角平分线的性质(上.ppt

16.3角的平分线,A,O,B,确定角平分线,不借助工具，你能将一张纸片上的AOB分成相等的两个角吗？请试一试.,方法：折叠,A,O,B,如果这个角不能折叠怎么办？,确定角平分线,如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 使用方法： 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线. 原理分析： 你能说明它的道理吗?,A,D,B,C,E,确定角平分线,证明：AD=AB，DC=BC， AC=AC（已知） ACD ACB（SSS） CAD=CAB （全等三角形的对应边相等） AC平分DAB （角平分线定义）,A,D,B,C,E,确定角平分线推理,根据角平分仪的制作原理，你能用直尺和圆规作一个角平分线吗？请试一试.,O,C,N,O,M,C,E,确定角平分线应用,A,O,B,实验： 1.在角平分线OC上任取一点P；,2.借助三角板的直角边，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.,PD与PE有怎样的数量关系？,猜想：PD=PE.,你有哪些办法说明我们的猜想是正确的？（两种或两种以上方法）,角平分线的性质实验、猜想、验证,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2， PDOA ，PEOB PD=PE.,角平分线的性质概括,条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上； （3）垂直距离。,结论：垂线段相等,证明:OC平分AOB （已知） 1=2（角平分线定义） PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直定义） OP=OP（公共边） PDOPEO（AAS） PD=PE （全等三角形的对应边相等）,已知，OC是AOB 的平分线，P是OC上任意一点，PDOA，PEOB ，垂足分别为D,E,已知OP平分MON，点A、点B分别在边OM、ON上.,（1）如图1，若OAP=OBP=90，AP等于PB吗？请说明理由；,（2）如图2，若OAP=OBP=110，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.,角平分线的性质理解,在上面的基础上，添加哪些条件还可以使PA=PB成立？请试一试.,我们添加的这些条件，有什么相同之处吗？,小结： 1.角是轴对称图形，角平分线所在直线是角的对称轴； 2.可以用全等三角形的知识研究角平分线的性质., AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,1、 1= 2,DCAC, DEAB _ (_),DC=DE,角平分线上任意一点到角的两边的距离相等,2、判断题（ ） 如图，AD平分BAC（已知）, BD = DC ， ( ),角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。,1.已知：如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：,(1)DE=DF. （ ）,(2)BD=CD. （ ）,(3)AD上任一点到AB、AC的距离相等.（ ）,(4)AD上任一点到点B、C的距离相等. ( ),2.已知，如图，CD为Rt ABC斜边AB上的高， BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F, FG AB,垂足为G.求证：CE=FG.,C,A,D,E,F,G,B,如图，在ABC中，C=90，AD是CAB的角平分线，DEAB于点E，BC=8，BD=5，求DE。,证明： C=90 DC AC 又AD是CAB的角平分线、 DEAB CD=DE（角平分线上任意一 点到角的两边的距离相等） 又BC=8，BD=5 CD=BCBD=85=3 DE=3,（1）写出角平分线的性质定理的逆命题 （2）根据这个逆命题的内容，画出图形 （3）结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想 （4）验证你的猜想,角的平分线上的点到角的两边的距离相等 逆命题： 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,证明: 连结OP并延长 QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义） 在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QDQE (已知) QODQOE RtQDORtQEO QODQOE 点Q在AOB的平分线上,判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,用数学语言表示为：,1. 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等. （2）AP平分A.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知） PD=PE（在角平分线上的点到角的两 边的距离相等） 同理: PE=PF. PD=PE=PF（等量代换）. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 AP平分A（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）,D,E,F,提高训练,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,小结:,1：画一个已知角的角平分线；,2：角平分线的性质定理：,角平分线上任意一点到