S02第二讲地球物理反.ppt

地球物理反演,师学明 副教授,Email: Tel: 63125049(小灵通） 67885828(家)办公室：物探楼302,上课班级 061031-3 学时 40 2006 年 下半年,地球物理反演,考评及考试 （1）平时成绩占总评成绩的比例为40% （2）考试方式：闭卷,教材名称 ： 地球物理反演 编者 姚姚 出版社 中国地质大学出版社,第二章：线性反演理论与方法,主要内容： （1）线性反演理论的一般论述 （2）线性反演问题求解的一般原理 （3）离散线性反演问题的解法,第二讲,线性反演理论的一般论述,2.1 线性反演理论的一般论述,为了使问题简明又不失一般性，我们在此讨论一维问题。,设有积分方程：,式中：,（2-1）,2.1.1 线性反演问题的模型构制,在观测数据有限的情况下，可写成,（2-2）,（2-3）,2.1.1 线性反演问题的模型构制,假设：,（1）Gj是线性无关的一组函数； （2）dj是精确数据，且满足,要做的事情： （1）先用核函数Gj构造一组正交函数？ （2）然后看模型m在此正交函数上的投影是什么？ （3）我们把模型展开为级数，看看零向量是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,（1）先用核函数Gj构造一组正交函数？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,（2-4）,式中： 为不同时为零的常量参数，且有,由于k为一组正交函数，则有,（2-5）,（2-6）,和G是无限维Hilbert空间的一个M维子空间。,（2）然后看模型m在此正交函数上的投影是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,令,可见，Ek是m在正交基k轴上的投影。,（3）我们把模型展开为级数，看看零向量是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,我们把a,b上的函数m展开为级数,（2-8）,是Hilbert空间的任意坐标基，可以正交，也可以是不正交。若将其分成两部分，并取,（2-9）,（3）我们把模型展开为级数，看看零向量是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,我们把a,b上的函数m展开为级数,（2-10）,可以证明,如果考虑到式（2-10)中第二项是无限维空间中的一个向量投影之和，且该向量在M维正交基中的投影为零，则对于问题中的模型参数m，它可视为零向量，即,（2-11）,（3）我们把模型展开为级数，看看零向量是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,我们把a,b上的函数m展开为级数,（2-10）,可以证明,如果考虑到式（2-10)中第二项是无限维空间中的一个向量投影之和，且该向量在M维正交基中的投影为零，则对于问题中的模型参数m，它可视为零向量，即,（2-11）,（3）我们把模型展开为级数，看看零向量是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,证明,？,（3）我们把模型展开为级数，看看零向量是什么？,2.1.1 线性反演问题的模型构制,（2-12）,（2-11）,可以证明,2.1 线性反演理论的一般论述,结论：,（1）给定一组观测数据，总能找到一个模型可以满足观测数据，即解的存在性得到解决。,2.1 线性反演理论的一般论述,结论：,（2）根据观测数据所构制的模型由两部分组成， 第一部分为： ，它取决于观测数据； 第二部分为： ，它与观测数据无关。 因此，模型构制过程就是对核函数G实行正交变换并求模型在正交基上投影的过程,2.1 线性反演理论的一般论述,结论：,（3）反演问题的解是非唯一的。 这种非唯一性完全由m0所决定。由于m0是无限维的，所以满足方程的模型有无限多。,2.1 线性反演理论的一般论述,结论：,（4）在所有能拟合观测数据的模型中， 根据正则化思想，取,的模型，就是“最小模型”或“圆滑模型”。 这个最小模型能拟合观测数据而又无零空间的影响。,2.1 线性反演理论的一般论述,结论：,（5）根据观测数据可直接求得 反演问题的唯一解最小模型，而模型构制过程实际上是寻找正交坐标基的过程。,2.1 线性反演理论的一般论述,对于方程（2-3），会因条件不同而具有不同形式，以致构制出不同类型的反演问题。 设观测数据的数目为M，待定模型参数数目为N，G为 M x N 阶矩阵，其秩为 r, 则有以下几种情况：,2.2.2 适定问题、欠定问题、超定问题、混定问题的概念,(2-3),2.1 线性反演理论的一般论述,（1）当M = r ， 适定问题,观测资料提供了模型“不多不少的信息 （2）当M N =r, 欠定问题,观测资料提供了多于模型参数的信息 （3）当M = r r N, 混定问题,观测资料的数据足够