江苏2017届高三数学第七章不等式课时跟踪检测理.docx

第七章 不等式第一节 不等关系与不等式1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0ab；ab0ab；ab0abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0 (nN，n2)小题体验1(教材习题改编)用不等号“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_.答案：(1)(2)(3)2限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是_答案：v40 km/h3若x2且y1，Mx2y24x2y，N5，则M与N的大小关系是_解析：MNx2y24x2y(5)(x2)2(y1)2.又x2且y1，x20，且y10，M N.答案：M N1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如ab，bcabac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)小题纠偏1若0，则下列不等式：0；ab；ln a2ln b2中，正确的序号是_解析：法一：由0，可知ba0.中，因为ab0，所以0，故有，即正确；中，因为baa0，则b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又b，故正确；中，因为baa20，而yln x在其定义域上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确法二：因为0，故可取a1，b2.显然，此时正确；因为|a|b1210，所以错误综上所述，错误，正确答案：2若ab0，且ab，则与的大小关系是_答案：题组练透1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_解析：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.M N.答案：M N2(易错题)若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：3若实数a1，比较a2与的大小解：a2当a1时，a2；当a1时，a2.谨记通法比较两个数(式)大小的2种方式如“题组练透”第2题易忽视作商法典例引领1设a，bR则“(ab)a20”是“a0a，0ab，a0b，ab0，能推出b，ab0，可得y，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的不等式的所有序号是_解析：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，因为ax3(2)5，by2(3)5，所以axby，因此不成立；又因为ax6，by6，所以axby，因此也不正确；又因为1，1，所以，因此不正确；由不等式的性质可推出成立答案：典型母题已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_解析：1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.答案：(4,2)(1,18)类题通法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围 越变越明变式1将母题条件改为“1xy3”，求xy的取值范围解：1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，由得4xy0.故xy的取值范围为(4,0)变式2若将母题条件改为“1xy4,2xy3”，求3x2y的取值范围解：设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y.故3x2y的取值范围为.变式3已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2，2f(1)4.求f(2)的取值范围解：由题意知f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b.则解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即f(2)的取值范围为5,10破译玄机由af(x，y)b，cg(x，y)d求F(x，y)的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围 变式4若母题条件变为“已知1lg xy4，1lg2”，求lg的取值范围解：由1lg xy4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg5，即lg 的取值范围是1,5一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是_解析：由题意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.答案：AB2设a2，b2，c52，则a，b，c之间的大小关系为_解析：a20.c520.bc37ba.答案：cba3(2016西安八校联考)“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：x13，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220.答案：充分不必要4现给出三个不等式：a212a；a2b22； .其中恒成立的不等式共有_个解析：因为a22a1(a1)20，所以不恒成立；对于，a2b22a2b3(a1)2(b1)210，所以恒成立；对于，因为()2()2220，且0，0，所以，即恒成立答案：25设，那么2的取值范围是_解析：由题设得02，0，所以0，所以2.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1若a1a2，b10.答案：a1b1a2b2a1b2a2b12设alg e，b(lg e)2，clg ，则三者大小关系是_解析：0lg e1，即0a1；b(lg e)2a2a；clg lg eaa，又b(lg e)2cb.答案：acb3若角，满足，则的取值范围是_解析：，.又，0，从而b1”是“ab”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立答案：充分不必要5某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大值限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为_解析：最大值即为小于或等于，不小于即为大于或等于故用不等式表示为答案：6用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为_解析：矩形靠墙的一边长为x m，则另一边长为 m，即m，根据题意知答案：7已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b0，cd0，e.证明：cdd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.0.又e.10(2016南京学情调研)(1)设x1，y1，证明：xyxy；(2)设1abc，证明：logablogbclogcalogbalogcblogac.证明：(1)由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设logabx，logbcy，x1，y1，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy.由(1)知所要证明的不等式成立三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若13，42，则|的取值范围是_解析：42，0|4.4|0.3|3.答案：(3,3)2(2016合肥质检)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为_解析：由已知及三角形三边关系得两式相加得，02a，若AB，则实数a的取值范围是_解析：集合A1,6，在数轴上画出集合A所表示的部分，因为AB，由数轴可知实数a的取值范围为(，6)答案：(，6)3已知集合A，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案：111对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0(a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论小题纠偏1不等式ax2bx20的解集是，则ab的值是_解析：由题意知，是ax2bx20的两根，则a12，b2.所以ab14.答案：142若不等式mx22mx10的解集为R，则m的取值范围是_解析：当m0时，10显然成立当m0时，由条件知得0m1，由知0m1.答案：0,1)3若不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当a20，即a2时，原不等式为40，所以a2时成立，当a20，即a2时，由题意得即解得2a2.综上所述，20时，原不等式等价于2xx2，x0.综上所述，原不等式的解集为.答案：2函数y的定义域为_解析：由x23x40，得x23x40，解得4xa2(aR)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.由题悟法解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式提醒当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况即时应用1若不等式ax2bx20的解集为，则ab_.解析：由已知得所以a4，b7，所以ab28.答案：282解关于x的不等式：ax2(a1)x10.解：原不等式可化为(x1)(ax1)1，当a0时，不等式可化为(x1)0，当a1时，不等式可化为(x1)20，解集为；当0a1，不等式的解集为；当a1时，1，不等式的解集为；当a0，不等式的解集为.综上可知，当a1；当0a1时，不等式的解集为.命题分析一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围题点全练角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围1已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：要使不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立角度二：形如f(x)0(xa，b)确定参数范围2设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，即m0.综上所述，m的取值范围是(，0).法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是(，0).角度三：形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围3对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零方法归纳一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是(2)ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是二次不等式在R上恒成立(如“题点全练”第1题、第2题)分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解af(x)恒成立等价于af(x)max；af(x)恒成立等价于af(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求(如“题点全练”第2题)主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解常见的是转化为一次函数f(x)axb(a0)在m，n恒成立问题，若f(x)0恒成立若f(x)0得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x2答案：(1,22不等式2x2x10的解集为_解析：不等式2x2x10可化为(2x1)(x1)0，解得x1.答案：3若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_解析：由题意知a0时，满足条件a0时，由得0x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x0的解集为，则不等式cx22xa0的解集为_解析：依题意知，解得a12，c2，不等式cx22xa0，即为2x22x120，即x2x60，解得2x3.所以不等式的解集为(2,3)答案：(2,3)二保高考，全练题型做到高考达标1已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于_解析：由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3.答案：32不等式组的解集是_解析：x24x30，1x0，(x2)(2x3)0，x2，原不等式组的解集为(2,3)答案：(2,3)3(2016盐城调研)若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_解析：当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0答案：(3,04某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为_(用区间表示)解析：设销售价定为每件x元，利润为y，则：y(x8)10010(x10)，依题意有，(x8)10010(x10)320，即x228x1920，解得12x16，所以每件销售价应为12元到16元之间答案：(12,16)5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_解析：原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.答案：4,36不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a4.答案：(，4)(4，)7若0a0的解集是_解析：原不等式为(xa)0，由0a1得a，ax0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，等价于解得10已知函数f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2.当且仅当x时，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.则a的取值范围为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016苏州名校联考)若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是_解析：不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.答案：(，2)2在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，(xa)(xa)1(xa)(1xa)0.因上式对xR都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30.所以a0，从而有2(2)3t60，得t，即实数t的取值范围为.答案：2(教材习题改编)若实数x，y满足不等式组则2x3y的最小值是_解析：设z2x3y，通过画出其线性规划，可知直线yx过点(2,0)时，(2x3y)min4.答案：43若点P(a,3)在y2x3表示的区域内，则实数a的取值范围是_解析：点P(a,3)在y2x3表示的区域内，则32a3，解得a0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有3在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当bzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2.答案：1或2方法归纳1求目标函数的最值3步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值2常见的3类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.提醒注意转化的等价性及几何意义典例引领(2015陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为324318.答案：18万元由题悟法1解线性规划应用题3步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式即时应用(2016苏北四市调研)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x_.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时，招聘的教师最多，此时xab13.答案：13一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为_解析：根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.答案：(7,24)2不等式组所表示的平面区域的面积等于_解析：平面区域如图中阴影部分所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC1.答案：3(2015广东高考改编)若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x2y0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值此时A，zmin312.答案：4(2016苏州调研)若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令zxy，易知当直线yxz经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax4.答案：45设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax 3224.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为_解析：注意到直线kxy0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kxy0与直线xy40垂直时满足题意，于是有k(1)1，由此解得k1.答案：12已知x，y满足则z8xy的最小值为_解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部