大学数学实验》第一章.ppt

实验1数学建模 初步,从数学的重要性谈起!,数学的重要性：众所周知？,E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142) 现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。,马克思： 一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。,资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告: (NSF Report, March 1998) 现如今的数学科学对科学的所有的三个方面： 观察、理论和模拟来说都是必不可少的。 数盲和文盲一样是极其有害的。,既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力,利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力,感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望,数学的重要性：似是而非？,不少同学（甚至社会）的反映： - 无用 - 难学,原因：很少用；用不好,最常用的大学数学内容有哪些?,纯粹数学(Pure Math) 基础/核心(Core)数学？ 应用数学(Applied Math) 计算数学(Computational Math) 概率论与数理统计 随机/统计数学？ 运筹学(OR)与控制论 运筹数学？,数学的二级学科(研究生专业),Core,应用数学,数学与数学实验,数学实验 Mathematical Experiments / Experiments in Mathematics 实验数学 Experimental Mathematics / Mathematics by Experiments 两层含义: 通过实验(当前主要是计算机实验)： 研究 / 探索 / 发现数学知识 学习 / 验证 / 应用数学知识,什 么 是 数 学 建 模,人们常见的模型：, 实物模型,玩具、照片、火箭模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图、分子结构图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型(Prototype)的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,司机（方向盘）、钳工（工件）, 思维模型,你碰到过的数学模型 “航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5.,答：船速每小时20千米,甲乙两地相距750公里， 船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时， 问船的速度是多少。,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x船速, y水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解, 得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米）。,数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.数学模型与数学建模,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),数学建模的全过程,一个简单的数学建模实例,汽车刹车距离问题,问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车； 车速越快，刹车距离越长； 刹车距离与车速之间是什么关系 ？(线性、),从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离。,刹车距离指什么？,实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m) （假设我们用同一辆汽车，同一司机驾驶，在不变的道路、气候等条件下进行。）,汽车刹车距离,d 与v不是线性关系,问题分析,制动力使汽车作匀减速运动,刹车距离 = 反应距离 + 制动距离,汽车刹车距离,反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离,制动距离,反应距离,制动距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离,假 设 与 建 模,刹车距离 d = 反应距离 d1 + 制动距离 d2,反应距离 d1与车速 v 成正比：d1= k1 v ,刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变,k1反应时间,F使车作匀减速运动： F = ma,汽车刹车距离,参数估计,汽车刹车距离,反应时间为k10.65s,刹车时的减速度a=1/2k2 6m/s2,模型,用实验数据对k1 , k2 作拟合: k1=0.6522，k2=0.0853,内容提要,数学模型的基本概念,数学建模实例,数学建模的重要意义,数学建模的一般步骤,如何培养数学建模能力,刹车距离,生产计划,蛛网模型,人口预测,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),数学建模的全过程,例2 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,数量与价格在振荡,建立一个简化的数学模型描述这种现象,例2 市场经济中的蛛网模型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系 需求函数,生产者的供应关系 供应函数 (设滞后一个时间段),减函数,增函数,f 与g 的交点 P0(x0, y0) 平衡点,一旦 xk= x0，则,yk= y0，,xk+1= x0，,yk+1=y0, ,简化： f 与 g 线性,没有说明能不能达到平衡点？,x1,设x1偏离x0,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,例2 市场经济中的蛛网模型,方程模型,P0稳定,P0不稳定,与蛛网模型 对比,例2 市场经济中的蛛网模型,平衡状态：x0=100，y0=10 ，,=0.1, =5,=0.1, =5,=0.24, =5,=0.24, =5,x1=110,例,例2 市场经济中的蛛网模型,考察, 的含义, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度, 小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,经济稳定,结果解释,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,例2 市场经济中的蛛网模型,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制商品价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制商品数量不变,例2 市场经济中的蛛网模型,例3 汽车厂生产计划,如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量 ：,制订月生产计划，使工厂的利润最大。,基本模型,整数线性规划模型（ILP）,设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3,例3 汽车厂生产计划,模型求解,第一种办法,整数线性规划（ILP）,MATLAB LINDO/LINGO,为了得到 x1, x2, x3的整数解，在实数解附近试探：,x1=65, x2=167, x3=0;,在满足约束条件前提下，计算并比较目标函数的大小,x1=64，x2=168, x3=0; ,结果: x1=64, x2=168, x3=0; z=632,例3 汽车厂生产计划,模型求解,第二种办法,利用直接求解整数线性规划的软件 （如：LINDO/LINGO）,求解整数线性规划的复杂程度比线性规划大得多,结果与上面相同,用普通软件能求解的整数线性规划的规模受到限制,例3 汽车厂生产计划,其中3个子模型易去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：,方法1：分解为8个LP子模型,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。,x1,x2, x3=0 或 80,x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610,例3 汽车厂生产计划,方法2：引入0-1变量，化为整数线性规划(ILP),M为大的正数，如1000,x1=0 或 80,NLP可用LINGO, MATLAB求解，其结果常依赖于初值的选择，且一般不能保证得到全局最优解。（见实验7）,方法3：化为非线性规划（ NLP）,例3 汽车厂生产计划,例4 人口预报,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,指数增长模型（马尔萨斯1798年提出）,常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,例4 人口预报,指数增长模型,参数估计(r, x0),专家估计；利用实际数据作拟合,线性最小二乘法,例4 人口预报,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后美国及其它地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,指数增长模型结果分析,能描述十九世纪以前美国人口的增长,例4 人口预报,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r 固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,例