简易逻辑及充要条.ppt

要点梳理 1.简单的逻辑联结词 （1）命题中的“_”、“_”、“_”叫做逻辑 联结词.,1.2 简易逻辑及充要条件,基础知识 自主学习,或,且,非,（2）用来判断复合命题的真假的真值表：,真,真,假,真,假,真,真,假,假,真,真,假,假,2.四种命题及其关系 （1）四种命题,若q,则p,（2）四种命题间的逆否关系,(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性; 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性_. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p q,则p是q的_,q是p的_; (2)如果pq,qp,则p是q的_.,相同,没有关系,充分条件,必要条件,充要条件,基础自测 1.下列语句是命题的是 （ ） 求证 是无理数； x2+4x+40； 你是高一的学生吗？ 一个正数不是素数就是合数； 若xR，则x2+4x+70. A. B. C. D.,解析 不是命题，是祈使句，是疑问句.而 是命题，其中是假命题，如正数 既不是 素数也不是合数，是真命题，x2+4x+4=(x+2)20 恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+30恒成立. 答案 C,2.命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是 （ ） A.“若xy,则x2y2” C.“若xy，则x2y2” D.“若xy,则x2y2”,C,3.(2009江西文,1)下列命题是真命题的为（ ） A. B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 D.若xy,则x2y2 解析 得x=y,A正确，B、C、D错误.,A,4.如果命题“ (p或q)”为假命题，则 （ ） A.p,q均为真命题 B.p,q均为假命题 C.p,q中至少有一个为真命题 D.p，q中至多有一个为真命题 解析 由题意知p或q为真命题，p、q中至少有 一个为真命题，故选C.,C,5.(2009四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且cd,则 “ab”是“a-cb-d”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 cd,-cb, a-c与b-d的大小无法比较； 当a-cb-d成立时，假设ab,-cb. 综上可知，“ab”是“a-cb-d”的必要不充分 条件.,B,题型一 命题的关系及命题真假的判断 【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断它们的真假. （1）面积相等的两个三角形是全等三角形. （2）若q1,则方程x2+2x+q=0有实根. （3）若x2+y2=0，则实数x、y全为零. ,题型分类 深度剖析,写成“若p，则q”的形式,写出逆命题、否命题、逆否命题,判断真假,思维启迪,解 （1）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题. 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形， 真命题. 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命 题. (2)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,假命题. 否命题：若q1,则方程x2+2x+q=0无实根，假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1, 真命题.,(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y20,则实数x,y不全为零,真命题. 逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y20,真命题. (1)在写一个命题的逆命题、否命题、逆 否命题时，首先要看这个命题是否有大前提.若有大 前提，必须保留其大前提，大前提不能动. （2） 原命题和其逆否命题等价.,探究提高,知能迁移1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题，并判断其真假. （1）若m,n都是奇数，则m+n是奇数. （2）若x+y=5,则x=3且y=2. 解 （1）逆命题:“若m+n是奇数，则m,n都是奇 数”，假命题. 否命题：“若m、n不都是奇数,则m+n不是奇数”, 假命题. 逆否命题：“若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数”, 假命题. （2）逆命题：“若x=3且y=2，则x+y=5”,真命题. 否命题：“若x+y5，则x3或y2”，真命题. 逆否命题：“若x3或y2，则x+y5”,假命题.,题型二 充要条件的判断 【例2】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在ABC中，p：A=B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6; (3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB; (4)已知x、yR，p：(x-1)2+(y-2)2=0， q：(x-1)(y-2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条 件的定义进行判断.,思维启迪,解 （1）在ABC中，A=B sin A=sin B，反 之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p, 但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有 xAB,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件.,探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分 析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观 化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性，转化为判断它的等价命题.,知能迁移2 （2009安徽理，4）下列选项中,p是 q的必要不充分条件的是 （ ） A.p:a+cb+d,q:ab且cd B.p:a1,b1,q:f(x)=ax-b(a0,且a1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1，q:x2=x D.p:a1,q:f(x)=logax(a0,且a1)在（0,+）上 为增函数,解析 ab,cd a+cb+d，而a+cb+d却不一定 推出ab,cd.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当 a1,b1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax- b不过第二象限时，有a1,b1.故B中p是q的充分不 必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有 x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条 件. 答案 A,题型三 用“或”、“且”、“非”联结简单命 题并判断其真假 【例3】 写出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q”、“ p”形式的复合命题，并判断 真假. （1）p:1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根； （2）p:平行四边形的对角线相等；q：平行四边 形的对角线互相垂直； （3）p：0；q：x|x2-3x-50 R； （4）p：55；q：27不是质数. (1)利用“或”、“且”、“非”把 两个命题联结成新命题； (2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假.,思维启迪,解 （1）p为假命题，q为真命题. p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题. p且q:1既是质数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题. p:1不是质数.真命题. （2）p为假命题，q为假命题. p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题. p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. （3）0，p为假命题，,q为真命题. p或q：0或x|x2-3x-55，假命题. “p或q”、“p且q”、“ p”形式命题真 假的判断步骤： （1）确定命题的构成形式； （2）判断其中命题p、q的真假； （3）确定“p或q”、“p且q”、“ p”形式命题 的真假.,探究提高,知能迁移3 写出由下列各组命题构成的“p且q” “p或q”“ p”形式的复合命题，并判断真假. (1)p:66,q:6=6. (2)p：函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点. q:方程x2+x+2=0没有实根. 解 （1）p且q：66且6=6，假命题. p或q：66或6=6，真命题. p：66，真命题. （2）p且q：函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共 点，且方程x2+x+2=0没有实根，真命题. p或q：函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点，或 方程x2+x+2=0没有实根，真命题. p：函数y=x2+x+2的图象与x轴有公共点，假命题.,题型四 充要条件的证明 【例4】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a0或a=1. （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围.,解题示范,证明 充分性： 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 方程只有一负根. 2分 当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根. 4分 当a0，方程有两个不相等的根，,思维启迪,证明 充分性： 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 方程只有一负根. 2分 当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根. 4分 当a0，方程有两个不相等的根，,且 0，方程有一正一负根. 6分 必要性： 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时，适合条件. 8分 当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根， 则=4-4a0，a1， 当a=1时，方程有一负根x=-1. 10分 若方程有且仅有一负根， 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为 a0或a=1. 12分,探究提高 （1）条件已知证明结论成立是充分性. 结论已知推出条件成立是必要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这 就要分清哪是条件，哪是结论.,知能迁移4 求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大 于3的必要条件是|a| 这个条件是其充分条件 吗？为什么？ 证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2, 则平方和大于3的等价条件是 |a| 这个条件是必要条件但不是充分条件.,思想方法 感悟提高 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必 须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其 中一个（或n个）作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命 题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都 是真的.,方法与技巧,3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若“p则q”，“若q则p”的真假. (2)等价法：即利用 的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的 充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要 条件.,4.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如 下：,1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论， 而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方 向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆. 3.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p且q 为真命题，必须p、q同时为真.,失误与防范,一、选择题 1.（2009重庆文，2）命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 （ ） A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”,B,定时检测,2.（2009浙江理，2）已知a,b是实数，则“a0且 b0”是“a+b0且ab0”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a0且b0时，一定有a+b0且ab0.反之， 当a+b0且ab0时，一定有a0,b0.故“a0且b0” 是“a+b0且ab0”的充要条件.,C,3.（2008广东文，8）命题“若函数f(x)=logax (a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20,a1)在其定 义域内不是减函数 B.若loga20,a1)在其定 义域内不是减函数 C.若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定 义域内是减函数 D.若loga20,a1)在其定义 域内是减函数,解析 由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命 题为：若loga20，则函数f（x）=logax(a0,a1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A,4.已知A=x|x-1|1,xR，B=x|log2x1,xR， 则xA是xB的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 A=x|x2或x0，B=x|x2， xA xB，但xB xA.,B,5.（2008广东理，6）已知命题p：所有有理数都是 实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题 中为真命题的是 （ ） A.（ p）或q B.p且q C.( p)且( q) D.( p)或( q) 解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题， 从而上述叙述中只有（ p）或( q)为真命题.,D,6.（2009北京文，6） 的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 这说明 外 还可以取其他的值.所以 的充 分而不必要条件.,A,二、填空题 7.若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x 的取值范围是_. 解析 x2，5且xx|x4是真命题. 由 得1x2 .,1,2),8.设p:|4x-3|1;q:(x-a)(x-a-1)0,若p是q的充 分不必要条件,则实数a的取值范围是_. 解析 p: x1,q：axa+1,易知p是q的真子 集，,9.(2009江苏,12)设 和 为不重合的两个平面， 给出下列命题：若 内的两条相交直线分别平行 于 内的两条直线，则 平行于 ； 若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则l和 平行； 设 和 相