2017_2018学年高中数学不等关系与基本不等式1.3平均值不等式一训练北师大版.docx_第1页
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文档简介

1.3 平均值不等式(一)一、选择题1.若log4(3a4b)log2,则ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.74解析先判断a,b的符号,再将已知的式子转化为关于a,b的方程,最后根据基本不等式求解.由题意得所以又log4(3a4b)log2,所以log4(3a4b)log4ab,所以3a4bab,故1.所以ab(ab)77274,当且仅当时取等号,故选D.答案D2.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元 C.160元 D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m,总造价是y元,把y与x的函数关系式表示出来,再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知,体积V4 m3,高h1 m,所以底面积S4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m,又设总造价是y元,则y204108020160,当且仅当2x,即x2时取得等号.答案C3.函数ylog2 (x1)的最小值为()A.3 B.3 C.4 D.4解析x1,x10,ylog2log2log2(26)log283.答案B4.若a,b,c0且a(abc)bc42 ,则2abc的最小值为()A. 1 B. 1C.2 2 D.2 2解析a(abc)bc42 a(ab)(ab)c(ab)(ac)42 .而2abc(ab)(ac)2 2 2 2.当且仅当abac,即bc时等号成立.答案D5.若不等式x22xay22y对任意实数x、y都成立,则实数a的取值范围是()A.a0 B.a1C.a2 D.a3解析x22xay22y,对任意实数x、y都成立,则ay22yx22x2(x1)2(y1)2恒成立,而2(x1)2(y1)22,a2.答案C6.在下列函数中,最小值是2的是()A.y(xR且x0)B.ylg x(1x10)C.y3x3x (xR)D.ysin x解析A中的函数式,与都不一定是正数,故可排除A;B中的函数式,lg x与都是正数且乘积为定值,运用基本不等式取等号的条件是lg x,即x10与1x0,3x0,运用基本不等式取等号的条件是3x,而x0成立,故选C.D中,0x1,sin x.答案C7.若a是12b与12b的等比中项,则的最大值为()A. B. C. D.解析由题意得a2(12b)(12b)14b2.即a24b21.a24b22,得|ab|且4, .答案B二、填空题8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x为_吨.解析每年购买次数为次.所以总费用44x2160.当且仅当4x,即x20时等号成立.答案209.若正数a,b满足a2b3,且使不等式m0恒成立,则实数m的取值范围是_.解析不等式m0恒成立,即33m恒成立.又正数a,b满足a2b3,(a2b)2,当且仅当ab1时取“”,所以实数m的取值范围是.答案三、解答题10.已知a,b(0,),求证:(ab)4.证明a0,b0,ab20,当且仅当ab时,取等号.20,当且仅当,即ab时取等号.,得(ab)224,当且仅当ab时,取等号.11.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|3米,|AD|2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积;(3)若AN的长度不少于6米,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.解设AN的长为x米(x2),矩形AMPN的面积为y.,|AM|,S矩形AMPN|AN|AM|(x2)(1)由S矩形AMPN32得32,x2,3x232x640,即(3x8)(x8)0,2x8,即AN的长的取值范围是(8,).(2)令y3(x2)1221224,当且仅当3(x2),即x4时,y取得最小值,即S矩形AMPN取得最小值24平方米.(3)令g(x)3x(x4),设x1x24,则g(x1)g(x2)3(x1x2

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