高等数学极限运算法则.ppt

第一章,第五节,极限运算法则,定理 4 . 若,则有,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,一、 极限的四则运算法则,则有,定理 3 . 若,x = 3 时分母为 0 !,例4.,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,二、 复合函数的极限运算法则,例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,一. 函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,证明,证: 当,时, 设,则,当,则,从而有,故,也可写为,时, 令,用于1 型,例： 1、求,原式,公式：,证: 当,即,时，,例. 1、求,解: 原式,2、 求,解: 原式 =,3、 求,解: 令,则,因此,原式,令,第一章,都是无穷小,第七节,引例 .,但,无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义：,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,记作,记作,或,例如 , 当,时,又如 ，,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例. 当,时,是,的几阶无穷小?,解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数,例. 证明: 当,时,证:,常用等价无穷小 :,说明：以上各式中的x可换为任意无穷小,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,自变量变化过程相同,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,例如,去掉高阶,(2) 和差代替规则:,例如,和差代替有条件,因式代替规则:,界, 则,例如,乘除可代替,例1. 求,解:,原式,乘除可代替,和差代替有条件,例2. 求,解:,第八节,函数的连续性与间断点,一、 函数连续性的定义,1、f (x) 在 x0 点处连续,对自变量的增量,有函数的增量,称函数,在点,连续,反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。,定义：f (x) 在 x0 的某一邻域 内有定义,例. 证明函数,在,内任意一点连续 .,证:,即,这说明,在,内任意一点连续 .,函数,在点,连续有下列等价命题:,可见 , 函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,或称它为该区间上的连续函数 .,2、f (x) 在区间上连续,称 f (x) 在x0 点处左连续,称 f (x) 在x0 点处右连续,其图像是一条连续而不间断的曲线。,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2),不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,3、若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,其图像是一条连续而不间断的曲线。,第九节,连续函数的运算与,初等函数的连续性,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,即： 设函数,于是,复合函数,又如,且,即,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数有限次四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,有限个连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例如,三、求连续区间、并讨论间断点。,1、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。,例：讨论 的连续区间及间断点,例：讨论 的连续区间及间断点,2、分段函数连续区间的求法- 分界点为可能间断点。,例：讨论 的连续区间及间断点,例：讨论 的连续区间及间断点,根据连续定义确定待定系数,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,解:,四、利用初等函数的连续性求极限,2、设函数,于是,例4. 求,解:,原式,第十节,一、最值定理,二、零点定理、介值定理,闭区间上连续函数的性质,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.闭区间上连续的函数,即:,使,或在闭区间内有间断,在该区间上必有最大(小)值,点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论.,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,例1. 证明方程,一个根 .,证: 令,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,通过作辅助函数F(x),再利用零点定理,辅助函数的作法： 1、把结论中的 （或 ）改写成 2、移项，使等式右边为零，令左边式子为F(x),例2：,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,例3： 设,一点,三、判断函数有界的方法：,1、若 f (x) 在a,b上连续,f (x)在a,b有界,2、若 f (x) 在（a,b）上连续,f (x)在（a,b）有界,习题课,二、 连续与间断,一、 函数,三、 极限,2. 设函数,求,解:,一、 函数,1、 已知, 求,解:,4. 设,求,解:,3. 设,求,及其定义域 .,由,得,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,5.,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,6. 设函数,试确定常数 a 及 b .,二、 连续