北理工高等代数课件B.ppt

B.6 欧氏空间,一、内积与度量,定义 设V是实数域R上的一个线性空间。如果对V 中任意两个向量 ，均有一个确定的、记作 的实数与之对应，并且下列条件被满足：,（4） ，当且仅当 时， 。,这里 是V 的任意向量，k是任意实数，则称实数 为向量 与 的内积，而这样的线性空间称为Euclid空间，简称欧氏空间。,例 对实向量空间Rn，任取 规定 与 的内积 为,则Rn是欧氏空间。,例 设V是定义在闭区间a,b上的所有连续函数构成的函数空间 。对于V 中任意二个函数 ，规定其内积为 则V 便是一个欧氏空间。,在欧氏空间Rn和Ca,b中，按上两例中的方法定 义的内积都称为标准内积。一般情况下，欧氏空间Rn 和Ca,b中的内积都是指标准内积。,例 在全体n阶实方阵所构成的线性空间 中，对任意两个n阶矩阵A、B，规定其内积为 容易验证它满足定义的四个条件，因此 对于所定义的内积构成一个欧氏空间。,定义 设V 是欧氏空间，任取 ，则 的长度 规定为,注 (1),(2) 为单位向量,(3) 是单位向量（称上述过程 为对 单位化）,例 在欧氏空间 Rn中，对 ，,定理 设 V是欧氏空间，则对任意 均有,上式称为Cauchy-Schwarz不等式。,证明 (1) ，结论成立；,(2) ，对任意实数 x，均有,即,因 的系数大于零，故,即,于是,定义 设 V 是欧氏空间， ，且 均不 是零向量，则 与 的夹角 规定为,这里 。,例 在欧氏空间 R2中，取,因 ，故,定义 若 ，则称向量 与向量 正交， 记为 。,例 设 ，则对任意 与任意 ，均有 。,定理 设 V 是欧氏空间， 与 是 V 中任意两个 向量，则有,（1）三角不等式：,（2）勾股定理：若 ，则,二、度量矩阵,的性质显然有 。,设 是 n维欧氏空间V 的一个基， 是V 中的任意两个向量。下面考察它们的内积：,如果令 ，则由内积,于是,利用矩阵的乘法，上式还可以表示为,其中,分别是 关于基 的坐标，,称A为基 的度量矩阵。显然A是对称矩阵。,三、标准正交基,定义 设 V 是欧氏空间， 是 V 中 m个 非零向量。若 两两正交，则称 是正交向量组。由单位向量构成的正交向量组 称为标准正交向量组。,例 在欧氏空间 中，自然基是标准正交向量组。,例 在欧氏空间 中，一个单位向量本身也是标 准正交向量组。,定理 设 为n维欧氏空间V 的一个标准正交基， 则,定义 设 V 是欧氏空间，则 V 中由正交向量组构 成的基称为正交基，V 中由标准正交向量组构成的基 称为标准正交基。,例 在欧氏空间中，标准正交基的度量矩阵是I。,证,因为,即的过渡矩阵是单位矩阵I，所以,定理 在标准正交基 下，任一向量 均可以表示成,并且同样有 。,作向量 与向量 的内积，有,证明 设向量 在基 下的坐标为 ，即 。,定理 设 是欧氏空间 V 的一个正交向 量组，则 线性无关。,证明 设 是正交向量组，令,两边同时与 做内积，得,因 两两正交，故,于是,又 ，故 ，由此得 。,同理可证 。所以 线性无关。,把两个线性无关的向量化 为两个标准正交的向量：,因要求 ，故,设 线性无关，令,则,又 ，故 。从上式解得,已知 线性无关，故 。于是 是 正交向量组。,令 ，则 是标 准正交向量组。此外，,定理 设 V是欧氏空间， 是 V 中m个 线性无关的向量，则 V 中存在m个标准正交的向量 ，并且,Schmidt正交化方法：,已知 线性无关,1. 正交化：,2. 单位化：,例 已知 中的 ，求三个标准正交的向量。,解 1. 正交化,2. 单位化,则 即为所求的一个标准正交向量组。,定理 有限维欧氏空间必有标准正交基。,例 已知欧氏空间 中的两个标准正交向量 把 扩充为 的标准正交基。,解 1把 扩充为 的一个基：,取向量 ，易证 线性无关， 因此它们是 的一个基。,2把 化为 的一个正交基：,则 两两正交，且都不是零向量，因此它们 是 的一个正交基。,令,3把 化为 的一个标准正交基：,令,则 即为 的一个标准正交基。,四、正交矩阵,定义 设 ，若 ，则称 A 是正交 矩阵。,显然，正交矩阵 A 满足 。,设 是正交矩阵，其列向量组为,由 得,所以,又 （欧氏空间），且,（ 与 的内积）,故有,即 是 中的标准正交向量组。,定理 设 ，则 A是正交矩阵的充分必要 条件是 A的列（行）向量组是标准正交的。,例 设 ，其中 。证 明：B是正交矩阵。,证明, B的列向量组标准正交, B是正交矩阵。,（另法） ,又 ，而,故 。所以,于是，B是正交矩阵。,例 设 ，证明：若 A可逆，则 A可表 示为,其中 Q是n阶正交矩阵，R是n阶可逆上三角阵。上式 称为实方阵A的正交分解。,最后讨论从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵。,设 与 是欧氏空间V 中的两个标准正交基，它们之间的