江苏专用高考数学复习三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理.docx

专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习 理一、填空题1.已知R，sin 2cos ，则tan 2_.解析sin 2cos ，sin2 4sin cos 4cos2.用降幂公式化简得4sin 23cos 2，tan 2.答案2.(2016泰州调研)已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b_.解析化简23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2A10，又角A为锐角，解得cos A，由a2b2c22bccos A，得b5.答案53.(2016全国卷改编)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A_.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.答案4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_.解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6.答案5.(2012江苏卷)设为锐角，若cos，则sin的值为_.解析为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案6.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_.解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.答案87.(2010江苏卷)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cos C，则_.解析6cos C6abcos Ca2b2，6aba2b2，a2b2.，由正弦定理得：上式4.答案48.(2014江苏卷)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.cos C的最小值为.答案二、解答题9.(2016北京卷)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA，0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin，0A，A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值为1.10.在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值.解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)，因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4，由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.11.(2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理，得BCsin A500(m).乙从B出发时，甲已走