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文档简介

2.6 Rn 的标准正交基,定义2.16,在Rn 中,任意n个,称为Rn 的一组基.,如,为Rn 的一组基.,称为Rn 的标准基,或自然基.,又如,为R3 的一组基.,一、基,向量在基下的坐标,线性无关的向量,设,为Rn 的一组基.,n+1个,n维向量,线性相关.,线性表示:,线性无关,从而,可由,且表法唯一.,称为,在基,下的坐标.,如,为R3 的一组基.,在此基下的坐标为,在此基下的坐标为,为Rn 的标准基,在基,下的坐标为,恰为的分量.,定义2.18,实数,称为向量和的内积.,记为T., 和 的内积为,二、向量的内积,给定Rn中向量,如,T=,两个n维实向量的内积,说明1),2) 只有维数相同的,3) 设,则和的内积为,是一个实数.,两个向量才有内积.,本书的向量均为列向量，,故一般情况下，,两个向量的内积,记为T.,和的内积为,内积具有如下性质：,T 0,T =0,（分配律）,（交换律）,三、向量的长度,定义2.19,非负实数,称为向量的长度,或向量的范数,记为,对Rn中向量,在 n 维空间Rn 中,例,都是单位向量.,（k为实数）,向量的长度具有以下性质：,对任意向量和，,有,对Rn中任意非零向量，,事实上，,用非零向量的长度,得到一个,称为把向量单位化。,单位向量,与同,方向的,如,是单位向量.,如,去除向量,定义2.20,四、正交向量组,T=0,则称与正交,如果,设,与正交,在 n 维空间Rn 中,Rn 中的单位向量组,称为Rn 中的,时,一般地,两两正交.,1,2,n,正交单位向量组.,定义2.21,则称向量组1, 2,s,如,是R3中的正交向量组.,注意：,两两正交,为正交向量组.,每个向量,正交向量组中，,如果Rn中的非零向量组,即,正交单位向量组.,如果一个正交向量组中，,每个向量都是单位向量,则该向量组称为,是正交单位向量组.,都不是零向量。,定理2.15,证,一般地，,线性无关.,Rn中,是Rn中的正交向量组.,线性无关.,设,时,设,的正交向量组,定义2.22,在Rn 中,n个向量,为Rn 的一个标准正交基.,如,为Rn 的标准正交基.,又如,为R3 的一组基.,满足：,中，,任意两个都正交；,则称,但不是R3 的标准正交基.,五、施密特正交化方法,设向量组,是正交向量组,且,线性无关，,令,定义2.23,则称Q为,说明,例,都是实数.,（3）,Q可逆，,五、正交矩阵,设n 阶实矩阵Q,正交矩阵.,正交矩阵,单位矩阵E,为正交矩阵,即正交矩阵的元素,n阶矩阵Q是正交矩阵,定理2.17及推论,满足,必是实矩阵,由,（2）,（1）,正交矩阵,一定是方阵.,正交矩阵具有下列性质：,若Q是正交矩阵，,证,若Q为正交矩阵,若P，Q都是,证,则Q的行列式的值,则Q可逆,则PQ也是正交矩阵.,PQ 是正交矩阵。,也是正交矩阵.,且,证,等于1或1,n 阶正交矩阵，,定理,是单位正交向量组.,是单位正交向量组
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