高中数学第3章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义3.2.2最大值最小值问题学案北师大版.docx

2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)基础初探教材整理1导数的实际意义阅读教材P63P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且vv(t)，则v(1)表示()A.t1 s时的速度B.t1 s时的加速度C.t1 s时的位移D.t1 s的平均速度【解析】v(t)的导数v(t)表示t时刻的加速度，故选B.【答案】B教材整理2函数的最值与导数阅读教材P66，完成下列问题.1.最大值点与最小值点.函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.函数的最大值和最小值统称为最值.1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.()(2)开区间上的单调连续函数无最值.()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.()【答案】(1)(2)(3)2.函数f(x)2xcos x在(，)上()A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型导数在实际问题中的意义如图321所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)t36t216t.图321(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求W(1)，W(2)，并解释它们的实际意义.【精彩点拨】弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.【自主解答】(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)11 J变到W(3)21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为5(J/s).它表示从t1 s到t3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W(t).根据导数公式和求导法则可得W(t)3t212t16，于是，W(1)7 J/s，W(2)4 J/s.W(1)和W(2)分别表示t1 s和t2 s时，这个人每秒做的功分别为7 J和4 J.1.函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.再练一题1.已知某商品生产成本c与产量q(0q200)的函数关系为c1004q，价格p与产量q的函数关系为p25q，求利润L关于产量q的关系式，用Lf(q)表示，并计算f(80)的值，解释其实际意义.【解】f(q)pqcq(1004q)，f(q)q221q100(0q200)，f(q)q21，f(80)80211.说明产量q80时，产量每增加1，利润也增加1.求函数的最值求函数f(x)4x33x236x5在区间2，3上的最大值与最小值. 【导学号：94210063】【精彩点拨】求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值.【自主解答】f(x)12x26x36，令f(x)0，得2x2x60，x2或.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如表所示：x23f(x)00f(x)5732f(x)在x处取极小值，且f.又f(2)57，f(3)32，f(x)的最大值为f(2)57，f(x)的最小值为f.求f(x)在a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值点；(2)求出f(x)在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.再练一题2.已知函数f(x)x33x2m(x2，2)，f(x)的最小值为1，则m_.【解析】f(x)3x26x，x2，2.令f(x)0，得x0或x2，当x(2，0)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值，f(0)m1.【答案】1最值问题的实际应用某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【精彩点拨】(1)根据x5时，y11求a的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值.【自主解答】(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本.(2)利润每件产品的利润销售件数.再练一题3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p24 200x2，且生产x吨的成本为R50 000200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解】每月生产x吨时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)，由f(x)x224 0000，解得x200或x200(舍去).因为f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.探究共研型与最值有关的恒成立问题探究1已知函数f(x)2ln x，若当a0时，f(x)2恒成立，如何求实数a的取值范围？【提示】由f(x)2ln x得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)时，f(x)0.故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1.要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，则ae.故a的取值范围为e，).探究2函数最值和“恒成立”问题有什么联系？【提示】解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.如f(x)0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去).当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g(t)0g(t)单调递增极大值1m单调递减g(t)在(0，2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0，2)内恒成立等价于g(t)0在(0，2)内恒成立，即等价于1m0，得x，又x0，2，所以g(x)在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在上，函数f(x)ming(x)max.由(1)可知在上，g(x)的最大值为g(2)1.在上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立.设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.即函数h(x)xx2ln x在上单调递增，在1，2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，即实数a的取值范围是1，).构建体系1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.C.1D.8【解析】原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.【答案】C2.函数yx44x3在区间2，3上的最小值为() 【导学号：94210064】A.72B.36C.12D.0【解析】因为yx44x3，所以y4x34.令y0，解得x1.当x1时，y0，函数单调递减；当x1时，y0，函数单调递增，所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3取得最小值0.【答案】D3.函数y在0，2上的最大值为_.【解析】y，令y0，得x10，2.f(1)，f(0)0，f(2)，f(x)maxf(1).【答案】4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台.【解析】设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6).令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.【答案】65.已知a为实数，f(x)(x24)(xa).(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2，2上的最大值和最小值.【解】(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，f(x)在2，2上的最大值为，最小值为.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.函数f(x)x33x(x0，当x(1，1)时，f(x)0.从而函数f(x)有最大值，无最小值，故选A.【答案】A2.一物体沿直线运动的方程为s(t)t4t32t2，那么速度为0的时刻为(s单位：m，t单位：s)()A.1 sB.0 sC.4 sD.0 s，1 s，4 s【解析】s(t)t35t24t，根据导数的意义可知vs(t)，令t35t24t0，解得t0或t1或t4.【答案】D3.(2016温州高二检测)函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A.0a1B.0a1C.1a1D.0a【解析】f(x)3x23a，则f(x)0有解，可得ax2.又x(0，1)，0aC.mD.m0)在1，)上的最大值为，则a的值为_.【解析】f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，f(x)，1，不合题意，f(x)maxf(1)，a1.【答案】18.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_.【解析】设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得r3.当0r3时，S0；当r3时，S0，所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.【答案】3三、解答题9.日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x100)，求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率.【解】c(x)，c(90)52.84，c(98)1 321.故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为50.84元/t；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.10.设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解】易知f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0，从而f(x)在