N第二章离散时间傅立叶变换(DTFT).pptVIP

第二章 时域离散信号与系统的频域分析,离散时间傅立叶变换的定义 DTFT的主要性质 周期序列的离散傅立叶变换 时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系 离散系统的频域特性,序列的傅立叶变换及其基本性质的应用 离散系统的频域特性,学习内容：,学习重点、难点：,2.1 连续时间信号和系统的频域分析,知识回顾,1、连续时间周期信号,特点：时域连续，频域离散,连续时间周期信号的傅里叶级数对,2、连续时间非周期信号,连续时间非周期信号的傅里叶变换对,特点：时域连续，频域连续,2.2 离散时间傅立叶变换的定义及性质,2.2.1 离散时间傅立叶变换定义 （DTFT),1、正变换：,反变换：,2、序列傅立叶变换存在的条件,序列绝对可和，一致收敛，FT存在,特殊序列（周期序列，u(n）)等，引入冲激函数，FT也存在。,频谱用实部和虚部表示,频谱用幅度和相位表示,幅度特性,相位特性,3、序列的幅度谱与相位谱,频谱是的连续周期函数，周期为2。,DTFT频谱特点：时域离散，频域连续， 以2为周期。,例2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。,解:,当N4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。,clc; clear; y=1 1 1 1; x=0; n=0:3; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel(n); ylabel(x(n); for n=0:3 x=x+exp(-j*w*n); end,xx=abs(x); subplot(312); plot(w,xx); xlabel(w); ylabel(幅度) yy=angle(x); subplot(313); plot(w,yy) xlabel(w); ylabel(相位),程序清单,例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立 叶变换，并讨论其收敛性。,解：此序列的傅立叶变换为：,|a|1,|a|1时，anu(n)的傅立叶变换存在。,2.2.2 序列傅立叶变换的性质,1、FT的周期性,其中， 0，2，4 对应直流分量 ，3，5 对于信号的最高频分量 对信号频谱只需分析 之间或02 之间,因此：X(ej)以2为周期,2、线性性质,3、时移与频移性质,时域移位，频域有相移,时域调制 频域移位,4、指数加权，线性加权,5、时域卷积定理,设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ej)=X(ej)H(ej),时域卷积， 频域乘法,6、频域卷积定理,设 y(n)=x(n)h(n), 则,频域卷积， 时域乘法,7、帕斯瓦尔定理（Parseval）,内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。,证明：,将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n),（1）共轭对称序列： 若满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。,概念：,共轭对称序列的性质：实部是偶函数， 虚部是奇函数。,8、 DTFT的对称性,（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。,共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。,例：共轭对称序列 5j 4j 0 4j 5j 共轭反对称序列 5j 4j 0 4j 5j,（3）对任意序列x(n),任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n),由 x*(-n)=xe(n)-xo(n),有：,任意序列x(n),X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej),（4）对序列x(n)的X(ej),Xe(ej)=X*e(e-j) Xo(ej)=-X*o(e-j),对称性：,（1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 则 X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej),即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解,其中,证明略,（2）若序列x(n)分成共轭对称分量xe(n)与共轭反对 称分量x0(n）之和 x(n)=xe(n)+xo(n) 则 X(ej)=XR(ej)+jXI(ej),即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解,其中,有：,由：,证明,（3）实因果序列的对称性,因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为：,若x(n)是实序列， 则其FT只有共轭对称部Xe(ej)， 共轭反对称部分为零。,X(ej)=Xe(ej)=X*(e-j),XR(ej)=XR(e-j) XI(ej)=-XI(e-j),|X(ejw)|幅度是w的偶函数 argX(ejw)相角是w的奇函数,x(n)为实序列： x(n)=xe(n)+xo(n),例 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。,2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换,2.3.1 周期序列的离散傅立叶级数（DFS),设 是一个周期为N的周期序列， 即,r为任意整数,周期序列不绝对可和,因此周期序列的DTFT不存在，与连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：DFS,一、 的离散傅立叶级数（DFS）,ak：傅立叶系数,物理意义：将周期序列用周期为N的复指数序列表示。 对应于信号的分解，将信号分解为多个信号的求和。,二、傅立叶系数ak,将上式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和,由：,0kN-1,又：,所以：ak为周期序列，周期为N。,0kN-1,由：,令：,则：,且：,三、离散傅立叶级数变换对,DFS的正变换：,DFS的反变换：,周期序列DFS特点： 时域离散，频域离散 均以N为周期，周期延拓 实际频率分量只有N项，直流， 2/N,2/N*2,2/N*k,2/N*(N-1),四、离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则：,正变换：,反变换：,解：,幅度谱见书P42,例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期为8的周期序列 ，求 的DFS.,周期序列的谱：,非周期序列的谱：,对周期为N的序列,其DFS:,其FT:,结论：同一周期序列，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的只是FT用单位冲激函数表示，幅度倍乘2/N。,2.3.2 周期序列的傅立叶变换,例 2.3.2 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期为8的周期序列 ，求 的FT.,周期序列DFS,非周期序列DTFT,周期序列DTFT,是对有限长序列x(n)的傅立叶变换的等间隔抽样，抽样间隔为2/N，具有周期性，每个2周期内抽样N个点。,一个结论：,小结：,有限长序列DTFT,周期序列DFS,周期序列DTFT,几个特殊信号的傅立叶变换:,2、余弦序列的FT,1、复指数序列的FT,3、常数序列的FT,1、复指数序列的FT,2、余弦序列的FT,见书P43表,3、常数序列的FT,当00时,2.4 离散信号的傅氏变换与模拟信号的傅氏变换的关系,一、几组关系,原连续信号及其频谱,采样信号及其频谱,序列及其频谱,二、离散信号傅氏变换与模拟信号傅氏变换的关系,1、推导：,即有：,对照：,结论：,2、采样信号频谱与对应序列频谱的曲线关系：,模拟信号谱 采样信号谱 序列的频谱,3、原模拟信号频谱与对应序列频谱的关系：,由：,有：,见书P45页式2.4.3,三、模拟频率和数字频率之间的定标关系,在一些文献中经常使用归一化频率。f=f/fs或=/s， =/2， 将f、 、 、 f、 、 的定标值对应关系用下图表示。,例 2.4.1 设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)、 、x(n)的傅立叶变换。,解：略。,2.5 离散时间系统的频响特性,离散时间系统的单位冲激响应：h(n),离散时间系统的频率响应函数：,频率响应函数的物理含义：,设系统的输入为 则经过系统后的响应为：,即：当系统输入为正弦序列，输出为同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej0)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。,频域,几种特殊系统的系统：,全通滤波器,全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。,几种特殊系统的系统：,梳状滤波器,消除电网谐波干扰,几种特殊系统的系统：,最小相位系统：所有零点都在单位圆内 最大相位系统：所有