黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版.docx

2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示模式与方法自学指导 讲练结合教学目的1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点平面向量的坐标运算.难点对平面向量共线的坐标表示的理解.教学内容师生活动及时间分配导入新 课例题讲解一、向量坐标我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,a的坐标表示吗?如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?a+b=(x1+y1j)+(x2+y2j)=(x1+x2)+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又a=(x1+y1j)=x1+y1j.a=(x1,y1).我们可以得出平面内两点间的距离公式: |=|=论结果:=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.二、共线定理如何用坐标表示两个共线向量?若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共线的什么条件?讨论结果:ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.1消去时不能两式相除,y1、y2有可能为0,而b0,x2、y2中至少有一个不为0.2充要条件不能写成(x1、x2有可能为0).3从而向量共线的充要条件有两种形式:ab(b0)例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1. 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab等于( )A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)答案:D2. 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b( )A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向答案:A例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标. 解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系. 解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.=(1-(-1),3-(-1)=(2,4), =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又26-34=0,且直线AB、直线AC有公共点A,A、B、C三点共线.变式训练已知a=(4,2),b=(6,y),且ab,求y.解:ab,4y-26=0.y=3. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数,使a=b.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=(x2,y2),指导学生证明教师应向学生特别提醒感悟。学生对公式的理解和怎样记忆本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师