高中数学变化率与导数2.1变化的快慢与变化率学案北师大版.docx

1变化的快慢与变化率1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)基础初探教材整理1函数的平均变化率阅读教材P25P27“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.通常我们把自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，记作x，函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变量，记作y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即.2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由xx2x1，知x可以为0.()(2)yf(x2)f(x1)是xx2x1相应的改变量，y的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.()(3)对山坡的上、下两点A，B中，可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2函数瞬时变化率阅读教材P27“练习1”以下至P30“练习2”以上部分，完成下列问题.1.定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0), 则函数的平均变化率是.当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.一质点运动规律是st23(s的单位为m，t的单位为s)，则在t1 s时的瞬时速度估计是_m/s.【解析】ss(1t)s(1)(1t)23(123)2t(t)2，2t，当t趋于0时，趋于2.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：小组合作型求函数的平均变化率(1)已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44(2)已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【精彩点拨】(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得.(2)【自主解答】(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.【答案】B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为s2(t0t)，故.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快.1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.再练一题2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图212所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()图212A.甲的日生产量大于乙的日生产量B.甲的日生产量小于乙的日生产量C.甲的日生产量等于乙的日生产量D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.【答案】B探究共研型瞬时变化率探究1高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，求运动员在时间内的平均速度为多少？【提示】易知hh(0)，0.探究2物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？【提示】不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.探究3如何描述物体在某一时刻的运动状态？【提示】可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为ss(t)，可先求物体在(t0，t0t)内的平均速度，然后t趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度.一辆汽车按规律s3t21做直线运动，估计汽车在t3 s时的瞬时速度.(时间单位：s；位移单位：m)【精彩点拨】先求时间从3到3t时的平均速度，再由t趋于0求得瞬时速度.【自主解答】当时间从3变到3t时，3t18，当t趋于0时，趋于常数18.这辆汽车在t3 s时的瞬时速度为18 m/s.求函数f(x)在点xx0处的瞬时变化率的步骤：(1)求yf(x0x)f(x0)；(2)计算，并化简，直到当x0时有意义为止；(3)将x0代入化简后的即得瞬时变化率.再练一题3.求函数yf(x)3x2x在点x1处的瞬时变化率. 【导学号：94210032】【解】yf(1x)f(1)3(1x)2(1x)(31)7x3(x)2.73x.当x趋于0时，73x趋于7307.函数y3x2x在点x1处的瞬时变化率为7.构建体系1.在曲线yx21的图像上取一点(1，2)及附近一点(1x，2y)，则为()A.x2B.x2C.x2D.2x【解析】2x，故选C.【答案】C2.一质点运动的方程为s53t2，则在一段时间1，1t内相应的平均速度为()A.3t6B.3t6C.3t6D.3t6【解析】63t.【答案】D3.已知函数y，当x由2变为1.5时，函数的改变量y_. 【导学号：94210033】【解析】y.【答案】4.设某产品的总成本函数为C(x)1 100，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为_.【解析】.【答案】5.在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s10t5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：(1)t20，t0.1时s与；(2)t20时的瞬时速度.【解】(1)ss(20t)s(20)10(200.1)5(200.1)21020520212050.0121.05(m)，210.5(m/s).(2)5t210，当t趋于0时，趋于210，所以在t20时的瞬时速度为210 m/s.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.函数yf(x)3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.12【解析】yf(3)f(1)333124，则12.故选A.【答案】A2.函数f(x)x21在区间1，m上的平均变化率为3，则实数m的值为()A.3B.2C.1D.4【解析】由已知得3，m13，m2.【答案】B3.将半径为R的球加热，若球的半径增量为R，则球的表面积增量S等于()A.8RRB.8RR4(R)2C.4RR4(R)2D.4(R)2【解析】球的表面积S4R2，则S4(RR)24R28RR4(R)2.【答案】B4.函数yf(x)3x1在点x2处的瞬时变化率估计是()A.2B.3C.4D.5【解析】yf(2x)f(2)3(2x)1(321)3x，则3，当x趋于0时，趋于3.故选B.【答案】B5.一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度为()A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s【解析】t5.当t趋于0时，趋于5，所以此物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s.【答案】C二、填空题6.物体的运动方程是s(t)4t0.3t2，则从t2到t4的平均速度是_. 【导学号：94210034】【解析】由题意可得，t422，s(440.342)(420.322)11.26.84.4，平均速度为2.2.【答案】2.27.已知函数f(x)x22x3，且yf(x)在2，a上的平均变化率为，则a_.【解析】a.【答案】8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图213所示.在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是_.图213【解析】1kMA，2kAB，3kBC，由图像可知：kMAkAB21.【答案】321三、解答题9.比较yx3与yx2在x2附近平均变化率的大小.【解】当自变量x从x2变化到x2x时，yx3的平均变化率k1(x)26x12，yx2的平均变化率k2x4.k1k2(x)25x80，k1k2.在x2附近yx3的平均变化率较大.10.已知质点M按规律s3t22做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s).(1)当t2，t0.01时，求；(2)求质点M在t2时的瞬时速度.【解】6t3t.(1)当t2，t0.01时，6230.0112.03 cm/s.(2)当t趋于0时，6t3t趋于6t，质点M在t2时的瞬时速度为12 cm/s.能力提升1.以初速度为v0(v00)做竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，则物体在t0秒到t0t秒间的平均速度为()A.v0gt0gtB.v0gt0C.v0gtD.gt0gt【解析】sv0(t0t)g(t0t)2v0t0gt(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt，物体在t0秒到t0t秒间的平均速度为v0gt0gt.【答案】A2.一物体的运动方程是sat2(a为常数)，则该物体在tt0时的瞬时速度是()【导学号：94210035】A.at0B.at0C.at0D.2at0【解析】a(t0t)2atatat0，t趋于0时，趋于at0.【答案】A3.(2016临沂高二检测)设c是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为cc(q)，当产量为q0时，产量的变化q对成本的影响可用增量比刻画，如果q无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本，它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出的成本为A，它是实际付出成本的一个近似值.若某一产品的成本c与产量q满足函数关系c3q21，则当产量q30时的边际成本是_.【解析】c3(30q)21(33021)180q3(q)2，1803q.当q趋于0时，趋于180，当产量q30时的边际成本为180.【答案】1804.(2016南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单