全国高考数学复习复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明数学归纳法习题理.docx

第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,9,12反证法4,5,8数学归纳法2,6,7,14综合应用10,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是(B)(A)分析法 (B)综合法(C)分析法与综合法并用(D)反证法解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.故选B.2.用数学归纳法证明“2n2n+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(B)(A)2 (B)3 (C)5 (D)6解析:因为n=1时,21=2,21+1=3,2n2n+1不成立;n=2时,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;n=3时,23=8,23+1=7,2n2n+1成立.所以n的第一个取值n0=3.故选B.3.要使-成立,则a,b应满足(D)(A)abb(B)ab0且ab(C)ab0且a0且ab或ab0且ab解析:要使-成立,只要(-)3()3成立,即a-b-3+3a-b成立,只要成立,只要ab2a2b成立,即要ab(b-a)0且ab或ab0且a0,则三个数+,+,+(C)(A)都大于2(B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则+4且nN*成立(C)P(n)对n=5成立(D)P(n)对n=3不成立解析:根据数学归纳法,可知由n=k成立,则它对n=k+1也成立,其逆否命题为由n=k+1不成立,则它对n=k也不成立,即P(n)对n=4不成立,则P(n)对n=3不成立.故选D.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(kN*)命题为真时,进而需证n=时,命题亦真.解析:n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+18.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得a|-2a0,用分析法证明-a+-2.证明:要证-a+-2,只需证(a+)-(2-).因为a0,所以(a+)-(2-)0,所以只需证()2(a+)-(2-)2,即2(2-)(a+)8-4,只需证a+2.因为a0,a+2显然成立(a=1时等号成立),所以要证的不等式成立.10.设函数f(x)=ax2+bx+c且f(1)=-,3a2c2b.(1)试用反证法证明:a0.(2)证明:-32c2b,所以3a0,2c0,2b0,将上述不等式相加得3a+2c+2b0,因为f(1)=-,所以3a+2c+2b=0,这与3a+2c+2b0.(2)因为f(1)=a+b+c=-,所以c=-a-b.所以3a2c=-3a-2b,所以3a-b.因为2c2b,所以-3a4b.因为a0,所以-30”是“p,q,r同时大于零”的(C)(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:必要性显然具备,充分性:若pqr0,则p,q,r同时大于零或其中两个为负,不妨设p0,q0,因为p0,q0,即a+bc,b+ca,所以a+b+b+cc+a,即b0矛盾,所以p,q,r同时大于零,故选C.12.(2016成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)ABC(B)ACB(C)BCA(D)CBA解析:因为,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()f()f(),即ABC.故选A.13.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f(),已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为.解析:因为f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,且A,B,C(0,),所以f()=f(),即sin A+sin B+sin C3sin =,所以sin A+sin B+sin C的最大值为.答案:14.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式(1+)(1+)(1+)均成立.证明:当n=2时,左边=1+=,右边=.因为左边右边,所以不等式成立.假设当n=k(k2,且kN+)时不等式成立,即(1+)(1+)(1+),则当n=k+1时,(1+)(1+)(1+)1+=所以当n=k+1时,不等式也成立.由知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.好题天天练若实数x,y,m满足|x-m|y-m|,则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;(2)对任意两个不相等的正数a,b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab.解题关键:理解定义,转化为不等式.(1)解:由题意知|x2-1|1,即x