2019年高中数学第8章统计与概率8.3正态分布曲线讲义（含解析）湘教版.docx

8.3正态分布曲线读教材填要点1正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：函数p(x)e，x(，)，其中实数，(0)为参数，我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；p(x)在x处达到最大值；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡；曲线与x轴之间所夹的面积等于1.2标准正态分布随机变量X为服务从参数为和2的正态分布，简记为XN(，2)特别当0，21时称为标准正态分布，其密度函数记为(x)e (x)，其图象如图所示，简记为XN(0,1)，其分布函数记为(x)(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率P(x)68.3%；P(2x2)95.4%；P(3x3)99.7%.小问题大思维1正态曲线，(x)中参数，的意义是什么？提示：参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X)去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差D(X)去估计2如何由正态曲线求随机变量X在(a，b的概率值？提示：随机变量X落在区间(a，b的概率为P(aXb)，(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间(a，b的概率近似值，如图所示3设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图像如图所示则1与2，1与2的大小关系是什么？提示：根据正态分布曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x对称，在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”故12，12.也可通过比较两图象的最高点来判断，和，显然有1，12.正态曲线及其性质例1某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知越大， 正态曲线越扁平；越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 答案A利用正态曲线的性质可以求参数，(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求.(3)由的大小区分曲线的胖瘦1若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以，解得4.故函数的解析式为，(x)e，x(，)利用正态分布的对称性求概率例2设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)解因为XN(1,22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 7.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 50.682 7)0.135 9.正态变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(X)，P(2X2), P(3X3)的值(3)注意概率值的求解转化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)；若b，则P(Xb).2已知随机变量XN(2，2)，若P(Xa)0.32，则P(aX4a)_.解析：由正态分布图象的对称性可得：P(aX4a)12P(Xc1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4c1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，c2.(2)P(4X8)P(223X223)P(21.26)；(3)P(0.511.26)1P(X1.26)10.896 20.103 8.(3)P(0.512)0.023，求P(2X2)解：因为随机变量XN(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称又P(X2)0.023，所以P(X2)P(X4)，所以P(X4)1P(X4)10.20.8.解题高手妙解题某厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？尝试 巧思要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间(3，3)之内，还是在区间(3，3)之外若该零件的外直径在区间(3，3)之间，则认为该厂这批零件是合格的，否则，就认为该厂这批零件是不合格的妙解由于圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026，而5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的1正态分布密度函数为，(x)e，x(，)，则总体的平均数和标准差分别是()A0和8B0和4C0和2 D0和解析：选C由条件可知0，2.2右图是当X取三个不同值X1，X2，X3的三种正态曲线N(0，2)的图像，那么1，2，3的大小关系是() A11230B01212130D01213解析：选D当0，1时，正态曲线f(x)e.在x0时，取最大值，故21.由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”，于是有01214)0.2，而P(X4)P(X0)，又P(X2)0.5，P(0X2)P(X2)P(X0)0.50.20.3.4若随机变量xN(，2)，则P(x)_.解析：由于随机变量xN(，2)，其正态密度曲线关于直线x对称，故P(x).答案：5设随机变量XN(4，2)，且P(4X8)0.3，则P(X0)_.解析：P(4X8)0.3，P(0X4)0.3.P(X0)0.2.答案：0.26已知XN(1,4)，求X落在(，3)内的概率解：由题意知1，2，P(1X3)P(123)(10.683)0.158 5，在(，3)内取值的概率为10.158 50.841 5.一、选择题1已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，则P(X4)()A0.158 8B0.158 7C0.158 6 D0.158 5解析：选B正态曲线关于3对称，P(X4)0.158 7.2设随机变量X服从正态分布N(2，2)，若P(Xc)a，则P(X4c)等于()Aa B1aC2a D12a解析：选B因为X服从正态分布N(2，2)，所以正态曲线关于直线x2对称，所以P(X4c)P(Xc)1a.3若随机变量XN(2,100)，若X落在区间(，k)和(k，)内的概率是相等的，则k等于()A2 B10C. D可以是任意实数解析：选A由于X的取值落在(，k)和(k，)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线xk的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线xk对称，即k，而2，k2.4已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选B由正态分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故选B.二、填空题5某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有_人解析：设X表示该市学生的数学成绩，则XN(80,102)，则P(8010X8010)0.683.所以在80分到90分之间的人数为48 0000.68316 392(人)答案：16 3926.右图是三个正态分布XN(0，0.25)，YN(0,1)，ZN(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的_、_、_.解析：在密度曲线中，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”答案：7若随机变量X服从正态分布N(0,1)，已知P(X1.96)0.025，则P(|X|1.96)_.解析：由随机变量X服从正态分布N(0,1)，得P(X1.96)1P(X1.96)所以P(|X|1.96)P(1.96X1.96)P(X1.96)P(X1.96)12P(X1.96)120.0250.950.答案：0.9508若随机变量X的正态分布密度函数是，(x)e (xR)，则E(2X1)_.解析：由题知2，2，故E(2X1)2E(X)12(2)15.答案：5三、解答题9工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解：XN，4，.不属于区间(3,5)的概率为P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)199.7%0.3%.1 0000.0033(个)即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个10若随机变量XN(0,1)，查表求：(1)P(0X2.31)；(2)P(1