2016_2017学年高中数学2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案新人教B版必修.docx

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算.3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.(重点、难点)基础初探教材整理1向量的正交分解及坐标表示阅读教材P99P100“例1”以上内容，完成下列问题.一、向量的正交分解及坐标表示1.向量的正交分解：2.向量的直角坐标：(1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2).(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则(x，y).符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)点的坐标与向量的坐标相同.()【解析】(1)错误.对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样.(2)正确.根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标.(3)错误.根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关.(4)错误.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2向量的直角坐标运算阅读教材P100P102内容，完成下列问题.向量的加、减法设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a(a1，a2)，R，则a(a1，a2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x_.【解析】易得(2,0)，由a(x3，x23x4)与相等得解得x1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型平面向量的坐标表示(1)已知(1,3)，且点A(2,5)，则点B的坐标为()A.(1,8) B.(1,8)C.(3,2) D.(3,2)(2)如图2214，在正方形ABCD中，O为中心，且(1，1)，则_；_；_.图2214(3)如图2215，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角，求点B和点D的坐标和与的坐标.图2215【精彩点拨】表示出各点的坐标用终点坐标减去起点坐标得相应向量的坐标【自主解答】(1)设B的坐标为(x，y)，(x，y)(2,5)(x2，y5)(1,3)，所以解得所以点B的坐标为(1,8).(2)如题干图，(1，1)(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以(1，1)，同理(1,1).【答案】(1)B(2)(1，1)(1,1)(1,1)(3)由题意知B, D分别是30，120角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，所以B.x2cos 120，y2sin 120，所以D.所以，.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.再练一题1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标.【导学号：72010057】【解】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，.平面向量的坐标运算(1)设(2,3)，(m，n)，(1,4)，则()A.(1m,7n)B.(1m，7n)C.(1m,7n)D.(1m ，7n)(2)已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C. D.(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标.【精彩点拨】(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为来求解.(2)可借助来求坐标.(3)可利用(xBxA，yByA)来求解.【自主解答】(1)(1,4)(m，n)(2,3)(1m，7n).(2)A()(8,1)，.【答案】(1)B(2)A(3)(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3).平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.再练一题2.已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.【解】(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7).(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1).(3)ab(1,2)(2,1).探究共研型向量坐标运算的综合应用探究1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？【提示】t(1,2)t(3,3)(13t,23t).若点P在x轴上，则23t0，t.若点P在y轴上，则13t0，t.若点P在第二象限，则t.探究2对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.【提示】(1,2)，(33t,33t).若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.探究3已知在非平行四边形ABCD中，ABDC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？图2216【提示】当ABCD为平行四边形时，则(2,0)(1,1)(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)(3，).已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若AAA(R)，试求为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内.【精彩点拨】解答本题可先用表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17).AAA，则(1)若P在一、三象限角平分线上，则5547，即时，点P在一、三象限角平分线上.(2)若P在第三象限内，则1.即1时，点P在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.再练一题3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2217所示，若cab(，R)，则_.图2217【解析】以向量a的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3).由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，则4.【答案】4构建体系1.已知点A(1，3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A.(4,4)B.(2,4)C.(2,10) D.(2，10)【解析】设点B的坐标为(x，y)，由(3,7)(x，y)(1，3)(x1，y3)，得B(4,4).【答案】A2.若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A.(5,3) B.(4,3)C.(8,3) D.(0，1)【解析】3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3).【答案】B3.若向量(1,2)，(3,4)，则()A.(4,6) B.(4，6)C.(2，2) D.(2,2)【解析】(1,2)(3,4)(4,6).故选A.【答案】A4.已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_.【解析】(3，4)，则与同方向的单位向量为(3，4).【答案】5.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，3，2，求的坐标.【导学号：72010058】【解】因为A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，所以(23,44)(1,8)，(33，14)(6,3)，所以3(3,24)，2(12,6).设M(x，y)，则(x3，y4)，即解得所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，所以(90,220)(9，18).我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知A(3,1)，B(2，1)，则的坐标是()A.(2，1)B.(2,1)C.(1,2) D.(1，2)【解析】B(3,1)(2，1)(1,2).【答案】C2.(2016威海高一检测)设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A.(1，1) B.(1,1)C.(4,6) D.(4，6)【解析】因为4a,3b2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a3b2ac0，故有c2a3b2(1，3)3(2,4)(4，6).【答案】D3.(2016孝感高级中学期末)若a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c用a，b表示为()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】设c1a2b(1、2R)，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，则cab.故选B.【答案】B4.已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A.平行于y轴B.平行于第一、三角限的角平分线C.平行于x轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】ab(0,1x2)，故平行于y轴.【答案】A5.(2016抚顺市质检)已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC45，设(1)(R)，则的值为()A. B.C. D.【解析】如图所示，AOC45，设C(x，x)，则(x，x).又A(3,0)，B(0,2)，(1)(3，22)，.【答案】C二、填空题6.已知点A(2,3)，B(1,5)，且，则点C的坐标为_.【解析】因，即()，所以(2,3)(1,5).【答案】7.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量23的坐标为_.【导学号：72010059】【解析】根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).(1,0)，(0,1)，(1,1)，23(2,0)(0,3)(1,1)(3,4).【答案】(3,4)三、解答题8.若向量|a|b|1，且ab(1,0)，求a与b的坐标.【解】设a(m，n)，b(p，q)，则有解得或故所求向量为a，b，或a，b.9.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，2.(2)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab,3a4b的坐标.【解】(1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以(7,5)(4,6)(3，1)，(1,8)(4,6)(3,2)，(3，1)(3,2)(0,1)，(3，1)(3,2)(6，3)，22(3，1)(3,2)(6，2).(2)ab(1,2)(3,4)(2,6)，ab(1,2)(3,4)(4，2)，3a4b3(1,2)4(3,4)(15，10).能力提升1.在四边形ABCD中，(1,0)，则四边形ABCD的面积是()A. B.C. D.【解析】为在方向上的单位向量，记为e1，类似地，设e2，e3，所以e1e2e3，可知四边形BNGM为菱形，且|，所以MBN120，从而四边形ABCD也为菱