MATLAB的符号运算V4.0(精简版).ppt

Matlab语言基础,张启升 地球物理与信息技术学院 测控教研室教五楼125 E-mail：,第4讲 MATLAB的符号运算,符号运算的功能,符号表达式、创建符号矩阵 因式分解、展开和简化 符号代数方程求解 符号微积分 符号微分方程 符号线性代数,Matlab符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。,Matlab的符号运算简介,符号对象的建立：sym 和 syms,例：, syms x y z, x=sym(x); y=sym(y); z=sym(z);,符号对象建立时可以附加属性： real、positive 和 unreal, k=sym(k,positive), x=sym(x,real), x=sym(x,unreal),表明 x 是实的,表明 k 是正的,去掉 x 的附加属性,Matlab的符号运算,符号表达式的建立, f2=sym(sin(x)+cos(x), syms x f1=sin(x)+cos(x),推荐！,Matlab的符号运算,相关函数,findsym: 查找符号表达式中的符号变量,findsym(f) 按字母顺序列出符号表达式 f 中的所有自由变量findsym(f,N) 列出 f 中距离 x 最近的 N 个自由变量（i，j 除外）,默认自变量findsym(f,1), a=sym(a);x=sym(x);k=sym(3); f=k*x+a; findsym(f),例：,ans=a，x,Matlab的符号运算,相关函数,subs：符号替换,subs(f): 用当前工作空间中存在的变量值，替换 f中所有出现的相同的变量，并进行简化计算。 subs(f,x,a)：用 a 替换 f 中的 x ；a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 符号变量/表达式。 若x与a为相同大小的向量或矩阵，则用a中相应的元素替换x中的元素； 若f，x为标量，而a是向量或矩阵，则f与x将扩展为与a相同形状的向量或矩阵。,Matlab的符号运算,例：, syms x y f=2*x+y; x=3,y=4; subs(f) subs(f,x,a), syms x y a b f=2*x+y; subs(f,x,y,3,4) subs(f,x,y,3,4) subs(f,x,1:3) subs(f,x,y,1:3,5:7) subs(f,x,y,a+b,a-b) subs(f,x,y,x+y,x-y),ans=10,ans=2*a+y,ans=10,ans=2+y,4+y,6+y,ans=7 10 13,ans=3*a+b,?,Matlab的符号运算,符号矩阵,使用sym函数直接生成, A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x),将数值矩阵转化成符号矩阵, B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3) C=sym(B),符号矩阵中元素的引用和修改, A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x) A(1,2) A(2,2)=sym(cos(x),Matlab的符号运算, D=1+x, sin(x); 5, exp(x),符号矩阵的基本运算,符号矩阵的基本运算与数值矩阵的基本运算相类似。,1) 基本运算符：+、-、*、/、.*、.、./、.、 、.,2) 三角函数与反三角函数：sin、cos、tan、 ,3) 指数、对数函数：sqrt、exp、log、 ,4) 复数函数：real、imag、conj、 abs,5) 矩阵函数：det、inv、rank、 （没有norm）,6) 矩阵元素的抽取：diag、tril、triu,Matlab的符号运算,六大常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,因式分解：factor, syms x f=x6 +1 s=factor(f),s =(1+x2)*(x4-x2+1),factor 也可用于正整数的分解,Matlab的符号运算,大整数的分解,Matlab的符号运算,展开函数： expand,多项式展开,三角函数展开,该函数经常用于多项式展开，也常用于三角函数、指数函数和对数函数的展开中。,Matlab的符号运算,合并同类项： collect,collect(f,v): 按指定变量 v 的次数合并系数； collect(f): 合并 f 中的默认自变量的各项系数。,findsym(f,1),Matlab的符号运算,简化函数： simple 和 simplify,simple(f): 对 f 尝试多种不同的算法简化， 返回其中最短的简化形式； R,HOW=simple(f): R为f的最短简化形式， HOW中记录的为简化过程中使用的主要方法。,simple函数示例,Matlab的符号运算,simplify(f): 简化函数,Matlab的符号运算,分式通分： numden,N,D=numden(f): N为通分后的分子，D为通分后的分母,Matlab的符号运算,horner多项式：嵌套形式的多项式,例：,Matlab的符号运算,六大常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,计算极限,limit(f,x,a): 计算,limit(f,a): 计算默认自变量趋向于a时f的极限,limit(f): 计算 a=0 时的极限,limit(f,x,a,right)：右极限 limit(f,x,a,left)：左极限,Matlab的符号运算,例：求极限, syms h n x L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf),L=1/x,M=exp(-x), syms x L=limit(abs(x)/x,x,0,left) R=limit(abs(x)/x,x,0,right),L=-1,M=1,Matlab的符号运算,六大常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,计算极限,计算导数,diff(f): 计算 f 关于默认自变量的导数,diff(f,v): 计算 f 关于变量 v 的导数,diff(f,n),diff(f,v,n),diff(f,n,v): n次求导,Matlab的符号运算,例：设 y=sin(ax),求, syms a x y=sin(a*x) A=diff(y,x) B=diff(y,a) C=diff(y,x,2) D=diff(y,a,2),A=cos(a*x)*a,B=cos(a*x)*x,C=-sin(a*x)*a2,D=-sin(a*x)*x2,Matlab的符号运算,六大常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,计算极限,计算导数,计算积分,int(f,v,a,b):计算定积分,int(f,a,b): 计算 f 关于默认自变量 的定积分,int(f,v)：计算不定积分,int(f)：计算 f 关于默认自变量 的不定积分,Matlab的符号运算,六大常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,计算极限,计算导数,计算积分,符号求和,symsum(f,v,a,b): 求和,symsum(f,a,b): 关于默认自变量 求和。,Matlab的符号运算,六大常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,计算极限,计算导数,计算积分,符号求和,解代数方程和微分方程,Matlab的符号运算,solve(f) 求一个方程的解 solve(f1,f2, fn) 求n个方程的解,dsolve(f,g) f为微分方程，可多至12个微分方程的求解；g为初始条件；默认自变量为 x,可任意指定自变量t, u等。 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示,y1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返回 微分方程的解,其它运算,复合函数计算：compose,compose(f,g): 返回f(g(y),其中f=f(x),g=g(y), x,y 分别是 f 和 g 的默认自变量。,compose(f,g,z):返回f(g(z),其中x,y 分别是 f,g 的默认自变量，最后用符号变量z代替y。,compose(f,g,v,z):返回f(g(z),v为f中指定的自变量， 令v=g(z),代入 f=f(v)。,compose(f,g,v,w,z):返回f(g(z),其中v,w分别为f,g 的指定自变量，即将v=g(w)代入f(v),最后用z代替w。,Matlab的符号运算,其它运算,复合函数计算：compose,计算反函数：finverse,finverse(f): 返回f关于默认自变量的反函数， 若f的反函数g存在，则有g(f(x)=x。,fin