：三个反射镜的曲率半径（r1、r2和r3），物距（d0），像距（d3），和从基本物点（basal object point）到轴所测量的最小距离为高（h）。限制两个结构参数，剩下四个可利用的自由度。在第一个限制中，第三个反射镜的半径r3是分析地解（solved）给定的系统零Petzval曲率。在第二个限制中，向下优化像距d3使主成像点的光点半径最小化。图5.中显示剩余自由度（r1、r2、d0和h）的起始值。典型的Offner设计，以NIRCAM需求的近似尺寸来选择这些值。注意，在滑动装置上的每一个参数值是刻化成r1。B.计算机图形的未摭挡光栏系统D描述在图6.中，光栏的初始位置在第二个反射镜，反射镜的共同曲率中心标注O。相邻于成像的数值是在整个像上取样的九个像点之最大均方根光点半径。既然照相机必须有内部光栏的使用，第二反射镜的半径r2是开始减低以消除摭挡（obstruction）。因为系统维持同心的，这个动作移动反射镜到O点的左边，以箭头显示在系统E中来描述。既然r3限制到零Petzval曲率，它将也改变。在r2更进一步的减小之后，光栏的使用藉由眼睛来决定可以在系统F观看。对于消除摭挡，对物距做最后的调整以补偿在场中下降的成像品质。结果在系统G，如系统D一样有小于二分之一的最大均方根光点半径。在这个范例中，限制结构间隔的平滑度大部分由于r3限制到零Petzval曲率。若r3是自由的而可改变，绩效数字的选择（最大均方根光点半径）将很快地降低，因为采用成像的曲率。在每一个r2的调整之后，一个相似的调整r1或r3在场中将必须使成像平坦。这个描述到放置限制，例如这些在结构参数上对于可视化的设计效率是必须的因素。没有它们，滑动装置仅执行一种公差分析（tolerance analysis），对于设计者来说去找到新的且可实行的系统是困难的。图6.计算机绘图的三个反射镜转运修改。标注O点处为共同的曲率中心，且在场中的最大均方根半径是含括在每个系统中。使内部瞳易进入的，第二反射镜的半径（滑动装置 r2/r1）从0.50到0.46再到0.41减小，各别的显示在纟统D、E和F。在这个过程中，第三个反射镜的半径r3也减小，既然它限制到零Petzval曲率。在系统G中的物距做一个最后调整以改进成像品质。V. 结尾评论（Concluding Remarks）在此提出的范例中，每次仅一个自由度可以改变，因为图形滑动装置工具的一维性质。图形滑动装置自然的第二代将是长方形图形，或一个“滑动区（rink）”，在可视化设计的宏中，在滑动区中的位置将提供二维输入的改变。这个将赋与设计者能力在多面的设计空间中去实时探索二维切面。甚致更远地，一个方便的“工具棒（wand）”具有三维的位置检测，可以在可视化设计过程中提供额外的输入。可视化设计的自动化不仅限制于系统描绘和分析图。一个延伸在好几个结构参数上将包含向下优化，将有效地打破系统的限制结构间隔。也就是说，系统首先以它的自由度和限制方程式来定义；然后一些变量的设定将指定且系统执行优化。系统的全部效能有适当变量时可以有效的改进而没有基本地改变来源自由度所定义的设计间隔之平滑度。在三反射镜转运中，这个构想是结合到宏中，设计软件的自动距焦特性是用来优化像距。这个构想的另外一个应用将是改变三反射望远镜的曲率来优化在场中的效能，已在图4.的图片说明讨论过。在此讨论的可视化设计方法是以分析近似光学系统设计为基础。幸运地，计算机代数软件程序能够协助解决有时冗长的限制方程式。曾经增加屈光率的近代机器，复杂的宏可能发展去设计所有等级的光学系统。他们将从简单实验室中的结构排列，例如使干涉仪成像到CCD，对于较复杂的应用，例如摄远（telephoto）照相机镜头的设计。对于这些方法，反射系统是特别合适的，既然它们典型地由相当少的表面所组成，因此可减化必须的程序。这些图形工具并不是普遍的。虽然大部份的透镜设计软件有宏语言的支持，但并非全部（此时）能够提供一个结合返回程序的互动使用环境。仅仅当计算机操作系统发展进入主要的图形使用接口，光学设计软件应该以适时的方法跟着做。这包含不仅合并特性，例如滑动装置在此提出，而且其它图形接口也出现在计算机应用设计软件工业的其它地方。感谢国家研究会议（National Research Council）支持本研究。美国国家太空总署的光学分部高达德太空飞行中心（Optics Branch of NASA Goddard Space Flight Center）和下一代太空望远镜计划（Next Generation Space Telescope project）提供额外的支持。感谢Bryan D. Stone和Timo T. Saha个人的讨论与投入。参考文献与注译（References and Notes）1. For an example of a systematic global search, see J. M. Howardand B. D. Stone, “Imaging a point with two spherical mirrors,”J. Opt. Soc. Am. A 15, 30453056 (1998).2. OSLO is a registered trademark of Lambda Research Corporation,80 Taylor Street, P.O. Box 1400, Littleton, Mass. 01460.3. B. D. Stone, “Supplement