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涨落定义为,涨落,3.2 厄米算符的本征值与本征函数,(1),(2),如果体系处于一种特殊的态, 测量,所得结果是,唯一确定的, 即涨落, 则这种状态称为力学,量,的本征态.,在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零,或,一般, 把常数记为 ,并把本征态记为 , 得到 称为 的一个本征值, 为相应的本征态.上式即算符 的本征方程.,注意,求解时, 作为力学量的本征态,还要满 足物理上的一些要求.,测量力学量 时所有可能出现的值, 都是相应的线 性厄米算符 的本征值. 当体系处于 的本征态 时, 则每次测量所得结果都是完全确定的,即 .,量子力学中的一个基本假定:,推出,所以, 在 态下(设 已归一化),定理1 厄米算符的本征值必为实.,厄米算符的本征函数的一个基本性质:,定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数, 彼此 正交.,证明如下:,并设 存在, 对 取复共轭, 得到,上式右乘 , 积分, 得到,由于 ,上式左边= ,因此得,如 ,则必有,简并问题,在能级简并的情况下, 仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来.,设力学量 的本征方程表为 即属于本征值 的本征态有 个,则称本征值 为 重简并.,出现简并时, 简并态的选择是不唯一的, 而且也不一 定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此正交.,在线性代数中, 通常采用Schmidt正交化程序来进行正交化.,令 因为 所以只要选择 , 使 , 即可得证.,证明如下,在常见问题中,当出现简并时, 往往是用(除 之外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类, 从而把它的简并态确定下来.,两个力学量是否可以有共同本征态? 或者说 是否可以同时测定?,此时, 正交性问题将自动解决. 这就涉
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