全国版高考数学第八章平面解析几何8.3圆的方程课时提升作业理.docx

圆 的 方 程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件的是()A.m1B.m1C.m1【解析】选B.由(4m)2+4-45m0,得m1.2.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.由(a-1)x-y+a+1=0得a(x+1)-(x+y-1)=0,所以直线恒过定点(-1,2).所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.3.方程|x|-1=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【解析】选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆.4.(2016运城模拟)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为,则a0.直线y=-x-,k=-0,-0,直线不经过第四象限.5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为()A.(-,-2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+)【解题提示】圆上的所有点都在第二象限,因此圆心必在第二象限,且圆心到两坐标轴的距离大于半径.【解析】选D.曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,其为圆心为(-a,2a),半径为2的圆,要使圆C的所有的点均在第二象限内,则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有a0,并且圆心到两坐标轴的最小距离应大于圆C的半径,易知圆心到坐标轴的最小距离为|a|,则有|a|2,得a2.6.(2016忻州模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=,当k=0时,rmax=1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2016太原模拟)在平面直角坐标系xOy中已知圆C:x2+(y-1)2=5,A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M.若OA=OM,则直线AB的斜率为.【解析】C(0,1),所以A(-2,0),连接CM,显然CMAB,因此,四点C,M,A,O共圆,且AC就是该圆的直径,2R=AC=,在三角形OCM中,利用正弦定理得2R=,根据题意,OA=OM=2,所以,=,所以sinOCM=,tanOCM=-2(OCM为钝角),而OCM与OAM互补,所以tanOAM=2,即直线AB的斜率为2.答案:28.(2016新乡模拟)已知在RtABC中,A(0,0),B(6,0),则直角顶点C的轨迹方程为.【解析】依题意,顶点C的轨迹是以AB为直径的圆,且去掉端点A,B,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0).答案:(x-3)2+y2=9(y0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点C的坐标为(x,y),由于ACBC,故kACkBC=-1,所以=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0).答案:(x-3)2+y2=9(y0)9.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角=.【解析】由题意知,圆的半径r=1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan=-1,又0,),故=.答案:10.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.【解题提示】先求出圆C2上的点到直线y=x的最小值,从而得出曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离,再利用平行线的距离即可求出a的值.【解析】x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为-=,所以y=x2+a到直线l:y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.答案:(20分钟40分)1.(5分)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|=()A.4B.4C.8D.8【解题提示】由已知可知两圆均在第一象限,且圆心的横、纵坐标相等,再由已知条件得出关于圆心的方程,进而求出两圆心的距离.【解析】选C.因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-417=32,所以|C1C2|=8.2.(5分)(2016邯郸模拟)若PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,APB=120,则线段AB的中点的轨迹方程为()A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=1【解析】选A.设线段AB的中点为D,则由题意,PA=PB,APB=120,所以ACB=120,因为CB=2,所以CD=1,所以线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,所以线段AB的中点的轨迹方程是:(x-2)2+(y-2)2=1.3.(5分)已知直线ax+by=1(a,b是实数)与圆O:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积的最小值为.【解析】因为直线与圆O相交所得AOB是直角三角形,可知AOB=90,所以圆心O到直线的距离为=,所以a2=1-b20,即-b.设圆M的半径为r,则r=|PM|=(2-b),又-b,所以+1|PM|-1,所以圆M的面积的最小值为(3-2).答案:(3-2)【加固训练】已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为.【解析】如图,取AC的中点F,BD的中点E,则OEBD,OFAC.又ACBD,所以四边形OEMF为矩形,设|OF|=d1,|OE|=d2,所以+=|OM|2=3.又|AC|=2,|BD|=2,所以S四边形ABCD=|AC|BD|=2=2=2=2.因为03.所以当=时,S四边形ABCD有最大值是5.答案:54.(12分)(2016许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程.(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有或由于点C(a,b)在第二象限,故a0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解之得x=或x=0(舍去),y=.所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.5.(13分)(2016朔州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD.(1)若AC=4,求直线CD的方程.(2)证明:OCD的外接圆恒过定点.【解析】(1)若AC=4,则BD=4,因为B(9,0),所以D(5,0).因为A(-3,4),所以|OA|=5,则|OC|=1,直线OA的方程为y=-x,设C(3a,-4a),-1a0,则|OC|=5|a|=-5a=1,解得a=-,则C,则CD的方程为=,整理得x+7y-5=0,即直线CD的方程为x+7y-5=0.(2)设C(3a,-4a),-1a0,则|AC|=