高考数学第9章平面解析几何第6节直线与圆锥曲线的位置关系模拟创新题理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第6节 直线与圆锥曲线的位置关系模拟创新题 理一、选择题1.(2016河北张家口模拟)设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|等于()A.9 B.6 C.4 D.3解析设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3).由题意知F(1，0)，0，x1x2x33.根据抛物线定义，有|x11x21x31336.故选B.答案B2.(2016嘉兴一模)经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点.设O为坐标原点，则等于()A.3 B.C.或3 D.解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.答案B3.(2015合肥模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r为圆的半径)且r|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.答案B4.(2014石家庄二模)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为()A.16 B. C.4 D.解析由得x23x40，xA1，yA，xD4，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0，1)，且该圆圆心为F(0，1)，|AF|yA1，|DF|yD15，故选B.答案B二、填空题5.(2016山东枣庄模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线与圆(x2)2y21相交，则双曲线C的离心率的取值范围是_.解析双曲线渐近线为bxay0，其与圆相交，则圆心到渐近线的距离小于半径，即1，3b2a2，c2a2b2a2，e.又e1，1e.答案创新导向题直线与圆锥曲线相交问题6.已知直线l的斜率为2，M，N是直线l与双曲线C：1(a0，b0)的两个交点，若MN的中点为P(2，1)，则C的离心率为()A. B. C.2 D.2解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1，1，点P(2，1)是MN的中点，x1x24，y1y22.又直线l斜率为2，则2，由得，结合上述可得a2b2，c22a2，e.故选A.答案A直线与圆锥曲线相切问题7.若椭圆1的焦点在x轴上，过点(2，1)作圆x2y24的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_.解析设切点坐标为(m，n)，则1，即m2n2n2m0，m2n24，2mn40，即AB的直线方程为2xy40，线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40；b40， 解得c2，b4，所以a2b2c220，所以椭圆方程为1.故答案为1.答案1专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2016山东日照下学期第一次模拟)已知抛物线y28x的准线与双曲线1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为()A.3 B.2 C. D.解析抛物线的准线为x2，代入双曲线方程得y，不妨设A，ABF是等腰直角三角形，p4，求得a，双曲线的离心率e3.答案A二、填空题9.(2015泉州质检)若抛物线yax21上恒有关于直线xy0对称的相异的两点A，B，则a的取值范围是_.解析设抛物线上的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为yxb，代入抛物线方程yax21，得ax2x(b1)0，则x1x2.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0，y0x0bb.由于M(x0，y0)在直线xy0上，故x0y00，由此得b，此时ax2x(b1)0变为ax2x0.由14a0，解得a.答案三、解答题10.(2015济宁模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x24y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意，得b.又，解得a2，c1，故椭圆C的方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1.由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得32(6k3)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.11.(2014广州模拟)如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点A(0，1).(1)求椭圆方程；(2)过A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M，N，求证：直线MN恒过定点P.(1)解由题意知，e，b1，a2c21，解得a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)证明设直线l1的方程为ykx1(k0)，由方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM，用代替上面的k，可得xN，yN.因为kMP，kNP，所以kMPkNP，因为MP，NP共点于P，所以M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P.12.(2014太原二模)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在 x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程.解(1)如图，设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点F2(c，0).因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，B1AB2为直角，从而|OA|OB2|，即b，结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24，得b24，从而a25b220，因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2，0)，B2(2，0).由题意，直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：xmy2.代入椭圆的方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，知0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.创新导向题椭圆方程及存在性问题求解13.已知中点在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆C的方程为1(ab0).e，a24c2，b23c2，又椭圆C经过点M，1，解得c21，a24，b23，故椭圆C的方程为1.(2)若存在直线l满足条件，由题意可知直线l存在斜率，设直线l的方程为yk(x2)1，由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2