经济数学第五章级数与拉普拉斯变换.doc

第5章 级数与拉普拉斯变换无穷级数是进行数值计算的一个重要工具,在自然科学与工程技术中有着广泛的应用.本章在介绍无穷级数的基本概念、性质以及数项级数敛散性的基础上，讨论如何将一般函数展开成幂级数与三角级数.无穷级数包括：数项级数、幂级数、傅里叶级数.无穷级数是研究函数的工具，它主要有以下这些作用：表示函数、研究性质、数值计算.51 级数的基本概念和性质一、无穷级数的基本概念1.设u1 ， u2 ， ， u ， （5.1.1）是按一定顺序排列起来的一个无穷数列，对数列（5.1.1）的各项依次用加号连接起来的表达式u1u2u （5.1.2）叫做无穷级数（简称级数）.其中u1叫作级数的第1项（也叫首项），u2叫作级数的第2项，第n项叫作级数的一般项（或者叫通项）2.如果级数（5.1.2）中的各项是常数，则称级数（5.1.2）为常数项级数（简称数项级数）例如 为一个数项级数，记作.3.如果级数（5.1.2）中的各项是变量x的函数，则称级数（5.1.2）为函数项级数例如 x+x2+ x3+xn+ 为一个函数项级数，记作.二、级数的敛散性1.从级数（5.1.2）的首项加到第n项止，即级数的前n项（有限项）的和sn= = u1u2u 叫做级数的部分和 当n依次取1，2，3，时，级数的部分和构成一个新的数列s1，s2，s3，sn，叫做级数的部分和数列，记作sn2. 当n时，如果级数（5.1.2）的部分和数列sn存在极限，即 则称级数（5.1.2）收敛，极限值s称为级数（5.1.2）的和记作 s=u1u2u+3. 当n时，如果级数（5.1.2）的部分和数列sn没有极限，则称级数（5.1.2）发散，这时级数（5.1.2）就没有和4.当级数收敛时，其部分和sn是级数的和s的近似值，称ssn为级数的余项，记为rn，即rn=ssn= un+1un+2由此定义可知，级数与其部分和数列有着紧密的联系，也就是说，级数的收敛、发散性（简称敛散性）就是用级数的部分和数列是否有极限来定义的正因为如此，我们不难看出，数列与级数是一个问题的两种形式，一般地，任给级数（5.1.2），则对应一个数列sn，反之对于给定数列sn可令u1=s1 ，u2=s2 s1 ，un=sn sn-1， 从而构成级数这样级数的问题常可以转化为数列的问题来研究，数列的问题也可以转化为样级数的问题来处理例1 讨论几何级数（等比级数）a+aq+aq2+ aqn-1+ （5.1.3）（其中q是公比，a0）的敛散性解 如果q1，则部分和sn= a+aq+aq2+ aqn-1= 当1时，由于=，所以=，即级数发散；当q=1时，sn=na，所以=，即级数发散；当q=1时，此时级数为 aaaaa 即其部分和为 所以sn的极限不存在，级数发散根据以上讨论可得：当1时，等比级数收敛，其和为； 当1时，等比级数发散例2讨论级数 的敛散性 解 级数的前n项和 sn= = =1由于 所以级数收敛，且其和为1三、 收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散以及和的概念，可以得出收敛级数的几个基本性质1.性质1（数乘性） 如果级数收敛于和s，则级数（k为非零常数）且其和为ks性质1告诉我们：级数的每一项同乘一个非零常数后，它的收敛性不会改变2.性质2（和差性） 如果级数、分别收敛于s、，则级数也收敛，且其和为s性质2告诉我们：收敛级数的和（或差）所构成的级数等于级数的和（或差）3.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性4.性质4 如果级数收敛，则对该级数的项任意加括号后所成的新级数仍收敛，且其和不变性质4告诉我们：对于收敛级数，只要不改变级数各项的次序，我们可以任意合并它的一些项，级数仍然收敛，且收敛于原来的和推论 如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散5.性质5（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则它的一般项un趋于零，即 性质5告诉我们：如果级数的一般项不趋于零，则该级数必发散注意： 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的 例3：调和级数 （5.1.4） 虽然有 ， 但级数是发散的假设级数（5.1.4）收敛，设它的部分和sn，且sns（n）显然，对级数（5.1.4）的部分和s2n，也有s2ns（n）于是s2nsnss=0（n）但另一方面s2nsn= = 故s2nsn不趋于零，与假设级数（5.1.4）收敛矛盾，这说明级数（5.1.4）必发散 习题51 1 写出下列级数的一般项： （1） （2） （3） （4） 2 根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性： （1） （2） （3） 3判断下列级数的收敛性： （1） （2） （3） （4） （5）52 常数项级数的审敛法 一、正项级数审敛法如果级数，其中un0，（n=1，2，3，），则称级数为一正项级数；如果un0，（n=1，2，3，），则称级数为一负项级数将负项级数每项乘以1，负项级数就变成了正项级数显然，负项级数与正项级数相比，只差一个符号，由性质1可知：正项级数与负项级数具有相同的敛散性于是负项级数可以归结为正项级数来研究，为此，我们着重研究正项级数的敛散性（一）正项级数收敛的充要条件定理一 正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列sn有界即存在某正数M，对一切自然数n sn=M 成立如果部分和数列sn无界，单调增加的无界数列sn必发散，故级数发散定理一表明：判断正项级数的收敛问题，可化为判断该级数的部分和数列sn是否有界的问题例1证明级数是收敛的证 sn= = =11 对一切自然数n都成立，也就是说，该正项级数的部分和数列有界， 该级数是收敛的 例2讨论正项级数 的敛散性解 因为 （n=1，2，）于是 = 即对一切自然数n都有sn2也就是说：该正项级数的部分和数列有界，故级数收敛一般来说：判断sn有界并不容易，为此，往往不直接利用定理一来判断正项级数的敛散性，而是常用正项级数的比较判别法来判断正项级数的收敛性（二）正项级数比较判别法定理二 比较判别法设和都是正项级数，且（n=1，2，）（1） 若级数收敛，则级数也收敛（2） 若级数发散，则级数也发散 例3 证明级数 是发散的 证 因为级数的一般项un=0，而级数与级数有相同的敛散性，因调和级数是发散的，即级数亦发散，由正项级数的比较判别法推得级数也发散 例4 证明级数 （a0）收敛 证 因为级数的一般项0un= 而等比级数是收敛的，故由正项级数的比较判别法推得级数亦收敛 例5 讨论p级数 = （p0）的敛散性 解 当p1时 ；由于调和级数是发散的，根据比较判别法，当p1时p级数是发散的；当p1时，顺序把所给级数一项、两项、四项、八项括在一起，得到 = = = 但最后一个级数是等比级数，其公比q=1，所以收敛于是，当p1时,p级数收敛 综上所述：p级数当当p1时发散；当p1时收敛例如 （1） 级数 = 为p级数，因为其中p= 1，故该级数发散（3） 级数 为p级数，因为其中p=21，故该级数收敛应用比较判别法的关键在于，把所要判定的正项级数与一个已知的正项级数作比较一般把几何级数、调和级数、p级数作为比较级数对于比较判别法，在应用时还有不太方便之处，我们经常使用另外一种判别法比值判别法（三）正项级数的比值判别法定理三 比值判别法（达朗贝尔比值判别法）设正项级数之后项与前项的比值的极限等于 ，即： 则（1）当1时，级数收敛； （2）当1（或）时，级数发散；（4） 当=1时，级数可能收敛也可能发散例6判别级数 的敛散性解 第n项为un=于是得=因为 =01根据比值判别法，级数收敛例7判别级数 的敛散性解 第n项为于是得因为根据比值判别法，级数发散例8判别级数的敛散性解 第n项为于是=因为=故级数发散例9判别级数 的敛散性解 第n项为于是= = 因此=此时，=1,比值判别法失效，必须用其他方法判别级数的敛散性（四）正项级数的根值判别法（柯西判别法） 设正项级数的一般项un的n次方根等于极限L，即=L 则（1）当L1时，级数发散； （3）当L=1时，级数可能收敛也可能发散例10判别级数的敛散性解 因为=1由根值判别法知，级数是收敛的 二、 交错级数定义1 凡各项是正、负交错的级数，叫交错级数即 （1） 或 （2）对于交错级数的收敛性有下面的判别方法定理1 （莱布尼兹判别法）若交错级数满足下面两个条件 （1） （n=1，2，3，） （2）则交错级数（1）收敛，其和，其余项的绝对值un+1证 先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此把s2n写成两种形式： s2n=及 s2n= 根据条件（1）知道所有括号中的差都是非负的，由第一种形式可见数列s2n是单调增加的，由第二种形式可见s2nu1于是，根据单调有界数列必有极限的准则知道，当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1： =su1 再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s事实上，我们有 s2n+1=s2n+u2n+1 由条件（2）可知 ，因此 =s 由于级数的前偶数项的和与奇数项的和趋于同一极限s，故级数的部分和sn当时具有极限s这就证明了级数收敛于和s，且su1 最后，不难看出余项rn可以写成 rn=（un+1un+2 ）其绝对值 un+1un+2 ，上式右端也是一个交错级数，它也满足收敛的两个条件，所以其和小于级数的第一项，也就是说证明完毕 例1 判断交错级数的敛散性解 因为： ； 由交错级数的莱布尼兹判别法可知该级数收敛三、 绝对收敛与条件收敛 定义2 如果级数 其中（n=1，2，）可正，可负的每一项的绝对值所构成的级数 收敛，则称原级数绝对收敛例2 判断级数 是否绝对收敛 解 因为，此级数为p级数（p=21）是收敛的，所以原级数是绝对收敛的 定义3 如果级数 收敛，而级数 发散，则称级数为条件收敛例3判断级数是否条件收敛 解 因为级数是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，所以它是收敛的但是调和级数，是发散的，故原级数为条件收敛定理2 如果级数绝对收敛，则级数必定收敛该定理告诉我们：对于一般的级数，如果我们能够用正项级数的收敛性判断方法判定级数收敛，则级数收敛，这使锝一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题例4判定级数的收敛性解 因为，而级数收敛，所以级数也收敛，由定理2知，级数收敛习题52 1 用比较判别法判定下列各级数的敛散性 （1） （2） （3） （4） 2 用比值判别法判定下列各级数的敛散性 （1） （2） （3） （4） 3 用根值判别法判定下列各级数的敛散性 （1） （2）（3） （4） 判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） （2） （3） （4） （5） （6）53 幂级数 一 、函数项级数的概念如果给定一个定义在区间I上的函数列 则由这函数列构成的表达式 （1）则称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数 对于每一个确定的值I，函数项级数（1）成为常数项级数 （2）这个级数（2）可能收敛也可能发散如果（2）收敛，我们称点是函数项级数（1）的收敛点；如果（2）发散，我们称点是函数项级数（1）的发散点函数项级数（1）的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域对应于收敛域内的任意一个数，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s，这样，在收敛域上，函数项级数的和是的函数，通常称为函数项级数的和函数，该函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 把函数项级数（1）的前n项的部分和记作，则在该收敛域上有 我们仍把叫做函数项级数的余项（当然，只有在收敛域上才有意义），于是有 二、 幂级数的概念及其收敛性 1 幂级数的概念函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数即所谓幂级数，它的形式是 （3）特别地，当=0时，就有如下形式 （4）其中常数叫做幂级数的系数今后我们主要讨论形如（4）的幂级数，例如 都是幂级数 2 幂级数的收敛性 现在我们来讨论：对于一个给定的幂级数，它的收敛域与发散域是怎样的？即取数轴上那些点时幂级数收敛，取那些点时幂级数发散？这就是幂级数的收敛性问题 先看一个例子，考察幂级数1+x+x2+ x3+xn+ 的收敛性我们知道，当时，该级数收敛于和；当时，该级数发散因此，该级数的收敛区域是开区间（1，1），发散域是及，如果在区间（1，1）内取值，则=1+x+x2+ x3+xn+在这个例子中我们看到，这个幂级数的收敛域是一个区间事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的我们有如下定理定理1（阿贝尔（Abel）定理）如果幂级数（4）当（）时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛；反之，如果幂级数（4）当时发散，则适合不等式的一切时这幂级数发散定理1告诉我们：如果幂级数在点处收敛，则对于开区间内的任何，幂级数都收敛；如果幂级数在点处发散，则对于闭区间外的任何点，幂级数都发散设已给幂级数在数轴上既有收敛点（不仅是原点）也有发散点现在从原点沿数轴向右方走，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，这两部分的分界点可能是收敛点也可能是发散点；从原点沿数轴向左方走的情形也是如此两个分界点与在原点的两侧，且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的（如图）从上面的几何说明，我们就得到重要的推论：推论 如果幂级数（4）不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得（1） 当时，幂级数绝对收敛；（2） 当时，幂级数发散；（3） 当与时，幂级数可能收敛也可能发散 正数R通常叫幂级数（4）的收敛半径开区间叫做幂级数（4）的收敛区间再由幂级数在处的收敛性就可以决定它的收敛域是、或这四个区间之一 如果幂级数（4）只在处收敛，这时收敛域只有一点，但为了方便起见，我们规定这时收敛半径；如果幂级数（4）对一切收敛，则规定收敛半径，这时收敛域是这两种情形确实都是存在的，见下面的例2、例3 3 幂级数的收敛半径的求法 关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理： 定理2 如果 其中、是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 例1 求幂级数 的收敛半径和收敛区间 解 因为 所以收敛半径为R=1 对于端点，这时级数除去第一项就成为调和级数 级数发散 对于端点，这时级数除去第一项就成为交错级数 级数 收敛，故幂级数的收敛域是例2求幂级数 的收敛域解 因为所以收敛半径R=+，从而收敛域是例3求幂级数的收敛半径（规定0！=1）解 因为=所以收敛半径R=0，即级数仅在处收敛例4求幂级数的收敛半径解 令t=，则上述级数变为 因为 =所以收敛半径R=2，收敛区间为，即 当时，级数成为调和级数，这级数发散；当时，级数成为交错级数，这级数收敛因此原级数的收敛域为 三 幂级数的运算 幂级数在收敛区间内表示一个函数，下面我们介绍用幂级数表示的函数在收敛区间内如何进行运算设有两幂级数 和函数分别为、，收敛半径分别为、，记，则在内有如何进行运算： 1加（或减）法运算 = = 这就是说，两收敛的幂级数，至少在中可以求和（或差），其和（或差）也是幂级数，其系数为原幂级数的系数的和（或差），其和函数为原两幂级数的和函数的和（或差） 2 乘法运算= =+ +因而，在区间中，两收敛的幂级数的乘积也是一个幂级数，其的系数由项形如之和构成除了上述四则运算外，关于幂级数的和函数有下列重要性质：3 和函数的连续性 设幂级数 收敛于和且其收敛半径为R，则在收敛区间内，其和函数是连续函数4微分运算设=，收敛半径为R，则对在内任意一点，有= = 这就是说，收敛幂级数可以逐项微分，得到的仍是幂级数，且其收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数的导数 5 积分运算设=，收敛半径为R，则对在内任意一点，有 = = = 这就是说，收敛幂级数可以逐项积分，得到的仍是幂级数，且其收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数在相应区间上的积分 例5求幂级数的和函数解 先求收敛半径由=得收敛半径R=1 在端点处，幂级数成为是收敛的交错级数；在端点处，幂级数成为是发散的调和级数因此收敛域为 设和函数为，即 = 于是 =由幂级数的逐项可导性得 1对上式从0到积分得 = 1 于是，当时，有=而可由=1得出，也可以由和函数的连续性得到 =故 一 泰勒级数前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质但在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，也就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数，如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了函数1 泰勒公式如果在点的某邻域内有直到的导数则对此另邻域内任一有 （其中在与之间）上式称为的泰勒展开式或泰勒公式，利用泰勒公式，我们可以用一个关于的n次多项式（也称为泰勒多项式）来近似的表达函数，并可通过余项估计误差在泰勒公式中，当时，记，此时公式成为称为的麦克劳林公式，或称为按的幂展开的泰勒公式 2泰勒级数 如果在点的某邻域内具有各阶导数，我们称级数 为在的泰勒级数特别当时，则称它为的麦克劳林级数即 泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广，于是，带来了两个问题：一个是该级数在什么条件下收敛，二是该级数是否收敛于函数，关于这些问题，有下叙定理 定理 设函数在点的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零即 =0也就是说，函数能展开成泰勒级数必须满足如下两个条件：（1）在所讨论的的邻域内存在各阶导数；（2）其余项 =0两者缺一不可此外，我们可以证明这种展开式是唯一的（证明不作要求）二 函数展开成幂级数 下面，我们把最常见的初等函数展开成幂级数 1 直接展开法 由以上讨论结果可以看出，直接按公式将所给函数展开成的幂级数的步骤是；（1） 求出各阶导数，如果在（主要讨论的情形）处某阶导数不存在，就停止进行；（2） 求函数及各阶导数在处的值 ；（3） 求出幂级数的收敛半径；（4） 考察当在收敛区间内时余项的极限= （其中在与之间）是否为零，如果为零，则第三步求出的幂级数就是函数的幂级数展开式；如果不为零，幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数例1 将函数=展开成的幂级数 解 求出各阶导数=，=，=，于是 ，故得级数 它的收敛半径为对于任何有限数， （在0与之间）余项的绝对值为 因为有限，而是收敛级数的一般项，所以，当时，0 即=0所以得展开式 = 例2 将函数展开成的幂级数解 求出各阶导数=,=,=,=,于是，=0，=1，=0， ，顺序循环得这几个数：0，1，0，于是得级数它的收敛半径 对于任何有限数， （在0与之间）余项的绝对值，当时极限为零 = 即 于是得展开式 （）用同样的方法可证得= （） 2 间接展开法以上两个例子是用直接方法（直接按公式计算幂级数的系数）展开成幂级数的，这种直接方法计算量较大，而且最后要考察余项是否收敛于零，这是一件很不容易的事情下面，我们利用幂级数本身的性质，如四则运算，逐项微分，逐项积分等，把函数展开成为的幂级数，这样计算简单，而且往往可以避免直接研究余项，根据函数展开的唯一性，可知这与直接方法所得的结果一样 （）如把它逐项微分，就得到= （）例3 将函数展开成的幂级数 解 因为，而是收敛的几何级数 （-11） 的和函数，即 （-11）所以将上式从0到逐项积分，得 （-11）此展开式对于=1也是正确的，于是有 为了便于记忆和查阅，现将几个重要函数的幂级数展开式归纳如下：（1）= （2） （）（3）= （）（4） （5） 最后，再举一个将函数展开成的幂级数的例子例4 将函数=展开成的幂级数 解 因为 = = =用公式表中（2）、（3）得 两式相加，就有 习题5.3 1.求下列幂级数的收敛域 （1） （2） （3）（4）（5）（6） 2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数（1）（2）（3） 3. 求级数在收敛区间内的和函数，并求4 .将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛区间1、 2、3、 4、5、 6、5.将下列函数展开成的幂级数 1、 2、 3、 54 傅里叶级数这一节我们在函数级数的一般理论的基础上，讨论各项皆为三角函数（正弦函数和余弦函数）的所谓傅里叶级数的收敛性以及如何把已知函数展成傅里叶级数的问题傅里叶级数是一类非常重要的函数级数它在电学、力学、声学和热力学等学科中都有着广泛的应用 一、三角级数、三角函数系 在自然界和工程技术中，周期运动的现象是很多的例如，较简单的周期运动有单摆的摆动，蒸汽机活塞的往复，交流电的电流和电压等，较复杂的周期运动有机械振动、热传导等其中最简单的周期运动即所谓的简谐振动可用正弦函数（也可用余弦函数）来描述，其中为振幅，为角频率，为时间，为初相角，简谐振动的周期为，较复杂的周期运动是几个简谐振动 的叠加为了讨论问题方便起见，令于是每个简谐振动 的周期为，它们具有共同的周期无穷多个简谐振动的叠加，得到函数级数 如果此函数级数收敛，则它表示更为复杂的周期运动此函数级数收敛的一般项可表示为= =如果用表示，表示，表示，则上述函数级数可表示为 （1）称（1）式为三角级数，其中，称为三角级数（1）的系数函数蔟 1 ， ， ， ， ， （2）称为三角函数系 二、 三角函数系的性质 三角函数系（2）如下的性质：（1） 三角函数系中所有函数都具有共同的周期（2 ）三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在闭区间上的积分等于0事实上， （2） 三角函数系中，任何一个函数的平方在闭区间上的积分不等于0事实上， 一般说来，如果两个非恒为0的函数与皆在闭区间上可积，且 =0则称函数与皆在闭区间上正交 显然，三角函数系（2）中任何两个函数在闭区间上正交，因此，称三角函数系（2）在闭区间上是正交函数系 三、函数展开成傅里叶级数 设是周期为的周期函数，且能展开成三角级数 = （3）我们自然要问：系数与函数之间存在着怎样的关系？换句话说，如何利用把表达出来？利用三角函数系（2）正交性及积分的有关知识，有下面的结果（证明不作要求） 如果以上公式中的积分都存在，这时通过它们求出的系数叫做函数的傅里叶系数，将这些系数代入（3）式右端，所得的三角级数叫做函数的傅里叶级数一个定义在上的周期为函数，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出的傅里叶级数然而，函数的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数？一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的，那么，在怎样的条件下，它的傅里叶级数不仅收敛，而且收敛于？也就是说，满足什么条件可以展开成傅里叶级数？这是我们面临的一个基本问题下面我们给出一个收敛定理（不加证明），它给出关于上述问题的一个重要结论定理 （收敛定理） 设是周期为的周期函数，如果它满足：（1） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2） 在一个周期内至多只有有限个极值点， 则的傅里叶级数收敛，并且 当是的连续点时，级数收敛于； 当是的间断点时，级数收敛于 此定理告诉我们：只要函数在上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左极限与右极限的算术平均值可见，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多记 ，在C上就成立的傅里叶级数展开式= 例1 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为 将展开成傅里叶级数解 所给函数满足收敛定理的条件，它在处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知的傅里叶级数收敛，并且当时级数收敛=当时级数收敛于，和函数的图形如下计算傅里叶系数如下： = =0 （n=0，1，2，）； = = = = =将所求得的系数代入傅里叶级数展开式得：（；） 如果把例1的函数理解为矩形波的波形函数（周期，幅值，自变量表示时间），那么上面所得的展开式表明：矩形波是