2017_2018学年高中数学不等关系与基本不等式1.3平均值不等式一训练北师大版.docx

1.3 平均值不等式（一）一、选择题1.若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.74解析先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，当且仅当时取等号，故选D.答案D2.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元 C.160元 D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y204108020160，当且仅当2x，即x2时取得等号.答案C3.函数ylog2 (x1)的最小值为()A.3 B.3 C.4 D.4解析x1，x10，ylog2log2log2(26)log283.答案B4.若a，b，c0且a(abc)bc42 ，则2abc的最小值为()A. 1 B. 1C.2 2 D.2 2解析a(abc)bc42 a(ab)(ab)c(ab)(ac)42 .而2abc(ab)(ac)2 2 2 2.当且仅当abac，即bc时等号成立.答案D5.若不等式x22xay22y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是()A.a0 B.a1C.a2 D.a3解析x22xay22y，对任意实数x、y都成立，则ay22yx22x2(x1)2(y1)2恒成立，而2(x1)2(y1)22，a2.答案C6.在下列函数中，最小值是2的是()A.y(xR且x0)B.ylg x(1x10)C.y3x3x (xR)D.ysin x解析A中的函数式，与都不一定是正数，故可排除A；B中的函数式，lg x与都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x，即x10与1x0，3x0，运用基本不等式取等号的条件是3x，而x0成立，故选C.D中，0x1，sin x.答案C7.若a是12b与12b的等比中项，则的最大值为()A. B. C. D.解析由题意得a2(12b)(12b)14b2.即a24b21.a24b22，得|ab|且4， .答案B二、填空题8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为_吨.解析每年购买次数为次.所以总费用44x2160.当且仅当4x，即x20时等号成立.答案209.若正数a，b满足a2b3，且使不等式m0恒成立，则实数m的取值范围是_.解析不等式m0恒成立，即33m恒成立.又正数a，b满足a2b3，(a2b)2，当且仅当ab1时取“”，所以实数m的取值范围是.答案三、解答题10.已知a，b(0，)，求证：(ab)4.证明a0，b0，ab20，当且仅当ab时，取等号.20，当且仅当，即ab时取等号.，得(ab)224，当且仅当ab时，取等号.11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|3米，|AD|2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.解设AN的长为x米(x2)，矩形AMPN的面积为y.，|AM|，S矩形AMPN|AN|AM|(x2)(1)由S矩形AMPN32得32，x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，2x8，即AN的长的取值范围是(8，).(2)令y3(x2)1221224，当且仅当3(x2)，即x4时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值24平方米.(3)令g(x)3x(x4)，设x1x24，则g(x1)g(x2)3(x1x2