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7 子空间的直和,，,子空间的这种和特别重要.,定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 是直和; 零向量分解式是唯一的.即若,下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件.,，,中的每一个向量的分解式都是唯一的,对有限维子空间,我们有,的两个有限维子空间.则下列命题等价:,2),则,由维数公式得2)成立.,从而,.,是,的基.,则,.,设,即,，从而,令,子空间的直和概念可以推广到有限个子空间的情况.,中,设,定理6.3说明了余子空间的存在性,但余子空间 不是唯一的.例如,在几何空间,. 与定理6.1及定理6.2类似,我们可以给出,有限个子空间的和是直和的等价条件.,定理6.4 设均为数域上的线性空间的子空间. 则下列命题等价:,1) 为直和; 2) 中的零向量分解式一的; 3) ; 4) ; 5) 各取合起来构成的基.,证明:,有,由,，,学习与创新,设w为数域p上的n维线性空间的子空间. 则w的余子空间不是唯一的.讨论w的余子空间唯一 的充要条件.,
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