全国2017届高考数学第八章立体几何8.3直线平面平行的判定与性质专用题组理新人教B版.docx

8.3直线、平面平行的判定与性质考点平行的判定与性质8.(2015安徽,19,13分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1C;(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.解析(1)证明:由正方形的性质可知A1B1ABDC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1CA1D,又A1D面A1DE,B1C面A1DE,于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1,面A1DE面B1CD1=EF,所以EFB1C.(2)因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1AB,AA1AD,ABAD且AA1=AB=AD,以A为原点,分别以,为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1,n1得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为=.评析本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.9.(2013安徽,19,13分)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60.(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(2)求cosCOD.解析(1)证明:设面PAB与面PCD的交线为l.因为ABCD,AB不在面PCD内,所以AB面PCD.又因为AB面PAB,面PAB与面PCD的交线为l,所以ABl.由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)设CD的中点为F.连结OF,PF.由圆的性质,得COD=2COF,OFCD.因为OP底面,CD底面,所以OPCD,又OPOF=O,故CD面OPF.又CD面PCD,因此面OPF面PCD,从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF,故OPF为OP与面PCD所成的角.由题设,知OPF=60.设OP=h,则OF=OPtanOPF=htan 60=h.根据题设有OCP=22.5,得OC=.由1=tan 45=和tan 22.50,可解得tan 22.5=-1,因此OC=(+1)h.在RtOCF中,cosCOF=-,故cosCOD=cos 2COF=2cos2COF-1=2(-)2-1=17-12.评析本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系,直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和基本技能,考查空间观念、推理论证能力和运算求解能力.10.(2012江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC,又AD平面ABC,所以CC1AD.又因为ADDE,CC1,DE平面BCC1B1,CC1DE=E,所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE,所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,所以CC1A1F.又因为CC1,B1C1平面BCC1B1,CC1B1C1=C1,所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1,所以A1FAD.又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE.评析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.11.(2012辽宁,18,12分)如图,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC=AA,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)若二面角A-MN-C为直二面角,求的值.解析(1)证法一:连结AB,AC,因为BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.(6分)证法二:取AB中点P,连结MP,NP.因为M,N分别为AB与BC的中点,所以MPAA,PNAC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.(6分)(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示.设AA=1,则AB=AC=,于是A(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),A(0,0,1),B(,0,1),C(0,1),所以M,N.设m=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,由得可取m=(1,-1,).设n=(x2,y2,z2