§4.0引言§4.1信号分解为正交函数§4.2傅里叶级数.ppt

频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系(系统的频率响应函数)，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。,4.1 信号分解为正交函数,矢量正交与正交分解 信号正交与正交函数集 信号的正交分解,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,一、矢量正交与正交分解,矢量正交的定义： 指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)的内积为0。 即,正交矢量集定义：由两两正交的矢量组成的矢量集合。,如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备.,矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。,矢量的正交分解： 矢量A =(2，5，8)可表示为 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz,二、信号正交与正交函数集,1. 信号正交：,定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,2. 正交函数集：,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。,3. 完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如： 三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt) (n=1,2,) 虚指数函数集ejnt(n=0，1，2，) 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,( i =1，2，n),三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。（因为实际表示时n只能取有限多个，所以函数集一般来说不完备）,通常使误差的均方误差最小。均方误差为,为使上式最小,展开上式中的被积函数：,交换求导与积分次序，得,所以系数,求导。上式中只有两项不为0，写为,考虑 到,那么,于是,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为帕斯瓦尔(Parseval)方程（公式）。它表明：在区间(t1,t2)上 f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量的能量之和。,此时，函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,4.2 傅里叶级数,傅里叶级数的三角形式 波形的对称性与谐波特性 傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率Parseval等式,一、傅里叶级数的三角形式,1.三角函数集,在一个周期内是一个完备的正交函数集。,由定义可知,1,cos(nt)，sin(nt) (n=1,2,),2级数形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下形式 称为f(t)的傅里叶级数的三角形式,系数an , bn称为傅里叶系数,an 是n的偶函数， bn是n的奇函数,an、 bn关于n的奇偶性：,狄里赫利(Dirichlet)条件,条件3:在一周期内，信号绝对可积。,条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。,条件1：在一周期内连续，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。,例2,例1,例3,例1,不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。,例2,不满足条件2的一个函数是,对此函数，其周期为1，有,例3,周期信号 ，周期为1，不满足此条件。,傅里叶级数的余弦形式,将上式同频率项合并，可写为,和傅里叶级数的三角形式作对照,得,且 a0 = A0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为直流分量 A1cos(t+1)称为基波或一次谐波 A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,An是n的偶函数， n是n的奇函数。,两种形式之间的关系,那么,An、 n关于n的奇偶性：,由以上推导可知，,二、波形的对称性与谐波特性,1 .f(t)为偶函数对称纵坐标,bn =0，展开为余弦级数。,2 .f(t)为奇函数对称于原点,an =0，展开为正弦级数。,例,例：求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,直流,基波,二次谐波,解：,f(t)为关于原点对称的奇函数,a0=an=0,三次谐波,3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。,系数Fn 称为复傅里叶系数,利用 cosx=(ejx + ejx)/2可从三角形式推出：,推导：逆用欧拉公式,虚指数函数集ejnt(n=0，1，2，),指数形式付氏级数推导,上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,令复数,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。,小结,an ， An ， |Fn | bn ，n,n的偶函数：,n的奇函数:,两种傅里叶系数之间关系,四、周期信号的功率Parseval等式,总的平均功率等于直流和直流分量和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现。,证明,周期信号功率等 式证明,对于三角函数形式的傅里叶级数,平均功率,周期信号功率等 式证明,对于指数形式的傅里叶级数,总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和,4.0 引言,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而 yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率， 故称为频域分析 。,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)