2019年高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.7离散型随机变量的方差讲义（含解析）湘教版.docx

82.7离散型随机变量的方差读教材填要点1离散型随机变量X的方差与标准差(1)当离散型随机变量X有概率分布，pjP(Xxj)，j0,1，n和数学期望E(X)时，就称D(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn为X的方差，称为X的标准差(2)X的方差描述了随机变量X向它的数学期望集中的程度，方差越小，X向数学期望集中的越好(3)如果X是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X的方差D(X)就是总体方差2，X的数学期望E(X)就是总体均值.2几个常见方差的计算公式(1)若YaXb，a，b为常数，即D(aXb)a2D(X)；(2)当X服从二点分布(1，p)时，D(X)p(1p)；(3)当X服从二项分布B(n，p)时，D(X)np(1p)；(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，D(X).小问题大思维1离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量2D(X)的取值范围是什么？若b为常数，则D(b)为何值？提示：因为D(X)(xiE(X)2pi，其中(xiE(X)20，pi0，所以D(X)的取值范围为0，)因为b为常数，所以x1x2xnE(X)b，故D(b)0.3D(X)与X的单位之间有什么关系？提示：D(X)的单位是X的单位的平方求离散型随机变量的方差例1(1)设随机变量X的分布列为()X1234P则D(X)等于()A.B.C.D.(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是.求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差解析(1)选C由题意知，E(X)1234，故D(X)2222.(2)解：易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且XB，E(X)62，D(X)6.由已知Y30X，E(Y)30E(X)60，D(Y)900D(X)1 200.由离散型随机变量的概率分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可但需要注意，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率1某运动员投篮命中率p0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为_解析：依题意知X服从两点分布，所以D(X)0.8(10.8)0.16.答案：0.162一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差解：设摸得白球的个数为X，依题意得P(X0)，P(X1)，P(X2).所以E(X)012，D(X)222.离散型随机变量方差的性质例2(1)已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则E()，D()分别是()A6,2.4B2,2.4C2,5.6 D6,5.6(2)已知X是离散型随机变量，P(X1)，P(Xa)，E(X)，则D(2X1)()A. BC. D.解析(1)XB(10,0.6)，E(X)100.66，D(X)100.6(10.6)2.4，E()8E(X)2，D()(1)2D(X)2.4.(2)由题意，知1a，解得a2，D(X)22，D(2X1)22 D(X)4.答案(1)B(2)D求随机变量函数YaXb方差的方法求随机变量函数YaXb的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aXb)a2D(X)求解3已知的分布列为010205060P(1)求的方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y)解：(1)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.(2)Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.方差的实际应用例3甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X、Y，X和Y的概率分布如下表：X012PY012P试对这两名工人的技术水平进行比较解工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：E(X)0120.7，D(X)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：E(Y)0120.7，D(Y)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E(X)E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定4甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)00.310.320.230.21.3，D(X)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)00.110.520.41.3，D(Y)(01.3)20.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41.因为E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.解题高手妙解题最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，.第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由尝试 巧思合理的理财方案应满足两个条件：获利高；稳妥性强因此可从数学期望和方差两个方面考虑优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应考虑选择方差较小的方案妙解若按方案一执行，设收益为X万元，则其概率分布为X42PE(X)4(2)1万元若按方案二执行，设收益为Y万元，则其概率分布为：Y201PE(Y)20(1)1万元若按方案三执行，收益y104%(15%)0.38万元又E(X)E(Y)y.D(X)(41)2(21)29，D(Y)(21)2(01)2(11)2.由上知D(X)D(Y)这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理1下列说法中，正确的是()A随机变量的期望E(X)反映了X取值的概率平均值B随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平C随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平D随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值解析：选C离散型随机变量X的期望反映了随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度2已知XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则n与p的值分别是()An100，p0.08Bn20，p0.4Cn10，p0.2 Dn10，p0.8解析：选D由于XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6.所以np8，np(1p)1.6，解之得n10，p0.8.3已知离散型随机变量X的概率分布为：P(Xk)，k1,2,3，则D(3X5)等于()A3 B6C9 D4解析：选BE(X)(123)2，D(X)(12)2(22)2(32)2，D(3X5)9D(X)6.4同时抛掷两枚均匀的硬币10次，若两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)_.解析：因为两枚硬币同时出现反面的概率为，故XB，因此D(X)10.答案：5已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，则X的方差为_.X135P0.40.1x解析：由条件知，x0.5.E(X)10.430.150.53.2，D(X)(13.2)20.4(33.2)20.1(53.2)20.53.56.答案：3.566设X是随机变量，P(Xa)，P(Xb)，且ab.又E(X)，D(X)，求ab的值解：由题意知，解得或又aD(X乙)乙种水稻比甲种水稻整齐2随机变量X的概率分布为P(Xk)pkq1k(k0,1，pq1)，则E(X)与D(X)依次为()A0和1Bp和p2Cp和1p Dp和p(1p)解析：选D根据题意，E(X)0q1pp，D(X)(0p)2q(1p)2pp(1p)，或可以判断随机变量X满足两点分布，所以E(X)与D(X)依次为p和p(1p)3已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X2)9.2，D(3X2)12.96，则二项分布的参数n，p的值为()An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1解析：选B由E(3X2)3E(X)2，D(3X2)9D(X)，当XB(n，p)时，E(X)np，D(X)np(1p)可知4设随机变量的分布列为P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E()24，则D()的值为()A8B12C.D16解析：选A由题意可知B，nE()24，n36，D()n368.二、填空题5随机变量X的概率分布为：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)，则D(X)的值是_解析：E(X)1a0b1cca，又abc1，且2bac，a，b，c.D(X)222.答案：6一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一