实验二MATLAB中的极限和微分积分运算.ppt

实验二 MATLAB中的极限、微分和积分运算,Nanjing University of Posts and Telecommunications,一、实验目的,熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定积分、定积分的基本命令，掌握利用MATLAB软件进行求极限和微分运算的方法。掌握利用MATLAB软件进行求不定积分、定积分等积分运算的方法。,Nanjing University of Posts and Telecommunications,二、相关知识,在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不定积分和定积分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我们尝试用软件来解决这样的问题。,Nanjing University of Posts and Telecommunications,MATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，其调用格式如下： limit(F,x,a,left) 该命令对表达式F求极限，独立变量x从左边趋于a，函数中除F外的参数均可省略，left可换成right。举例如下：,极限运算,Nanjing University of Posts and Telecommunications,例1：求极限 。 解：可用以下程序完成： clear F=sym(1+a/x)x) limit(F,x,inf,left),Nanjing University of Posts and Telecommunications,结果为exp(a)。其中，语句F=sym(1+a/x)x)表示定义符号表达式 也可用以下的语句来完成：,Nanjing University of Posts and Telecommunications,clear; syms x %这里是把x先说明成符号。 F=(1+a/x)x %这里的定义形式和前面不同。 limit(F, x, inf, left) %这里的x本身就是符号，因 此不需要单引号。,Nanjing University of Posts and Telecommunications,MATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求导函数的运算，其调用格式如下： diff(fun,x,n) 其意义是求函数fun关于变量x的n阶导数，n为1时可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较为妥当。我们看下面的例：,导函数的运算,Nanjing University of Posts and Telecommunications,例2：求函数 的一阶和三阶导数。,解：可用以下程序完成： clear; syms x y=log(x+2)/(1-x); dy=diff(y,x) dy3=diff(y,x,3) pretty(dy3) 这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它作用的表达式更符合数学上的书写习惯。,Nanjing University of Posts and Telecommunications,MATLAB提供的命令函数int()可以完成积分运算，其调用格式有如下几种： int(fun) 计算函数fun关于默认变量的不定积分 int(fun,x) 计算函数fun关于变量x的不定积分 int(fun,x, a, b)计算函数fun关于变量x从a到b的定积分 我们通过例子来学习具体的用法：,积分运算,Nanjing University of Posts and Telecommunications,例1：计算不定积分 。,clear y=sym(x5+x3-sqrt(x)/4) int(y) pretty(ans),解：可以用下面的程序完成：,Nanjing University of Posts and Telecommunications,例2：计算定积分 。,clear syms x y=(x*exp(x)/(1+x)2; int(y,0,1),解：可以用下面的程序实现计算：,Nanjing University of Posts and Telecommunications,例3：计算二重积分 ，其中D为曲 线 和 所围成的区域。,所以，计算该积分的MATLAB程序为：,clear syms x y f=x*x+y; int(int(f,y,x*x,sqrt(x),x,0,1),解：区域D可用不等式表示为：,Nanjing University of Posts and Telecommunications,例4：被积曲面S为球面 在第一卦限部分的外则，计算曲面积分 。,解：先把问题转化为二重积分，积分区域为x，y平面内的第一象限部分。具体的计算公式为：,Nanjing University of Posts and Telecommunications,然后计算该二次积分，程序如下：,clear syms x y z z=sqrt(1-x2-y2) f=x*y*z I=int(int(f,y,0,sqrt(1-x2),x,0,1),Nanjing University of Posts and Telecommunications,这里我们看到，所有的积分计算都是利用函数int完成的，当我们遇到二重积分、三重积分和曲线、曲面积分时需要先化为相应的累次积分，再用int来完成积分的计算。,Nanjing University of Posts and Telecommunications,综合实验,1.定积分近似计算的Monte Carlo方法,Nanjing University of Posts and Telecommunications,a=0;b=1;m=1000; s=0;H=exp(1);%s设置为落在曲边梯形内的点数 for i=1:m xi=rand();yi=H*rand(); if yiexp(xi) s=s+1; end; %如果随机点落在曲边梯形内,s增加1 end; fprintf(%s%gn,exp(x)在0,1上的积分约等于,H*(b-a)*s/m),例1 近似计算,Nanjing University of Posts and Telecommunications,2.Matlab近似计算定积分rsums(f,a,b),syms x;rsums(exp(x),0,1),Nanjing University of Posts and Telecommunications,rsums exp(-5*x2),Nanjing University of Posts and Telecommunications,3.泰勒级数逼近计算器taylortool,Nanjing University of Posts and Telecommunications,4.最大公约数问题,Matlab用于求两个整数的最大公约数的函数是gcd，比如gcd(4,6)将会得到2，数学上有个这样的结论：若d是a,b的最大公约数，则存在整数p,q，使得 pa+qb=d,Matlab中可以通过命令d,p,q=gcd(a,b)来获得上述的三个数，比如d,p,q=gcd(12,32)运行得到,d = 4 p=3 q=-1,可以验证，确实有 3 12 -1 32=4,Nanjing University of Posts and Telecommunications,现在考虑这样的一个问题：任取两个正整数，它们互质的可能性有多大？,m=10000;s=0; for i=1:m a=randint(1,2,1,109); if gcd(a(1),a(2)=1 s=s+1; end end s/m,ans = 0.6043,Nanjing University of Posts and Telecommunications,实际上上述所求概率的精确值应该是,Nanjing University of Posts and Telecommunications,5.勾股数,满足勾股定理 a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数。,以下程序求出100以内的所有勾股数：,Nanjing University of Posts and Telecommunications,l=0; m=; for a=1:100 for c=a+1:100 b=sqrt(c2-a2); if (b=floor(b) end end end m,Nanjing Universi